Python应用数值方法——解决工程和科学问题

20世纪60年代，当我们作为学生首次学习使用计算机时，FORTRAN是工程和科学计算的首选语言。在接下来的半个世纪里，许多语言已被证明可用于实现研究和教学中非常有价值的数值计算；随着一系列FORTRAN改进版本的出现，ALGOL、BASIC、Pascal和C/C  等语言都进入了我们的计算工具箱。
这种演变存在的一个缺点是，这些语言中的大多数缺乏完全集成的数值算法库，无法让程序员利用大多数工程和科学应用所需的大量“工业实力”算法。
1984年，MathWorks公司通过引入一个完全集成、多范式的数值计算环境和名为MATLAB(MATrix LABoratory)的高级编程语言，弥补了这一缺陷。除了程序编程，MATLAB还允许绘图、创建用户界面，以及与其他语言进行交互。但最重要的是，MATLAB及其补充工具箱拥有庞大的内置函数和工具箱，使程序员能应用最先进的数值方法，而不必从头开发代码。
虽然MATLAB提供了高质量和功能强大的计算环境，但它的缺点是相对昂贵。尽管对于许多大学等大型组织而言，这通常可以忽略，但我们观察到，较小的咨询公司、地方政府、个人甚至像公司这样的一些大型实体都在考虑减少费用，因此需要一种成本更低的替代方案。
说到Python，Python由Guido van Rossum创建并于1991年首次发布，是一个多范式的开源计算环境，可以随时访问强大的数值例程，可供任何个人或组织免费使用。此外，它得到了良好的管理和维护，因此，它正成为越来越受欢迎的MATLAB替代品。
由于Python在工程和科学教育中的应用越来越广泛，我们决定撰写这本教科书来支持一个为期一学期的数值方法课程。课程是为那些想要学习和使用数值方法解决工程和科学问题的学生而写的。因此，这些方法是由问题(而非数学)驱动的，能提供足够的理论，让学生能深入了解相关技术及其缺点。
Python为此类课程提供了一个很好的环境，因为它很好地将高级编程语言与强大的内置数值功能相结合，以允许学生以结构化和连贯的风格实现中等复杂的算法，同时其数值能力使学生能够解决更难的问题，而不必全盘重来。
本书的基本内容、组织和教学方法与其他数值方法教科书类似，特别是，为使本书更容易阅读，有意保持对话式写作风格。本书试图直接与读者对话，部分目的是成为自学工具，因此，相信它在课堂之外对希望熟练掌握数值方法和Python的专业人士也有价值。
我们努力使本书保留有助于教学的功能，包括广泛使用实例和工程科学应用，最重要的是，让解释简单实用，以使本书尽可能“对学生友好”。
我们在这里澄清，本书内容不是深入讲授Python程序语言，而且之前不需要有Python方面的经验。我们提供了足够的Python编程背景，以方便数值方法的实现，使用归纳法让学生能够通过应用及时学习Python的各个方面，并逐渐将这些经验推广以提升对语言的熟悉程度；本书提供了许多Python代码示例，能为学生提供自己的代码开发模式。我们特意选择了Spyder集成开发环境，因为它提供一个相对友好的界面，包括许多类似MATLAB的功能，其中包括命令窗口、编辑器、变量资源管理器、调试工具和有用的帮助界面。精通Python的程序员可能会对我们漏掉一些功能感到失望，但我们强调要关注本书的主要目的：通过学习数值方法来增强STEM(科学、技术、工程、数学)学生的能力。
本书通过介绍如何解决数值问题来增强学生的能力。我们相信，热爱工程和科学、问题解决、数学和编程的学生，最终会成为更好的专业人士，如果本书能够激发人们对这些主题的热情和欣赏，我们认为这种努力是成功的。
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《Python应用数值方法——解决工程和科学问题》是为想要学习和应用数值方法来解决工程和科学问题的学生撰写的。书中提供了足够丰富的理论知识。如果读过本书的姊妹篇《工程与科学数值方法的MATLAB实现(第4版)》，就会发现过渡到Python程序是无缝的！不需要事先具有Python编程经验。 本书以解决问题为导向，强调理论联系实际。各章均引入实际的工程和科学问题，提供从相关概念定义、理论分析到算法实现的全套解决方案。每章末尾安排有课后习题，方便读者在巩固所学知识的同时，进一步提升自己编写代码和解决问题的水平。

