数学建模（Python版）

数学建模以问题为导向，对次要问题进行理想性假设，突出重要的核心问题，建立和求解数学模型，并根据建模结果解决实际问题。数学建模是将数学理论、统计方法和专业领域知识交叉融合的有效途径，能够培养学生自主学习、独立分析和编程实现算法的能力，是一种培养学生创新意识和实践能力的有效手段。正因如此，我国从1992年开始启动了全国大学生数学建模竞赛，该竞赛受到了全国高等学校的高度重视，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。

近年来，随着计算机硬件不断升级和计算机算力不断提升，数据科学和人工智能的时代已经来临，从前难以解决的高维的、复杂的建模问题有了新的解决方案与途径。数学建模涉及的领域非常广泛，如2021年全国大学生数学建模竞赛E题——中药材的鉴别，同时出现了无监督学习、有监督学习和半监督学习问题，是对中药材鉴别领域的一次新尝试和探索，对中药材鉴别具有重要的理论意义与应用价值； 又如2021年美国大学生数学建模竞赛B题——确认关于大黄蜂的传言(Confirming the Buzz about Hornets)，需要参赛者利用机器学习和深度学习方法对图片进行特征提取与分类鉴别，并对取证材料的真伪进行判定，在控制舆情和人员调度方面具有重大意义。可见，数学建模问题贴近现实，涉及的知识体系逐渐丰富，对人们生产和生活产生了重大而深远的影响。

本书不仅包括运筹优化、图论模型、微分方程、随机模拟和统计方法等传统建模方法，还增设了智能优化算法、机器学习方法和深度学习方法，以满足广大读者和参赛者在新时代建模的需求。Python作为一门强大的编程语言，在实现机器学习和深度学习方面具有优势，可兼容其他软件的重要功能，因此本书编程实现以Python语言为主。本书既是一本可以掌握数学建模理论方法和编程实现的教材，也可以作为高等学校数学建模课程教材和数学建模竞赛的培训教材。

本书共包含19章，其中，第1章和第2章为基础章节，分别介绍了数学建模领域和Python编程语言基础知识。第3~11章为传统建模方法章节，其中第3章和第4章分别介绍了运筹优化中的线性规划和非线性规划； 第5章介绍了图论； 第6章介绍了微分方程模型； 第7章和第8章分别介绍了插值与拟合和随机模拟实验； 第9~11章为统计方法，包括回归分析、聚类分析和主成分分析； 第12~19章为智能优化和机器学习建模章节，其中，第12~14章为智能优化部分，分别介绍了模拟退火算法、遗传算法和粒子群优化算法； 第15~19章为机器学习方法部分，分别介绍了支持向量机、决策树、随机森林、神经网络和深度学习。

本书的主要特色如下。

(1) 增设智能优化和机器学习方法。智能优化算法借助元启发式策略，在许多工程领域广泛应用，是一种高效的新求解策略。机器学习方法通过数据驱动，能够实现“端到端”的表征学习，构建较高泛化能力和预测能力的分类和回归预测模型，在有监督、半监督和无监督问题上具有明显优势。

(2) 采用“理论—实现—应用”行文模式，普及数学建模方法理论，搭建方法理论到方法实现的“桥梁”，强化“理论—实现”的建模思想和流程。理论方法是建模的基础，只有理解掌握建模理论，才能正确解决建模问题； 编程实现是建模的求解过程，是通往建模结果的“桥梁”； 以案例方式加深读者对理论方法的理解和应用，使本书更具可读性。

感谢我的研究生团队，他们为本书的整理和校对付出了辛苦努力。限于编者水平有限，书中难免有不足之处，恳请广大读者批评、指正。

编者
2024年3月

历年中国大学生数学建模竞赛赛题

例题源代码及数据

本书包括运筹优化、图论模型、微分方程、随机模拟和统计方法等传统建模方法，同时还增设了智能优化算法、机器学习方法和深度方法，可以满足广大读者和参赛者的学习需求。本书算法实现以Python语言为主，每章内容均有详细的代码，可以帮助读者高效掌握Python编程实现算法。本书共包含19章，前两章为基础部分，分别为数学建模简介和Python简介； 第3~11章为传统建模方法部分，其中，第3章和第4章分别介绍运筹优化中的线性规划和非线性规划，第5章介绍图论，第6章介绍微分方程，第7章介绍
插值与拟合，第8章介绍随机模拟，第9~11章介绍统计方法，包括回归分析、聚类分析和主成分分析； 第12~19章为智能优化和机器学习部分，其中，第12~14章为智能优化，分别介绍模拟退火算法、遗传算法和粒子群优化算法，第15~19章为机器学习方法，分别介绍支持向量机、决策树、随机森林、神经网络和深度学习。
本书可作为高等学校数学建模、数学实验课程教材，也可作为数学建模竞赛的培训教材。

