微积分溯源：伟大思想的历程

本书讲述了一种理解和学习微积分的新思路。书中通过探索微积分发展历程背后的数学动机，展现了这一数学基本工具的魅力。作者根据自己研究和教授微积分的丰富经验，结合多年从事中学和大学数学教育的心得体会，对传统的微积分教学方式，即大多按照从极限、微分、积分到级数的顺序进行学习的方法提出了异议，探讨了一种更有趣、更易被接受和理解的学习方法。作者写过不少富有启发意义的微积分教材，此次利用自己在教学与研究方面的特长，写成了这本内容丰富、风格有趣的“小书”。本书适合中学以上水平的数学爱好者、学生和教师阅读。

本书讲述了一种理解和学习微积分的新思路。书中通过探索微积分发展历程背后的数学动机，展现了这一数学基本工具的魅力。作者根据自己研究和教授微积分的丰富经验，结合多年从事中学和大学数学教育的心得体会，对传统的微积分教学方式，即大多按照从极限、微分、积分到级数的顺序进行学习的方法提出了异议，探讨了一种更有趣、更易被接受和理解的学习方法。作者写过不少富有启发意义的微积分教材，此次利用自己在教学与研究方面的特长，写成了这本内容丰富、风格有趣的“小书”。本书适合中学以上水平的数学爱好者、学生和教师阅读。

[美] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud） 美国玛卡莱斯特学院数学教授，数学教学委员会主任，曾担任美国数学协会（MAA）会长，著有《高等微积分》《实分析的基本方法》等数学教材，并获得美国数学协会的多项奖项，如1994年阿勒格尼山脉杰出教学奖、1999年贝肯巴赫图书奖等。主要研究领域为数论、组合学、特殊函数等。

目录

第　一章 累积　1

1.1　阿基米德和球的体积　1

1.2　圆的面积和阿基米德原理　6

1.3　阿拉伯的贡献　10

1.4　二项式定理　15

1.5　西欧　17

1.6　卡瓦列里和积分公式　20

1.7　费马的积分和托里拆利的奇异几何体　23

1.8　速度和路程　27

1.9　艾萨克·贝克曼　30

1.10　伽利略·伽利雷和天体运动问题　32

1.11　解决天体运动问题　35

1.12　开普勒第二定律　38

1.13　牛顿的《自然哲学之数学原理》　41

第二章　变化率　44

2.1　插值　45

2.2　纳皮尔和他的自然对数表　50

2.3　代数的出现　57

2.4　解析几何　63

2.5　皮埃尔·德·费马　67

2.6　沃利斯和他的《无穷小算术》　73

2.7　牛顿和基本定理　79

2.8　莱布尼茨和伯努利家族　82

2.9　函数、微分方程　85

2.10　弦振动问题　90

2.11　势能　93

2.12　电磁学中的数学　94

第三章　部分和序列　98

3.1　17 世纪的级数　100

3.2　泰勒级数　104

3.3　欧拉　109

3.4　达朗贝尔、敛散性问题　114

3.5　拉格朗日余项定理　117

3.6　傅里叶级数　123

第四章　不等式的代数　129

4.1　极限和不等式　130

4.2　柯西和他的 -δ语言　132

4.3　完备性　136

4.4　连续性　138

4.5　一致收敛性　141

4.6　积分　144

第五章　分析　149

5.1　黎曼积分　149

5.2　微积分基本定理的反例　151

5.3　魏尔施特拉斯和椭圆函数　156

5.4　实数的子集　161

5.5　附言: 20 世纪　165

第六章　对微积分教学的思考　169

6.1　积分讲授为累积　169

6.2　导数讲授为变化率　171

6.3　无穷级数讲授为部分和序列　173

6.4　极限讲授为不等式的代数　174

第七章　后的话　177

译后记　179

参考文献　185

本书讲述了一种理解和学习微积分的新思路。书中通过探索微积分发展历程背后的数学动机，展现了这一数学基本工具的魅力。作者根据自己研究和教授微积分的丰富经验，结合多年从事中学和大学数学教育的心得体会，对传统的微积分教学方式，即大多按照从极限、微分、积分到级数的顺序进行学习的方法提出了异议，探讨了一种更有趣、更易被接受和理解的学习方法。作者写过不少富有启发意义的微积分教材，此次利用自己在教学与研究方面的特长，写成了这本内容丰富、风格有趣的“小书”。本书适合中学以上水平的数学爱好者、学生和教师阅读。

[美] 戴维·M. 布雷苏（David M. Bressoud） 美国玛卡莱斯特学院数学教授，数学教学委员会主任，曾担任美国数学协会（MAA）会长，著有《高等微积分》《实分析的基本方法》等数学教材，并获得美国数学协会的多项奖项，如1994年阿勒格尼山脉杰出教学奖、1999年贝肯巴赫图书奖等。主要研究领域为数论、组合学、特殊函数等。

本书作者遵从历史的发展，按照积分、微分、级数和极限的顺序，叙述了微积分基本思想萌芽、演化和成型的历程，有助于学习微积分的读者朋友更深刻地理解其源流。本书将点点滴滴的真知灼见，汇入微积分教学的大江大河，是教师和学生的良师益友。

——汤涛，计算数学家，中国科学院院士

一部集历史、理论、教学法于一身的微积分作品。

——约翰·斯蒂瓦，《数学及其历史》《证明的故事》

本书将数学和历史融为一体，展现了微积分这一人类伟大成就的魅力。

——威廉·邓纳姆，《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》