StevenC.Chapra是塔夫茨大学土木与环境工程系名誉教授和Louis Berger讲座教授。他的其他著作包括Surface Water-QualityModeling、《工程数值方法(第6版)》和《工程与科学数值方法的MATLAB实现(第4版)》。Steven博士获得曼哈顿学院和密歇根大学的工程学学位。主要研究方向为地表水质建模和环境工程中的高级计算机应用。Steven是ASCE(美国土木工程学会)的院士和终身会员，并因学术贡献获得多个奖项，包括鲁道夫·赫林奖以及梅利亚姆·威利杰出作家奖。Steven还被公认为得克萨斯农工大学、科罗拉多大学和塔夫茨大学工程系的杰出教师和顾问。

David E. Clough于1975年加入科罗拉多大学化学与生物工程系。他于2017年从科罗拉多退休，后担任名誉教授。David博士获得了凯斯西储大学和科罗拉多大学的化学工程学位。他在应用计算、过程自动化和各种过程建模方面拥有丰富经验，重点研究的课题包括聚合、高温催化反应器、流化床、明渠流、生物医学仪器和太阳能热反应器。

第 I 部分  建模、计算机和误差分析
第1章  数学建模、数值方法和问题
求解 3
1.1  一个简单的数学模型 4
1.2  工程与科学中的守恒定律 9
1.3  本书所涉及的数值方法 11
1.4  案例研究：自由落体 12
习题  14
第2章  Python基础 24
2.1  Spyder/IPython运行环境 25
2.2  赋值 26
2.2.1  标量 26
2.2.2  数组、向量和矩阵 27
2.2.3  下标和下标的范围 30
2.2.4  arange、linspace和logspace函数 30
2.2.5  字符串 31
2.3  数学运算 33
2.4  使用内置函数 37
2.5  制图 41
2.6  其他资源 47
2.7  案例研究：探索性数据分析 48
习题  51
第3章  Python编程 57
3.1  Python脚本文件 58
3.1.1  Python脚本 58
3.1.2  Python函数 59
3.1.3  变量作用域 61
3.2  输入和输出 63
3.3  结构化编程 66
3.3.1  决策流程 66
3.3.2  关于参数的更多信息 70
3.3.3  循环 71
3.4  嵌套和缩进 76
3.5  带有函数名称参数的Python函数 79
3.5.1  lambda函数 79
3.5.2  函数-函数 80
3.5.3  参数传递 83
3.6  案例研究：蹦极者的速度计算 85
习题  88
第4章  舍入和截断误差 100
4.1  误差 100
4.1.1  准确度和精确度 101
4.1.2  误差定义 101
4.1.3  迭代计算的计算机算法 104
4.2  舍入误差 106
4.2.1  计算机中数字的表示法 106
4.2.2  计算机中数字的算术运算 111
4.3  截断误差 113
4.3.1  泰勒级数 113
4.3.2  泰勒级数式的余数 116
4.3.3  使用泰勒级数估计截断误差 118
4.3.4  数值微分 118
4.4  总数值误差 122
4.4.1  数值微分的误差分析 122
4.4.2  数值误差的控制 125
4.5  错误、模型误差和数据不确定性 125
4.5.1  错误 125
4.5.2  模型误差 126
4.5.3  数据不确定性 126
习题  126
第Ⅱ部分  求根和最优化
第5章  求根：交叉法 133
5.1  工程和科学应用中的求根问题 133
5.2  图形和试错法 134
5.3  交叉法和初步猜测 137
5.4  二分法 140
5.5  试位法 146
5.6  案例研究：温室气体和雨水 148
习题  152
第6章  根：开型法 159
6.1  不动点迭代 160
6.2  韦格斯坦法 164
6.3  牛顿-拉夫逊法 168
6.4  正割法 174
6.5  布伦特法 175
6.5.1  逆二次插值法 175
6.5.2  布伦特法的算法 177
6.6  Python SciPy函数：brentq 179
6.7  多项式 180
6.8  案例研究：管道摩擦 183
习题 188
第7章  优化 198
7.1  背景介绍 199
7.2  一维优化 201
7.2.1  黄金分割搜索 201
7.2.2  抛物线插值 207
7.2.3  Python的SciPy函数：
minimize_scalar 208
7.3  多维优化 210
7.4  案例研究：平衡和最小势能 212
习题  214
第Ⅲ部分  线性方程组
第8章  线性代数方程与矩阵 226
8.1  矩阵代数概述 227
8.1.1  矩阵符号 228
8.1.2  矩阵运算规则 229
8.1.3  用矩阵形式表示线性代数方程 237
8.2  用Python求解线性代数方程 238
8.3  案例研究：电路中的电流和
电压 240
习题 243
第9章  高斯消元法 249
9.1  求解少量方程 249
9.1.1  图解法 250
9.1.2  行列式和克莱默法则 251
9.1.3  消除未知数法 253
9.2  朴素高斯消元法 254
9.2.1  Python函数：gaussnaive 256
9.2.2  运算计数 258
9.3  主元 260
9.3.1  Python函数：gausspivot 261
9.3.2  用高斯消元法求行列式 262
9.4  三对角方程组 263
9.5  案例研究：加热棒模型 265
习题 268
第10章  LU因式分解法 275
10.1  LU分解法概述 275
10.2  LU分解的高斯消元 276
10.2.1  涉及主元消元的LU分解 279
10.2.2  应用Python的LU分解法 281
10.3  乔里斯基分解法 282
10.4  Python的np.linalg.solve函数 284
习题 285
第11章  矩阵的逆和条件 287
11.1  矩阵的逆 287
11.1.1  计算逆矩阵 287
11.1.2  刺激-响应计算 289
11.2  错误分析和系统状态 290
11.2.1  向量和矩阵范数 291
11.2.2  矩阵条件数 292
11.2.3  用Python计算范数和
条件数 293
11.3  案例研究：室内空气污染 294
习题 297
第12章  迭代法 302
12.1  线性方程组：高斯-赛德尔法 302
12.1.1  收敛性和对角优势 304
12.1.2  Python函数：gaussseide1 304
12.1.3  松弛 306
12.2  非线性系统 307
12.2.1  逐次代换法 307
12.2.2  牛顿-拉夫逊法 309
12.2.3  Python SciPy函数：root 313
12.3  案例研究：化学反应 314
习题 316
第13章  特征值 321
13.1  特征值和特征向量——
基础知识 322
13.2  特征值和特征向量的应用 324
13.2.1  二阶微分方程的一阶等价
方程 325
13.2.2  特征值和特征向量在微分
方程解中的作用 325
13.2.3  特征值和纯振荡的常微分
方程 326
13.3  物理场景-质量-弹簧系统 329
13.4  幂法 331
13.5  Python NumPy函数：eig和
eigvals 333
13.6  案例研究：特征值与地震 334
习题 338

