复变函数

复变函数本身具有优雅的数学结构,其许多理论为解决自然科学、工程科学和其他数学分支中的问题提供了强大而通用的工具,在流体力学、电磁学、热学、弹性理论、断裂力学等领域有着重要的应用。数学家、科学家和工程师们常常借助复平面来解释真实的现象;事实上,利用复变函数可以解决许多用其他方法很难或几乎不可能解决的问题。一般来说,复变函数课程必须服务于具有不同学科背景(包括工程学、物理学和数学)的读者,而讲授这门课程的挑战在于如何在严格的数学证明和应用之间找到平衡点。作者在多年的复变函数课程教学中一直使用由数学专业背景的作者编写的教材;而针对力学专业的读者,作者编写了本书。为了使本书尽可能通用,作者借鉴国内外复变函数方面的优秀教材编写了前6章,又在后面补充了两章———复变函数在弹性理论和线弹性断裂力学中的应用。此外,由于许多编程语言支持复数,因此附录中介绍了复变函数的Python计算。

复变函数课程的适用对象是本科低年级学生,因为他们学过的高等数学课程主要研究对象是实变函数,而复变函数课程的主要任务是研究复数之间的相互依赖关系。复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域的推广和发展,因而它们之间有许多相似之处。但是,复变函数又有许多实变函数所不具备的性质。读者在学习中要勤于思考、善于比较,既要注意共同点,更要弄清不同点,只有这样才能抓住本质、融会贯通。本书的核心内容是前5章,其中前3章内容连贯、与实变函数的对应关系清晰,读者相对容易接受;第4~5章的学习需要综合应用前3章知识以及实变函数的相关知识,内容相对较难。为了方便读者阅读与复习,作者将书中一些重要的概念或关键字/词用加粗或下划线的方式标记了出来且将每章的关键知识点在小结中列了出来。

本书前6章的章节结构编排主要参考了友校教材,但将习题安排在了每一节后、作业单独安排在了每章的最后。前6章的编写主要参考了 Zill等人于2016年编写的 A FirstCourseinComplexAnalysiswithApplications,Kwok于2010年编写的 AppliedComplexVariablesforScientistsandEn gineers,Asmar和 Grafakos于2010年编写的ComplexAnalysiswithAppli cations,等等。在编写过程中,作者特别重视概念、细节的总结、凝练与内容的连贯性、完整性,以减少读者在阅读过程中可能出现的断联。第7~8章的编写主要参考了 Perez于2017年编写的FractureMechanics,Kuna于2013年编写的FiniteElementsinFractureMechanics:Theory,Numerics,Applications,等等。这部分内容可增进读者学习复变函数的兴趣,也有助于力学专业的读者更好地理解复变函数,可不具体讲授。附录的编写主要参考了一些网络资源。通过Python实现复变函数的计算,既可增进读者的学习兴趣,也可校对手算结果。

本书前5章的初稿于2019年完成,在随后多年的教学实践中不断被修改完善。在此作者特别感谢北京航空航天大学复变函数教学团队多位老师提出的宝贵建议。作者的研究生蓝迎莹、谢盼、许派等参与了本书初稿的准备等工作。本书从开始编写到完稿历经多年,不断被修改完善务求内容正确无误。限于作者的水平和时间,书中错误和疏忽之处在所难免,恳请读者提出宝贵的意见。

刘 波

2023年2月

本书作为高等院校理工科专业基础教材,主要内容包括复变函数基本理论以及复变函数在弹性理论和线弹性断裂力学中的应用。全书共分为8章:前6章主要介绍了复变函数的基本理论,包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和共形映射;第7章、第8章分别介绍了复变函数在弹性理论和线弹性断裂力学中的应用;附录中介绍了复变函数的 Python计算。本书在兼顾数学证明和应用之间平衡的同时,补充了复变函数的力学应用和 Python实践,并配有小结、习题及作业。

