圆锥曲线论 科学元典丛书

希思前言

可以毫不夸张地说，对当今的大多数数学家而言，阿波罗尼奥斯只是一个名字，而对于所有实际应用而言，他的《圆锥曲线论》只是一本不为人知的书。但是按照夏斯莱（Charsley）的说法，这本写于大约21个世纪以前的书，包含着“人们最感兴趣的圆锥曲线的性质”，更不用说，作者用纯几何手段得到了如此精彩的研究成果，完美地确定了任何圆锥曲线的演化。阿波罗尼奥斯因其研究工作而被其同时代人称誉为“伟大几何学家”。人们对他的忽略，与其先驱者欧几里得的命运形成了十分强烈的对比；因为至少在英国，无论就内容和优先序而言，欧几里得的《几何原本》仍然是初等几何学公认的基础，但是对圆锥曲线现代教科书的形式和方法，阿波罗尼奥斯可以说至今实际上全无影响。

也不难找到人们对这个专题的知识普遍匮乏的原因。首先，面对总共包含387个命题的希腊语或拉丁语的七卷书，无须惊讶普通的数学家会知难而退；并且毫无疑问，这本似乎来势汹汹的大部头著作，阻止了许多人对之了解的尝试。其次，命题的形式带来了额外的困难，因为就理解这一在某种程度上复杂的几何著作而言，读者在其中完全找不到起码的帮助。例如，未用规定字母标注各种圆锥曲线上的特定点，而在现代教科书里标出特定点却是常规。与此相反，本来可以借助已经统一的符号用几行文字来说明的一些命题，阿波罗尼奥斯却总是采用类似于欧几里得的叙述风格，那些话语通常笨拙不便。而在阿波罗尼奥斯的书中，不便之处更加严重，因为与关于线条和圆的较为基本的概念相比，圆锥曲线研究中的概念要复杂得多，故在许多情况下，需要用多达相当于本书半页的篇幅予以说明。因此，即使要掌握对一个命题的说明，也往往十分劳心费时。再次，除了用单独的段落来标识正式的分隔，命题是连续书写的；证明中的相继步骤毫无间断而难以辨认，因而不易理解论据的整体。最后，符号完全不统一，几乎在每一个新的命题中，都使用不同的字母来表示相同的点，以致记住某些命题的结果也是极其困难的，这一点不足为奇。然而这些命题，虽然不为当今的数学家们所熟悉，却是阿波罗尼奥斯系统的精髓之所在，并且被不断地使用，因此必须牢记心中。

以上评论指的是可以用希腊语或拉丁语译文阅读的阿波罗尼奥斯的著作，即哈雷和海贝格的译本；但采用使现代读者更容易理解的形式全面表述阿波罗尼奥斯著作精髓的唯一尝试，却同样备受质疑。《圆锥曲线论》的德语译本（H.Balsam，Berlin，1861），其准确性和一些有用的阐释性注释值得高度赞扬，也许更重要的是，德语译本有一套令人赞叹的插图，多达400幅；但命题的叙述仍然用话语几乎无间断地书写，而且符号并未足够现代化，这些使得德语译本与原本相比，并未为普通读者提供任何更多真正的帮助。

因此，仍然需要有这样一个版本，在某些方面，它应该比巴萨姆（Balsam）更严格地忠实于原文，但同时又借助公认的现代符号被彻底地改造，使任何有能力的数学家都能完全读懂；而这正是本书的目的。

在给自己下达这个任务时，我决定，《圆锥曲线论》的任何令人满意的再现必须满足一些基本条件： (1) 它应该是阿波罗尼奥斯的，并且只是阿波罗尼奥斯的，无论是在实质上还是在他的思想顺序上，不应该作任何改变； (2) 它应该是完整的，不应遗漏任何有意义的或重要的东西；(3) 它应该在不同标题下展示论题的相继划分，以使作者所遵循的确定方案可以被视为一个整体。