秦喜文,博士，教授，现任长春工业大学大数据科学研究院院长兼校学科建设办公室副主任，中科院研究生院理学博士，吉林大学数学博士后，吉林省第七批拔尖创新人才，吉林省工业与应用数学学会副理事长、省运筹学会常务理事、省现场统计研究会理事、省数学学会理事，曾赴美国奥克兰大学、澳大利亚悉尼科技大学访学。主持承担了国家自然科学基金项目2项，省部级项目7项，发表学术论文28篇。获省教学成果三等奖2项，指导国家级“大学生创新创业训练计划”项目4项，指导学生参加全国数学建模竞赛获国家一等奖1项，二等奖2项。

第1章数学建模简介

1.1数学模型与数学建模

1.1.1数学模型

1.1.2数学建模

1.2数学建模的步骤

1.3数学建模的作用

1.3.1数学建模课程的思政
作用

1.3.2数学建模对大学生能力
的培养作用

1.4数学建模论文的撰写

1.5数学建模竞赛

1.5.1全国大学生数学建模
竞赛

1.5.2中国研究生数学建模
竞赛

1.5.3美国大学生数学建模
竞赛

第2章Python简介

2.1Python概述

2.2Python的安装

2.2.1Anaconda的安装

2.2.2PyCharm的安装

2.3Python基础

2.3.1数据类型和变量

2.3.2条件判断

2.3.3循环

2.3.4自定义函数

2.3.5类

2.3.6可视化

本章小结

习题

第3章线性规划

3.1线性规划的基本原理

3.1.1线性规划的一般模型

3.1.2线性规划模型的求解
方法

3.2线性规划模型的建立和
Python求解

3.3线性规划的应用

3.3.1建立线性规划模型

3.3.2线性规划模型的Python
求解

3.3.3与线性规划问题相关的
建模真题

本章小结

习题

第4章非线性规划

4.1非线性规划的基本理论

4.1.1非线性规划模型的一般
形式

4.1.2无约束非线性规划的
求解

4.1.3有约束非线性规划的
求解

4.2非线性规划问题的Python
求解

4.2.1使用scipy.optimize模块
求解

4.2.2使用cvxopt.solvers模块
求解

4.2.3使用cvxpy库求解

本章小结

习题

第5章图论

5.1图的基本原理

5.1.1无向图和有向图

5.1.2简单图、完全图和赋
权图

5.1.3顶点的度和子图

5.1.4道路与回路和连通图与
非连通图

5.1.5图的表示及networkx库
简介

5.2最短路径算法及其Python
实现

5.2.1固定起点的最短路径算法
及其Python实现

5.2.2每对顶点间的最短路径算法
及其Python实现

5.3最小生成树算法及其Python
实现

5.3.1最小生成树算法的基本
概念

5.3.2求最小生成树的算法
及其Python实现

本章小结

习题

第6章微分方程

6.1建立微分方程模型的常用
方法

6.1.1根据规律建模

6.1.2微元法建模

6.1.3模拟近似法建模

6.2微分方程数值求解方法

6.2.1欧拉方法

6.2.2梯形方法

6.3微分方程的Python求解

6.4微分方程模型典型案例

6.4.1SI模型

6.4.2SIS模型

6.4.3SIR模型

6.4.4参数时变的SIR模型

本章小结

习题

第7章插值与拟合

7.1插值

7.1.1拉格朗日插值

7.1.2分段插值

7.1.3样条插值

7.1.4二维插值

7.2插值问题的Python求解

7.2.1插值相关模块介绍

7.2.2一维插值问题的应用
举例

7.2.3二维插值问题的应用
举例

7.3数据拟合

7.3.1最小二乘法拟合

7.3.2拟合函数的选取

7.4拟合问题的Python求解

7.4.1拟合相关模块介绍

7.4.2拟合问题实例

本章小结

习题

第8章随机模拟

8.1随机数

8.1.1随机数的生成

8.1.2使用NumPy库函数生成
随机数

8.1.3使用sklearn库函数生成
随机数

8.2随机模拟方法

8.2.1起源与发展

8.2.2随机模拟方法的特点

8.2.3解题步骤

8.2.4Python实现

8.3随机模拟的应用

本章小结

习题

第9章回归分析

9.1一元线性回归

9.1.1一元线性回归模型的
基本原理

9.1.2一元线性回归的Python
实现

9.2多元线性回归

9.2.1多元线性回归模型的
基本原理

9.2.2多元线性回归的Python
实现

9.3岭回归和LASSO回归

9.3.1岭回归和LASSO回归的
基本原理

9.3.2岭回归和LASSO回归的
Python实现

9.4非线性回归

9.4.1可转换为线性回归的曲线
回归

9.4.2多项式回归

9.4.3非线性最小二乘法

9.4.4非线性回归方程的
Python实现

本章小结

习题

第10章聚类分析

10.1聚类算法介绍

10.1.1层次聚类

10.1.2KMeans聚类

10.2聚类分析的Python实现

10.2.1层次聚类的Python
实现

10.2.2KMeans聚类的
Python实现

10.3KMeans应用

10.3.1数据信息可视化

10.3.2KMeans聚类

10.3.3聚类结果可视化