本书适用于高等院校理工科专业低年级本科生,也可用作弹性力学、断裂力学相关专业本科生、研究生及科研人员的参考书。

刘波，男，副教授，博导，主要研究方向是工程中的前沿数值方法及其软件开发、计算固体力学、结构动力学等。以第一兼/或通讯作者在《Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.》、《Int J Numer Methods Eng.》等国际期刊上发表30多篇学术论文，出版专著《微分求积升阶谱有限元方法》、《A Hierarchical Quadrature Element Method》、《板壳自由振动的精确解》。目前专注于计算机辅助设计与分析的无缝集成及其软件开发。获批自然科学基金项目3项，承担了多项企业工程软件开发、仿真模拟项目，参与了“两机”专项等国家项目。

第1章 复数与复变函数  1
1.1 复数及其代数运算 1 
1.1.1 复数的概念 1
1.1.2 复数的代数运算 2
习 题  7
1.2 复数的几何表示   7
1.2.1 复平面  7
1.2.2 复无穷和复球面 12
习 题  13
1.3 复数的乘幂与方根  14
1.3.1 乘积与商  14
1.3.2 整数次幂与方根 14
习 题  18
1.4 区 域 19
1.4.1 开集和闭集  19
1.4.2 区域和连通性 21
习 题  23
1.5 复变函数  23
1.5.1 复变函数的定义 23
1.5.2 映射的概念  25
习 题  29
1.6 复变函数的极限和连续性  30
1.6.1 复变函数的极限 30
1.6.2 复变函数的连续性  34
习 题 35 
1.7
* 四元数及其应用 36  
1.7.1 超复数 36 
1.7.2 四元数的定义 37
1.7.3 三维旋转  39
1.7.4 旋转四元数  40
本章小结   41
作 业   45
第2章 解析函数 48
2.1 解析函数的概念  48
2.1.1 复变函数的导数与微分 48
2.1.2 解析函数及其简单性质 51
习 题  52
2.2 柯西 黎曼方程   52
习 题  56
2.3 初等复变解析函数  57
2.3.1 复变指数函数 57
2.3.2 复变对数函数 58
2.3.3 复变幂函数  61
2.3.4 复变三角函数和复变双曲函数 63
2.3.5 复变反三角函数和复变反双曲函数 65
习 题  66
本章小结   68
作 业   70
第3章 复变函数的积分   72
3.1 复变函数积分的概念 72
3.1.1 复积分的定义 72
3.1.2 路径积分的计算 74
3.1.3 路径积分的性质 78
习 题  79
3.2 柯西 古萨基本定理 81
3.3 多连通域的柯西 古萨定理 82
习 题  86
3.4 原函数与不定积分  87
习 题  90
3.5 柯西积分公式 … 90
3.6 解析函数的高阶导数公式  93
3.6.1 路径积分的导数 … 93
3.6.2 莫雷拉定理  95
习 题  96
3.7 解析函数与调和函数的关系 97
习 题 100
本章小结  100
作 业  103
第4章 级 数  106
4.1 复数项级数  106
4.1.1 复数列的收敛性   106
4.1.2 复数项级数的概念 108
习 题 111
4.2 幂级数   111
4.2.1 幂级数的概念  111
4.2.2 收敛圆和收敛半径 113
4.2.3 收敛半径的求法   114
4.2.4 幂级数的运算和性质 115
习 题 117
4.3 泰勒级数 117
习 题 121
4.4 洛朗级数 121
习 题 126
本章小结  126
作 业  129
第5章 留 数  132
5.1 孤立奇点 132
5.1.1 可去奇点   132
5.1.2 本性奇点   133
5.1.3 极 点   133
5.1.4 复无穷处的奇点   134
5.1.5 函数的零点与极点的关系 134
习 题 137
5.2 留数和留数定理   137
5.2.1 留数的定义及留数定理 137
5.2.2 留数的计算规则   139
5.2.3 无穷远点的留数   140
习 题 143
5.3 留数在定积分计算中的应用 144
5.3.1 三角函数在[0,2π]上的积分 144
5.3.2 形如∫∞-∞f(x)dx 的积分 145 
5.3.3 形如∫∞-∞f(x)cosxdx 或∫∞-∞f(x)sinxdx 的积分 147
习 题 149 
本章小结  149
作 业  152
第6章 共形映射 155
6.1 共形映射的概念   155
6.1.1 解析函数导数的几何意义 155
6.1.2 共形映射的定义   156
6.1.3 临界点附近的映射行为 158
习 题 159
6.2 分式线性映射   160
6.2.1 分式线性映射的定义 160
6.2.2 保圆性   162
6.2.3 保对称性   163
习 题 166
6.3 施瓦茨 克里斯托费尔映射 167
6.3.1 将实轴映射为多边形 168
6.3.2 施瓦茨 克里斯托费尔映射的概念 169
6.3.3 将上半平面映射为三角形或矩形 172
本章小结  175
第7章 弹性理论 179
7.1 弹性理论中的概念 179
7.2 应力状态 180
7.2.1 三轴应力状态  181
7.2.2 平面状态   182
7.2.3 双轴应力状态  182
7.3 工程应力状态   183
7.4 平衡方程 186
7.4.1 在笛卡尔坐标系下 186
7.4.2 在极坐标系下  187
7.5 双调和方程  188
7.6 艾里应力函数   190
7.7 复势函数 196
本章小结  203
第8章 线弹性断裂力学  207
8.1 加载模式 207
8.2 韦斯特加德应力函数  208
8.2.1 边界条件   210
8.2.2 近场应力分析  211
8.3 二维裂纹问题   212
8.3.1 Ⅰ型裂纹   212
8.3.2 Ⅱ型裂纹   216
8.3.3 Ⅲ型裂纹   218
8.4 裂纹问题的特征函数法   218
本章小结  222
附录 A 复变函数的Python计算 225
A.1 用 Python化简复数 225 
A.1.1 在 Python中创建复数 225
A.1.2 Python中的复数类型 226
A.1.3 复数算术   227
A.1.4 Python中关于复数的数学模块 230
A.1.5 Python中的复数剖析 236
A.1.6 用 Matplotlib在 Python中绘制复数 238
A.2 用SymPy做符号计算 240  
A.2.1 符号的定义 241
A.2.2 函数类   241
A.2.3 极 限   242
A.2.4 积 分   242
A.2.5 微 分   243
A.2.6 四元数   244
A.2.7 绘 图   245
参考文献 248