因此，我认为自己的首要任务是必须完全熟悉整部著作的第一手资料。以此为目标，我首先把现存的七卷书做了一个完美的直译。这是一项辛苦的工作，但由于标准版本的卓越超群，我并未遇到其他困难。在这些标准版本中，哈雷的译本是里程碑式的，其设计和执行都是无可争议的；对于卷Ⅴ—Ⅶ，哈雷的译本仍然是唯一的完整版本。对于卷Ⅰ—Ⅳ，我主要使用了海贝格的希腊语新版，这位学者通过成功地出版阿基米德的关键著作（其拉丁语译文）、欧几里得的《几何原本》，以及阿波罗尼奥斯所有仍然存世的希腊语作品，赢得了所有对希腊数学史感兴趣的人们的感激之情。海贝格的译本的唯一缺点是插图，这些插图质量很差而且不乏误导性。所以我发现，即使在编译卷Ⅰ—Ⅳ时，拥有哈雷版本及其令人赞叹的插图也是一大优势。

真正的困难始于重新编写本书的建设性工作，涉及使用统一的新符号，浓缩一些命题，把两个或多个命题组合为一个，略微调整一些命题的次序，以便在相近命题的分离只是意外发生而不是刻意设计的情况下，把它们整合，如此等等。其结果是，在不遗漏任何必要或重要内容的前提下，这本书的篇幅减少了一半以上，独立命题的数量也相应地减少了。

完成《圆锥曲线论》的重新编辑之后，为了完整起见，看来我有必要为其加上一个导言，以便：（1） 显示阿波罗尼奥斯与其同一领域的先驱者相比在内容和方法上的关系；（2） 与在正文中方括号内插入的少量注释相比，更充分地说明《圆锥曲线论》某些部分的数学意义，以及它与我们所知阿波罗尼奥斯的其他较小论文之间可能的联系；（3） 充分描述和说明希腊语原文中命题的形式和语言。这些目标中的第一个，要求我给出阿波罗尼奥斯时代及以前的圆锥曲线的历史概要，所以我认为把导言的这一部分写得尽可能详尽是值得的。因此，例如就阿基米德的情况而言，我在他的许多著作中实际收集了所有这样的命题——它们给出了与圆锥曲线有关的实质性证明；并且我希望，将这个历史概要作为一个整体，不仅对于所述的时期比任何英文版本都更详尽无遗，而且它也会像本书的其余部分一样对读者有吸引力。

对于更早的圆锥曲线历史，以及《圆锥曲线论》某些部分和阿波罗尼奥斯其他较小论文的数学意义，我一直备受宙森（Zeuthen）的一部宝贵著作《古代圆锥曲线论》（H.G.Zeuthen，Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum，German edition Copenhagen,1886)之恩泽，该著作在很大程度上涵盖了本书同样的领域。然而，它的一大部分由数学分析组成而不是重现阿波罗尼奥斯的工作，它当然地被这里重新编写的专论本身所替代。我也经常使用海贝格的《关于欧几里得文献的历史研究》(Litterargeschichtliche Studien über Euklid，Leipzig，1882)、欧几里得的《几何原本》希腊语原文、阿基米德的著作、帕普斯的《数学汇编》和普罗克勒斯所写重要的《对欧几里得卷Ⅰ的评论》。

本前言的开首插画页是出现在哈雷版开头的一幅古色古香的图画及附加的传说。除了维特鲁维乌斯（Vitruvius），这个故事也在别处被讲述过，但内容较少。［参见克劳迪·加雷尼·佩尔加梅尼（Claudii Galeni Pergameni）， c.v.§8,p.108,38 ed.I.Marquardt, Leipzig, 1884。其标题页上的引文摘自普罗克勒斯《对欧几里得卷Ⅰ的评论》(p.84，ed. Friedlein)中充满活力和鼓舞人心的一段文字，他在其中叙述了欧几里得工作的科学目的，并将其与对微不足道的引理、案例的区分之类的无用研究进行了对比，这些是普通希腊评论员惯用的手法。］普罗克勒斯声称他的工作的一个优点是，它至少包含了“哦！他是一位更切实际的理论家”；我想我可以声称我自己的工作也是如此，如果称职能干的批评家们在他们的判断中还可以加上一句，“正中哲学家之下怀”，那么我真的会引以为豪。

