高考数学提分宝典（上册）

前    言

　　从一定程度上说，数学教学就是数学的解题教学．对定理的证明、公式的推导也是这样的，甚至概念教学，还是如此.

　　笔者于1988年参加教育工作，至今从事数学教学近三十年，这期间，无时无刻不在与数学题打交道：从不会解、模仿着解，……到冥思苦想、查阅资料、向前辈请教讨论，……再到欣赏解题方法、探寻解题规律、编制试题，……经历了“知懂会熟、巧通用赏”的解题之路.

　　笔者自2008年开始至今出版了多部著作，这些著作大多是对数学解题方面的阐述.

　　笔者于2009—2011年期间，任湖北大学《中学数学》(高中版)“新题征展”栏目主持人，每月编拟一期“新题征展”，深受读者喜爱，也使得杂志社结集出版的“新题征展”成为畅销书．这期间，笔者的解题能力也得到了提升，还结识了不少解题专家.

　　1994年2月，笔者在《数学通讯》上发表了小文章“的周期性”，而后笔耕不辍，在期刊上陆续发表了大量的文章(在中国知网上能查到的就有五百多篇)．每年高考后的三个月，是笔者写稿的黄金时期，就是认真钻研各省市的高考题．笔者发表的拙文，大多是数学解题方面的研究.

　　笔者认为，高中数学教学永远要重视四个方面：夯实基础、激发兴趣、着眼高考、适当提高．每份高中数学试卷(不仅仅指高考)都有3～5道把关题，大多数考生都对它们感到陌生，难以动笔作答，做出完整解答更是困难重重，但要想冲刺名校，必须彻底解决好这些拉开距离的“把关题”.

　　本书就是解决“适当提高”问题的——是考生冲刺清华北大的重要参考资料.

　　本书阐述了高中数学主干知识(共16部分：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、推理与证明、立体几何、平面解析几何、计数原理、统计、概率、平面几何、初等数论、组合数学等)的解题技巧，还配备了精选的习题.习题都是高中数学创新试题，有的是从近几年的模拟试题、自主招生试题、国内外高考试题和数学竞赛试题中遴选出来的，有的是作者的原创，有不少题目的解法还是作者的创新.所以本书对培养考生的创新思维有重要作用，对提高考生高考成绩有决定性作用.

　　《高考数学提分宝典》分为上、下两册，本书是上册，包括前6部分主干知识的内容.

　　习题选题的标准是：

　　(1) 主干性——从本书的目录可以看出，本书中的题目都是高中数学及高考的主干知识，不涉及非主干知识(如复数、算法框图、极坐标系等)，因为后者在高考试卷中一般不会以难题的形式出现.

　　(2) 典型性——题目及其解法具有代表性.

　　(3) 渐近性——题目安排的顺序是由易到难，同一道题目的多种解法的顺序是由通法到特技；由基础题到高考题、联赛题、自主招生题；由选择题、填空题到解答题.

　　(4) 实践性——题目都是笔者做过或研究过的，其中不少还是笔者在教学中使用过且学生愿意做的.

　　(5) 严谨性——解答严谨，力求典范.

　　(6) 综合性——所选题目多具有综合性；有不少题目所含问题数目较多，就是把同一类型的问题综合在一起的.

　　(7) 创新性——所选题目创新成分多，对培养高中师生的数学素养、发散思维和求异思维能力有重要作用.

　　(8) 研究性——所选题目力求有研究价值．本书中有不少题目的解答并不仅限于“完整解答”，而是有不少研究的内容，这也正是“鸳鸯绣了从教看，欲把金针度与人”.

　　愿本书对读者的数学解题、数学教学有较大帮助.

　　参与本书编写的教师均来自教学一线，他们积累了丰富的教学经验．参与编写工作的有李吉宝、严文兰、朱世杰、耿亮、俞礼清、邓晓峰、张昌齐、甘武关、袁秀芬、张琳、张亮、陈朝鹏等，在此对以上参与编写的教师一并表示感谢。

作  者    

《高考数学提分宝典》是高考数学复习备考参考用书，涉及高中数学的16部分主干知识：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、推理与证明、立体几何、平面解析几何、计数原理、统计、概率、平面几何、初等数论、组合数学等．每部分除阐述了解题技巧外，还配备了精选的习题．习题中的题目有的是从近几年的模拟试题、自主招生试题、国内外高考试题和数学竞赛试题中遴选出来的，有的是作者的原创，有不少题目的解法还是作者的创新．所以《高考数学提分宝典》对培养考生的创新思维有重要作用，对提高考生的高考成绩有决定性作用.

《高考数学提分宝典》分上、下两册，本书是上册，包括前6部分主干知识的内容.