本书作为高等院校理工科专业基础教材,主要内容包括复变函数基本理论以及复变函数在弹性理论和线弹性断裂力学中的应用。全书共分为8章:前6章主要介绍了复变函数的基本理论,包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数和共形映射;第7章、第8章分别介绍了复变函数在弹性理论和线弹性断裂力学中的应用;附录中介绍了复变函数的 Python计算。本书在兼顾数学证明和应用之间平衡的同时,补充了复变函数的力学应用和 Python实践,并配有小结、习题及作业。

本书适用于高等院校理工科专业低年级本科生,也可用作弹性力学、断裂力学相关专业本科生、研究生及科研人员的参考书。

刘波，男，副教授，博导，主要研究方向是工程中的前沿数值方法及其软件开发、计算固体力学、结构动力学等。以第一兼/或通讯作者在《Comput. Methods Appl. Mech. Engrg.》、《Int J Numer Methods Eng.》等国际期刊上发表30多篇学术论文，出版专著《微分求积升阶谱有限元方法》、《A Hierarchical Quadrature Element Method》、《板壳自由振动的精确解》。目前专注于计算机辅助设计与分析的无缝集成及其软件开发。获批自然科学基金项目3项，承担了多项企业工程软件开发、仿真模拟项目，参与了“两机”专项等国家项目。