本章小结

习题

第11章主成分分析

11.1主成分分析的基本原理
和步骤

11.1.1主成分分析的基本
原理

11.1.2主成分分析的步骤

11.2主成分分析的Python实现

11.3主成分分析应用1

11.3.1构建主成分

11.3.2数据可视化

11.3.3降维后数据的相关
信息

11.4主成分分析应用2

本章小结

习题

第12章模拟退火算法

12.1模拟退火算法原理

12.1.1Metropolis算法

12.1.2退火过程

12.2模拟退火算法流程及参数
设置

12.2.1模拟退火算法流程

12.2.2模拟退火算法的参数
设置

12.2.3模拟退火算法的改进

12.3模拟退火算法的应用

12.3.1模拟退火算法实例

12.3.2模拟退火算法的
Python实现

本章小结

习题

第13章遗传算法

13.1遗传算法的原理

13.1.1遗传算法的思想起源

13.1.2遗传算法中的生物遗传
学概念

13.2遗传算法的Python实现及
应用

13.2.1遗传算法的相关
运算

13.2.2遗传算法的步骤

13.2.3遗传算法的应用

13.3遗传算法的改进

13.3.1改进基本遗传算法的
遗传算子

13.3.2自适应遗传算法

13.3.3引入层次遗传模式的
遗传算法

13.3.4混合遗传算法

本章小结

习题

第14章粒子群优化算法

14.1粒子群优化算法的思想起源
与原理

14.1.1粒子群优化算法的思想
起源

14.1.2粒子群优化算法原理

14.2粒子群优化算法流程及参数
分析

14.3粒子群优化算法的应用

14.4粒子群优化算法的改进

14.4.1加惯性权重的粒子群
优化算法

14.4.2带收缩因子的粒子群
优化算法

14.4.3混沌粒子群优化算法

本章小结

习题

第15章支持向量机

15.1支持向量机基本原理

15.1.1支持向量机分类

15.1.2支持向量机回归

15.1.3核函数

15.2支持向量机的Python实现

15.3支持向量机应用

15.3.1构建支持向量机

15.3.2模型评估

15.3.3参数调优——网格搜
索法

15.3.4数据可视化

本章小结

习题

第16章决策树

16.1决策树的基本原理

16.1.1ID3算法

16.1.2C4.5算法

16.1.3CART算法

16.2决策树的Python实现

16.3决策树应用

16.3.1案例一： 影响加班的
因素

16.3.2案例二： 乳腺癌
预测

本章小结

习题

第17章随机森林

17.1随机森林原理

17.1.1随机森林分类和回归
步骤

17.1.2随机森林特征重要性
排序

17.1.3随机森林算法流程

17.2随机森林的Python实现

17.3随机森林应用

17.3.1随机森林分类

17.3.2随机森林回归

17.3.3随机森林特征选择

本章小结

习题

第18章神经网络

18.1神经网络的基本原理

18.1.1感知机

18.1.2激活函数

18.1.3前馈神经网络

18.1.4BP神经网络

18.2神经网络的Python实现

18.3神经网络的应用

本章小结

习题

第19章深度学习

19.1深度学习简介

19.1.1深度学习基本框架

19.1.2深度学习基本模型

19.1.3深度学习应用

19.2深度学习基础

19.2.1损失函数

19.2.2学习率

19.2.3动量

19.2.4过拟合

19.3深度学习案例的Python
实现

19.3.1数据集简介

19.3.2卷积神经网络手写数字
识别的Python实现

本章小结

习题

参考文献

本书包括运筹优化、图论模型、微分方程、随机模拟和统计方法等传统建模方法，同时还增设了智能优化算法、机器学习方法和深度方法，可以满足广大读者和参赛者的学习需求。本书算法实现以Python语言为主，每章内容均有详细的代码，可以帮助读者高效掌握Python编程实现算法。本书共包含19章，前两章为基础部分，分别为数学建模简介和Python简介； 第3~11章为传统建模方法部分，其中，第3章和第4章分别介绍运筹优化中的线性规划和非线性规划，第5章介绍图论，第6章介绍微分方程，第7章介绍
插值与拟合，第8章介绍随机模拟，第9~11章介绍统计方法，包括回归分析、聚类分析和主成分分析； 第12~19章为智能优化和机器学习部分，其中，第12~14章为智能优化，分别介绍模拟退火算法、遗传算法和粒子群优化算法，第15~19章为机器学习方法，分别介绍支持向量机、决策树、随机森林、神经网络和深度学习。
本书可作为高等学校数学建模、数学实验课程教材，也可作为数学建模竞赛的培训教材。

秦喜文,博士，教授，现任长春工业大学大数据科学研究院院长兼校学科建设办公室副主任，中科院研究生院理学博士，吉林大学数学博士后，吉林省第七批拔尖创新人才，吉林省工业与应用数学学会副理事长、省运筹学会常务理事、省现场统计研究会理事、省数学学会理事，曾赴美国奥克兰大学、澳大利亚悉尼科技大学访学。主持承担了国家自然科学基金项目2项，省部级项目7项，发表学术论文28篇。获省教学成果三等奖2项，指导国家级“大学生创新创业训练计划”项目4项，指导学生参加全国数学建模竞赛获国家一等奖1项，二等奖2项。