《高考数学提分宝典》可供高三复习备考时使用，也可供参加全国高中数学联赛和自主招生的同学和教练选用.

甘志国

湖北省特级教师、北京市特级教师、湖北名师、政府专项津贴专家，《中学数学》 《高中数理化》等杂志封面、封底人物。中国数学会会员，全国初等数学研究会常务理事，《中学数学》《中学数学教学参考》《学数学》《新高考》《数理化解题研究》等刊书报的编委、特约编辑，是《新高考》 “甘老师讲题”栏目的专栏作者，曾任《中学数学》 “新题征展”栏目主持人。在公开发行的期刊上发表了多篇论文并产生深远影响(知网上能查到的有五百多篇)。已出版《初等数学研究(I)》《教材教法》《高考数学真题解密》《自主招生》等19册专著，编著“高中数学题典”丛书及《重点大学自主招生备考用书》等18册，即将出版《自主招生与数学竞赛丛书》等著作18册(均为作者独立完成)。曾赴全国各地作高考、自主招生讲座多场，是福建教育学院数学研修部面向高中数学老师的《高考数学教学与解题主题探究》系列培训的专家导师。培养的学生多次在全国高中数学联赛中荣获一等奖。个人小传曾载入《中国当代教育名人名家大辞典》(中国科学技术出版社，1999)等多部典籍。

目  录

第1章  集合与简易逻辑     1

1.1  用两个集合相等来解题        1

1.2  把简单化为复杂来解题        2

习题         3

第2章  函数          10

2.1  奇函数与偶函数的性质及其应用        10

2.1.1  奇函数的性质及其应用    10

2.1.2  偶函数的性质及其应用    11

2.2  讨论方程解的个数        14

习题         15

第3章  导数          31

3.1  用“不等价转化”解题        31

3.1.1  “先必要后充分”    31

3.1.2  “先充分后必要”    36

3.2  从不等式说

开去         39

3.3  题谈用减元法证明一类双零点不等式        47

习题         58

第4章  三角函数与解三角形     70

4.1  2013年华约自主招生第2题的六种解法   70

4.2  各边长均为定值的四边形面积何时   74

4.3  用一道课本三角函数题的结论解题   76

习题         83

第5章  平面向量          95

5.1  介绍关于平面向量的一个结论及其应用   95

5.2  一类三角形的面积比问题   97

习题         101

第6章  数列          111

6.1  用函数观点求解数列问题   111

6.2  用验证法简洁求解数列的通项公式   116

习题         119

习题参考答案         132

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国卷I)   360

2017年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(全国卷I)   376

附录         386

《高考数学提分宝典》是高考数学复习备考参考用书，涉及高中数学的16部分主干知识：集合与简易逻辑、函数、导数、三角函数与解三角形、平面向量、数列、不等式、推理与证明、立体几何、平面解析几何、计数原理、统计、概率、平面几何、初等数论、组合数学等．每部分除阐述了解题技巧外，还配备了精选的习题．习题中的题目有的是从近几年的模拟试题、自主招生试题、国内外高考试题和数学竞赛试题中遴选出来的，有的是作者的原创，有不少题目的解法还是作者的创新．所以《高考数学提分宝典》对培养考生的创新思维有重要作用，对提高考生的高考成绩有决定性作用.

《高考数学提分宝典》分上、下两册，本书是上册，包括前6部分主干知识的内容.

《高考数学提分宝典》可供高三复习备考时使用，也可供参加全国高中数学联赛和自主招生的同学和教练选用.

甘志国

湖北省特级教师、北京市特级教师、湖北名师、政府专项津贴专家，《中学数学》 《高中数理化》等杂志封面、封底人物。中国数学会会员，全国初等数学研究会常务理事，《中学数学》《中学数学教学参考》《学数学》《新高考》《数理化解题研究》等刊书报的编委、特约编辑，是《新高考》 “甘老师讲题”栏目的专栏作者，曾任《中学数学》 “新题征展”栏目主持人。在公开发行的期刊上发表了多篇论文并产生深远影响(知网上能查到的有五百多篇)。已出版《初等数学研究(I)》《教材教法》《高考数学真题解密》《自主招生》等19册专著，编著“高中数学题典”丛书及《重点大学自主招生备考用书》等18册，即将出版《自主招生与数学竞赛丛书》等著作18册(均为作者独立完成)。曾赴全国各地作高考、自主招生讲座多场，是福建教育学院数学研修部面向高中数学老师的《高考数学教学与解题主题探究》系列培训的专家导师。培养的学生多次在全国高中数学联赛中荣获一等奖。个人小传曾载入《中国当代教育名人名家大辞典》(中国科学技术出版社，1999)等多部典籍。