我要向我的兄弟，伯明翰梅森学院院长R.H.S.希思表示感谢，感谢他阅读了我这本书的大多数清样，以及他对这项工作进展的持续关注。

T.L.希思
1896年3月

《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质网罗殆尽，把综合几何发展到高水平，使后人在将近两千年的时间里都没有插足的余地，直到笛卡儿等人创立坐标几何、帕斯卡等人创立射影几何，才使得圆锥曲线论有所突破。天文学家开普勒、数学家莱布尼兹等亦从中受益。 
《圆锥曲线论》集欧几里得、阿基米德等前人之大成，同时将该领域的研究向前推进了一大步，证明了三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。 
阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出了坐标制思想，即以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，启发了后来坐标几何学的建立。  
中译本根据1896 年由剑桥大学出版社出版的希思的注释改写英译本翻译而来。希思撰写的导言占全书近三分之一的篇幅，不仅详细梳理了古希腊关于圆锥曲线研究的历史，还提炼了《圆锥曲线论》的主要内容。中译者凌复华教授亦撰写了导读，帮助读者更好地了解阿波罗尼奥斯的生平故事和研究方法，明确阅读本书的价值和意义所在。

【作者简介】
阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，前 262—前190），古希腊数学家、天文学家。他建立了完美的圆锥曲线理论，与欧几里得、阿基米德并称为古希腊三大数学家。

【英译者简介】
希思（Thomas Heath，1861—1940），英国数学史家、古典学家，英国皇家学会会员，将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯等人的作品翻译成英文并加评注，影响深远。 

【中译者、导读者简介】
凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院教授，知名翻译家，已出版译著《几何原本》《阿基米德经典著作集》《圆锥曲线论》《世界的和谐》等多部。

弁言 / i
导读 / 1
希思前言 / 1
希思导言

第一部分希腊圆锥曲线研究的早期历史 / 3
第一章圆锥曲线的发现： 梅奈奇姆斯 / 5
第二章阿里斯塔俄斯与欧几里得 / 16
第三章阿基米德 / 25
第二部分阿波罗尼奥斯《圆锥曲线论》导引 / 51
第一章阿波罗尼奥斯及其对《圆锥曲线论》的说明 / 53
第二章一般特征 / 67
第三章阿波罗尼奥斯的方法 / 79
第四章借助切线构建圆锥曲线 / 104
第五章三线和四线轨迹 / 110
第六章通过五点作一条圆锥曲线 / 119
附录： 希腊几何学术语附注（略） / 126

阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》

圆锥 / 129
直径及共轭直径 / 142
切线 / 149
以任意新的直径及在其端点的切线为参考的圆锥曲线的命题 / 158
由一定数据构建圆锥曲线 / 169
渐近线 / 179
切线、共轭直径与轴 / 190
命题17—19的推广 / 208
相交弦段所夹矩形 / 219
极与极线的调和性质 / 225
两条切线被第三条切线所截的截距 / 232
有心圆锥曲线的焦点性质 / 236
关于三条线的轨迹 / 242
相交的圆锥曲线 / 249
法线作为极大与极小 / 260
导致立即确定渐屈线的命题 / 287
法线的构建 / 298
有关极大与极小的其他命题 / 304
相等与相似的圆锥曲线 / 313
作图题 / 323
共轭直径长度的一些函数的值 / 333

