数的几何基础

数的几何是数论的一个经典分支，本书给出它的基本结果和一些数论应用。基本结果包括凸体和格的性质、Minkowski第一和第二凸体定理、Minkowski-Hlawka容许格定理、Mahler列紧性定理、二次型的约化理论及堆砌与覆盖等；数论应用有四平方和定理及Hurwitz逼近定理等的证明。

朱尧辰，江苏镇江人，1942年生，中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所研究员。1959年考入中国科学技术大学应用数学系，师从关肇直院士、万哲先院士、王元院士等著名数学家。上世纪80年代参加华罗庚先生推广优选法和统筹法的工作以及国防部门密码课题研究，其后主要研究丢番图逼近、超越数以及数论方法的应用，并在北京大学和中国科学院大学等单位承担基础和专业数学课程教学工作。1983—1993年先后在法国庞加莱研究所和法国高等科学研究所，德国普朗克数学研究所和科隆大学，美国南密西西比大学，以及中国香港浸会学院等科研机构和大学从事合作研究或任教。曾任《数学进展》常务编委（1991—2000），美国和德国《数学评论》（MR 1981—2013和ZBL1991—2016)评论员。发表论文约100篇，出版各类数学论著10余部。获中科院自然科学一等奖（集体），享受国务院特殊津贴。

前言   

主要符号说明  

第1章   n维点集   

1.1   整点   

1.2   列紧集   

1.3   对称凸体   

1.4   星形体   

第2章   格   

2.1   格和基   

2.2   子格   

2.3   点组扩充成基   

2.4   格关于子格的类数   

2.5   格点分布定理   

2.6   格在线性变换下的像   

2.7   格点列的收敛性   

2.8   对偶格   

2.9   对偶变换   

第3章   Minkowski 第一凸体定理   

3.1   Blichfeldt定理   

3.2   Minkowski第一凸体定理   

3.3   Minkowski线性型定理   

3.4   例题   

3.5   格的特征   

3.6   用二次型表示整数   

第4章   Minkowski-Hlawka定理  

4.1   容许格与临界行列式   

4.2   Minkowski-Hlawka定理   

第5章   Minkowski第二凸体定理   

5.1   距离函数   

5.2   距离函数与凸体   

5.3   距离函数与格   

5.4   商空间   

5.5   相继极小   

5.6   λ1…λn的估计   

5.7   Minkowski第二凸体定理   

5.8   对偶情形的相继极小   

5.9   复合体与参数数的几何   

第6章    Mahler列紧性定理   

6.1   线性变换   

6.2   格序列的收敛   

6.3   Mahler列紧性定理   

第7章    二次型绝对值的极小值   

7.1   定义在格上的二次型   

7.2   二次型的等价   

7.3   二次型的自同构   

7.4   正定二次型的约化   

7.5   正定二元二次型的极小值   

7.6   正定n元二次型的极小值   

7.7   正定二次型与临界格   

7.8   不定二元二次型绝对值的极小值   

第8章   堆砌与覆盖   

8.1   堆砌   

8.2   覆盖   

参考文献  

索引

数的几何是数论的一个经典分支，本书给出它的基本结果和一些数论应用。基本结果包括凸体和格的性质、Minkowski第一和第二凸体定理、Minkowski-Hlawka容许格定理、Mahler列紧性定理、二次型的约化理论及堆砌与覆盖等；数论应用有四平方和定理及Hurwitz逼近定理等的证明。

朱尧辰，江苏镇江人，1942年生，中国科学院数学与系统科学研究院应用数学研究所研究员。1959年考入中国科学技术大学应用数学系，师从关肇直院士、万哲先院士、王元院士等著名数学家。上世纪80年代参加华罗庚先生推广优选法和统筹法的工作以及国防部门密码课题研究，其后主要研究丢番图逼近、超越数以及数论方法的应用，并在北京大学和中国科学院大学等单位承担基础和专业数学课程教学工作。1983—1993年先后在法国庞加莱研究所和法国高等科学研究所，德国普朗克数学研究所和科隆大学，美国南密西西比大学，以及中国香港浸会学院等科研机构和大学从事合作研究或任教。曾任《数学进展》常务编委（1991—2000），美国和德国《数学评论》（MR 1981—2013和ZBL1991—2016)评论员。发表论文约100篇，出版各类数学论著10余部。获中科院自然科学一等奖（集体），享受国务院特殊津贴。