第Ⅳ部分  曲线拟合
第14章  直线线性回归 346
14.1  统计学回顾 347
14.1.1  描述性统计 347
14.1.2  正态分布 351
14.1.3  使用Python进行描述性统计 354
14.2  随机数和模拟 357
14.2.1  均匀分布中的随机数 357
14.2.2  正态分布中的随机数 359
14.3  直线最小二乘回归 361
14.3.1  “最佳”拟合的标准 362
14.3.2  直线的最小二乘拟合 363
14.3.3  绘制直线的“荒岛”法 365
14.3.4  线性回归误差的量化 365
14.4  非线性关系的线性化 370
14.5  计算机应用 375
14.5.1  Python函数：strlinregr 375
14.5.2  Python NumPy函数：
polyfit和polyval 378
14.6  案例研究：酶动力学 379
习题 382
第15章  一般线性回归和非线性回归 393
15.1  多项式回归 393
15.2  多元线性回归 397
15.3  一般线性最小二乘回归 399
15.4  回归中的模型建立与选择 403
15.5  非线性回归 409
15.6  案例研究：拟合实验数据 414
习题 417
第16章  傅里叶分析 424
16.1  用正弦函数进行曲线拟合 425
16.2  连续傅里叶级数 430
16.3  频域和时域 432
16.4  傅里叶积分和变换 435
16.5  离散傅里叶变换(DFT) 435
16.5.1  快速傅里叶变换(FFT) 436
16.5.2  Python SciPy函数：fft 437
16.6  功率谱 439
16.7  案例研究：太阳黑子 440
习题 442
第17章  多项式插值法 446
17.1  插值法简介 447
17.1.1  确定多项式系数 447
17.1.2  Python NumPy函数：
polyfit和polyval 449
17.2  牛顿插值多项式 449
17.2.1  线性插值 449
17.2.2  二次插值 451
17.2.3  牛顿插值多项式的一般形式 452
17.2.4