《圆锥曲线论》将圆锥曲线的性质网罗殆尽，把综合几何发展到高水平，使后人在将近两千年的时间里都没有插足的余地，直到笛卡儿等人创立坐标几何、帕斯卡等人创立射影几何，才使得圆锥曲线论有所突破。天文学家开普勒、数学家莱布尼兹等亦从中受益。 
《圆锥曲线论》集欧几里得、阿基米德等前人之大成，同时将该领域的研究向前推进了一大步，证明了三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、椭圆、双曲线、正焦弦等名称。 
阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中提出了坐标制思想，即以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂线作为纵坐标，启发了后来坐标几何学的建立。  
中译本根据1896 年由剑桥大学出版社出版的希思的注释改写英译本翻译而来。希思撰写的导言占全书近三分之一的篇幅，不仅详细梳理了古希腊关于圆锥曲线研究的历史，还提炼了《圆锥曲线论》的主要内容。中译者凌复华教授亦撰写了导读，帮助读者更好地了解阿波罗尼奥斯的生平故事和研究方法，明确阅读本书的价值和意义所在。

【作者简介】
阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga，前 262—前190），古希腊数学家、天文学家。他建立了完美的圆锥曲线理论，与欧几里得、阿基米德并称为古希腊三大数学家。

【英译者简介】
希思（Thomas Heath，1861—1940），英国数学史家、古典学家，英国皇家学会会员，将欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯等人的作品翻译成英文并加评注，影响深远。 

【中译者、导读者简介】
凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院教授，知名翻译家，已出版译著《几何原本》《阿基米德经典著作集》《圆锥曲线论》《世界的和谐》等多部。

导 读

凌复华

(上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院 教授)

一、 古希腊文明与古希腊数学

公元前5000—前3000年，在北半球的两河流域、尼罗河、印度河和恒河流域以及黄河和长江流域，相继产生了世界四大文明。

稍晚一些，约公元前3000—前1100年， 爱琴海中克里特岛上的米诺斯人创造了克里特文明。米诺斯人可能是从埃及渡海过来的，他们使用的“线形文字A”并非希腊文字，今已消失。米诺斯王朝晚期，阿卡亚人从巴尔干半岛南下，在希腊南部建立了自己的国家。阿卡亚人建立了迈锡尼王朝，灭掉了米诺斯王朝。迈锡尼王朝使用的是最早的希腊文字，被称为“线形文字B”，现也已消失。米诺斯王朝虽在希腊领土上，但因未使用希腊文字，因此有些历史学家认为希腊历史应该始于迈锡尼王朝而不是米诺斯王朝。

公元前1100—前1000年，多利亚人入侵毁灭了迈锡尼文明，希腊历史进入了没有文字的所谓“黑暗时期”，其后期又因《荷马史诗》的留传而被称为荷马时期，不过荷马是否确有其人，尚无确凿证据。

希腊城邦制度是希腊特有的制度，城邦就是主要以城镇为中心的独立自主的小国。在黑暗时期晚期，新的城邦国家纷纷建立。公元前776年，第一次奥林匹克运动会的举办，标志着“古风时期”的开始。此后，各城邦国家（称为“母城邦”）的希腊人纷纷向外殖民。有些殖民地由逃离本土的战败者或放逐者所建立，更多的是为了贸易需要。在250年中，新的希腊城邦（称为“殖民城邦”）遍及巴尔干半岛、小亚细亚和北非的地中海及黑海沿岸，也包括今天的西班牙、法国和意大利，见图1。因此，许多古希腊名人并不出生在希腊本土。阿基米德便出生在今意大利西西里岛的锡拉库萨（古名叙拉古），而阿波罗尼奥斯则出生在今土耳其的帕加。

 
在诸城邦中，势力最大的是雅典和斯巴达。公元前490年，波斯大军渡海西侵，但在马拉松战役中被人数居于劣势的雅典重装步兵击败。希腊人赢得了第一次希波战争的胜利，希腊历史进入“古典时期”。

此后，希腊内部雅典与斯巴达争霸，公元前431年，伯罗奔尼撒战争爆发，十年后以《尼西亚斯和约》结束。内战导致希腊国力式微，于公元前338年被北方的马其顿王国（马其顿王国不属于希腊本土，被希腊人排除在希腊世界之外，虽然其宫廷中使用希腊语）征服。公元前337年，马其顿王国国王菲利普二世召开科林斯会议，会议的决议要求各城邦承认他为全希腊的统帅，但保存各城邦的自治地位。不过各城邦在政治上的独立自主性此后不复存在。

乱世出英雄。在雅典社会危机和希腊城邦危机交织的过程中，有两位思想家最具影响力，柏拉图（Plato，前427—前347）和他的学生亚里士多德（Aristotle，前384—前322）。还要提到的是柏拉图的老师苏格拉底（Socrates，前469—前399）。苏格拉底视个人的道德修养和灵魂为最重要，当他被不恰当地指控不尊敬神祇和带坏青年，他拒不认错并不愿出逃，最后饮毒酒身亡。柏拉图致力于探讨理想的城邦及其制度，表述于著名的《理想国》一书中。亚里士多德则认为社会应当包容，使得贫富阶层都不走极端。

公元前336年，菲利普二世被刺身亡，他的儿子，即马其顿帝国亚历山大大帝即位。大帝战功辉煌，先是统一希腊全境，进而横扫中东地区，又不费一兵一卒占领埃及，再荡平波斯帝国，大军一直开到印度河流域。但他三年后就病逝，年仅33岁。死后无继承人，手下将领经多年争夺后，最后建立了三个希腊化王朝，即安提柯王朝（马其顿和希腊本土）、塞琉古王朝（西亚）和托勒密王朝（埃及）。

托勒密王朝极其富裕，亚历山大城成为世界科学之都，数学和科学发展到了顶峰，许多希腊学者都曾在那里工作，包括阿基米德（Archimedes，前287—前212）和阿波罗尼奥斯（Apollonius，约前262—约前190）。托勒密王朝于公元前30年覆灭，希腊化时期结束。

表1列出了古希腊的知名数学家。他们大都生活和工作于公元前6世纪至公元前2世纪的400年间，即从古风时期的后半至希腊化时期的前半。而自欧几里得开始的大数学家，都生活在希腊化时期。这段时间正是中国的春秋战国时期（公元前8世纪至公元前2世纪），诸子百家辈出，不过多半是哲学家，鲜少数学家和科学家。

四大文明中除了中华文明，其余都与古希腊及其殖民地在地理上十分接近。古希腊文明从中汲取了许多营养。而后来的西欧文明可以看作古希腊文明的延续。

二、 阿波罗尼奥斯及其在数学史中的地位

阿波罗尼奥斯约公元前262年生于古国潘菲利亚的帕加（Perga），约公元前190年卒。帕加位于今土耳其小亚细亚半岛。阿波罗尼奥斯年青时到亚历山大跟随欧几里得的后继者学习，那时是托勒密三世(Ptolemy Euergetes，前246—前221在位)统治时期，到了托勒密四世(Ptolemy ，前221—前205在位)时期，他在天文学研究方面已颇有名气。后来他到过小亚细亚西岸的佩加蒙（Pergamon）王国，那里有一个大图书馆，规模仅次于亚历山大图书馆。国王阿塔勒斯一世(Attalus ⅠSoter，前241—前197在位)除崇尚武功外，还注重文化建设。阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线论》从第四卷起都是题献给阿塔勒斯的，后世有些学者认为该阿塔勒斯就是这位国王。但存在一个疑点，阿波罗尼奥斯在写信给阿塔勒斯时直书其名，而没有在前面加上“国王”的称呼，这是违背当时的礼仪习惯的。可能有两种解释，一是他指的不是国王而是另一个同名的人，二是他不循礼法，而这位君主确能礼贤下士，不拘小节。

阿波罗尼奥斯在佩加蒙还结识了一位欧德莫斯(Eudemus)，《圆锥曲线论》的前三卷是题献给他的。在这书的卷Ⅱ的前言中，阿波罗尼奥斯说他曾将该卷通过他儿子交给欧德莫斯，并请欧德莫斯如果见到菲洛尼底斯(Philonides)，也让他一阅此书。菲洛尼底斯是阿波罗尼奥斯在以弗所（Ephesus）结识的几何学家，对圆锥曲线论颇感兴趣，阿波罗尼奥斯曾介绍他与欧德莫斯相识。 卷Ⅲ没有前言。卷Ⅳ的前言是写给阿塔勒斯的，开头说这八卷著作的前三卷是题献给欧德莫斯的，现在他已去世，我决定将其余各卷题献给您，因为您也渴望得到我的著作。 由此可知阿波罗尼奥斯写此书是在晚年，至少是在他的儿子成年以后。在卷I的前言中，阿波罗尼奥斯向欧德莫斯叙述撰写该书的经过： “几何学家劳克拉泰斯(Naucrates)来到亚历山大，鼓励我写出这本书。我赶在他乘船离开之前仓促完成并交给他，未能仔细推敲。现在才有时间逐卷修订，并分批寄给您。”

阿波罗尼奥斯的主要成就是建立了完美的圆锥曲线理论。他总结了前人在这方面的工作，再加上自己的研究成果，撰写成《圆锥曲线论》八大卷，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，使后人几乎没有插足的余地。根据尤托西乌斯(Eutocius，约480—540)引述格米努斯（Geminus，约前70）的话，阿波罗尼奥斯的同时代人对他就圆锥曲线所作的绝妙处理评价极高，称他为“大几何学家”。《圆锥曲线论》的出现，立刻引起人们的重视，被公认为这方面的权威著作。著名数学史家帕普斯（Pappus，3—4世纪）曾给它增加了许多引理，著名数学家塞里纳斯(Serenus，4世纪)及希帕提娅(Hypatia，约370—415)都对之做过注解。尤托西乌斯校订注释了前四卷希腊文本。

《圆锥曲线论》的写作风格仿效欧几里得。先设立若干定义，再由此证明各个命题。推理是十分严谨的，有些性质在欧几里得《几何原本》中已得到证明，便作为已知的使用，但原文并没有标明出自《几何原本》何处，有些后人对此颇有微词。阿基米德的传记作者甚至说，阿波罗尼奥斯将阿基米德未发表的关于圆锥曲线的成果据为己有。此说出自尤托西乌斯的记载，但他同时说这种看法是不正确的。帕普斯则指责阿波罗尼奥斯采用了许多前人(包括欧几里得)在这方面的工作，而未归功于这些先驱者。事实上，阿波罗尼奥斯在前人的基础上有巨大的进步，其卓越的贡献也是应该肯定的。本书《希思导言》中对这些有详细讨论，不在此赘述。

阿波罗尼奥斯在天文学方面的研究也很有名。他的其他著作还有：《截取线段成定比》《截取面积等于已知面积》《论接触》《平面轨迹》《逼近》《内接于同一个球的十二面体与二十面体对比》《无序无理量》，还有圆周率计算以及天文学方面的著述等。

古希腊是一个数学家辈出的时代，表1列出了20位最负盛名的数学家，其中6位做出了里程碑式的贡献，如表2所示，最后一位就是阿波罗尼奥斯。一般认为，古希腊最伟大的三位数学家是欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯。在他们以后，希腊数学再无创造性的发展。不过还值得注意的是上面提到的帕普斯，他生活于罗马帝国晚期，著有《数学汇编》（Synagoge）一书，该书记录了许多重要的古希腊数学成果（其中很多原本已佚失），且留存至今，在数学史上意义十分重大，本书中也多处引用了该书。

三、 《圆锥曲线论》的各种版本

9世纪时，君士坦丁堡(东罗马帝国都城)兴起了学习希腊文化的热潮，尤托西乌斯编辑的《圆锥曲线论》四卷本被转写成安色尔字体(uncial，手稿常用的一种大字体)并保存下来，不过有些地方有所改动。前四卷最早由叙利亚人希姆斯(Hilāl ibn Abī H