中考数学压轴题全解析

——从“一题多解”到“多解归一”

在学习中，常有同学感慨上课听懂了，但是题目不会做。这个问题的原因有很多，而且理论与实践本身就有一定的差别。那怎样才算真正听懂了，而且还能实现从听懂到会做题的突破呢？主要还是在学习中抓住要点，认识事物的本质。在数学中，常常通过“一题多解”到“多解归一”来促进对知识的深度理解。

为什么要一题多解？只要会做题不就好了吗？这是很多同学会问的问题。实现一题多解本身不是终目的，更不是无意义的炫技。而是希望通过解一道题通一类题，对某个知识点或者题型有更深刻的认识，达到举一反三的效果。下面以教材中的三角形内角和定理的证明来感受一下从“一题多解”到“多解归一”。

【三角形内角和定理的证明】

一、 三角形内角和定理

如图1，在△ABC中，∠A ∠B ∠C=180°。

图1

三角形的内角和为180°，这是小学阶段学过的知识。小学阶段通过操作的方式验证了结论。到了初中阶段，我们需要学会如何证明该结论，见图2。

图2

二、 分析

在初中阶段，由180°能想到的就是平角（邻补角互补）与同旁内角（两直线平行，同旁内角互补）。

① 如图3，∠BAC=180°。

② 如图4，因为AB∥CD，所以∠A ∠C=180°。

图3

图4

三、 一题多解

1. 构造平角

① 如图5，过点A作DE∥BC，把三个内角和转化为平角∠DAE。

② 如图6，延长BA至点D，过点A作AE∥BC，转化为平角∠BAD。

③ 如图7，在边AB上取一点D，过点D分别作DE∥AC交BC于点E，作DF∥BC交AC于点F，转化为∠BDA。

图5

图6

图7

④ 如图8，过点O分别作DE∥BC，FG∥AC，HI∥AB，把三个内角和转化为平角∠HOI。

构造平角的方法，除了以上几种之外，还有很多种其他作法。如图9，在平面内任取一点O，过点O作△ABC三边的平行线，把三个内角转化为一个平角即可。

图8

图9

2. 构造同旁内角

① 如图10，过点A作AD∥BC，转化为求∠B与∠BAD之和。

② 如图11，分别过点B,A,C作BC的垂线，垂足分别为B，D，C，转化为∠CBE与∠BCF之和。

构造同旁内角的方法，除了以上两种方法之外，也是有很多其他作法。如图12，在平面内任取一点O，连接AO，再分别过点B，C作AO的平行线，转化为一组同旁内角即可。

图10

图11

图12

四、 多解归一

虽然上面的解法多种多样，但是它们之间也是有联系的。可以发现，辅助线的形式主要是构造平行线。把三角形的三个内角转化到一个平角上，或转化为一组同旁内角。细心的同学可以发现，一组同旁内角通过平行线的性质，也可以转化为一个平角。

五、 拓展

如图13，AB∥CD，点P在直线AB和CD之间，求证： ∠A ∠C＝∠P。

以往，我们常见的辅助线添加方法是过点P作AB（或CD）的平行线，再证明该平行线与CD（或AB）平行，进而利用平行线的性质得到结论。受到前面三角形内角和定理的证明方法的启发之后，还有其他方法吗？

如图14，在平面内任取一点作所有已知直线的平行线，利用平行线的性质，把三个角转化到一个角的位置即可。当点O与点P重合时，就是我们常规的方法。

又或者在平面内任取一点O，连接OA，再过点P，C作OA的平行线，（也可连接OP或OC，做相应的平行线）进而再把三个角转化到一起即可（见图15）。当点O与点P重合时，也变成了常规的方法。

图13

图14

图15

六、 总结

由实际生活中的操作入手，发现了证明三角形内角和定理的方法，再推广到更多的方法，实现了一题多解。从不同的解法中，发现它们的共同点都是构造平行线，对角进行转化，终转化为一个平角，这就实现了多解归一。理解了证明三角形内角和定理的方法，再把这种方法应用到更多的角度问题中，学会了举一反三。

在数学的知识海洋中，还有无数的问题可以通过“一题多解”到“多解归一”，找到知识之间的联系。当然，在学校课堂中，不会有那么多的时间对每个知识点进行如此深入的研究。那么我们就需要借助外力。本书的特点就是“一题多解”与“多解归一”。每道例题通常会给出不同的解法，让你从不同的角度对该题型有更深入的理解。再通过解题之后的反思与总结实现升华，达到真正掌握该问题解法的目的。

无论一道题目多么典型，或者一种方法多么巧妙，如果只是简单地看一下而不亲自体验，是很难有收获的。因此希望大家做一个有心人，用心地解答某一类问题，结合书中的不同解法，不断推敲琢磨，直至融会贯通。千里之行，始于足下，每一个成功都来自点滴的积累。希望大家不要贪多求全，而是一步一个脚印，在解决一个个问题的过程中，积累成功的经验，培养自信心。

后，祝所有的读者心想事成！

编者2022年11月

《中考数学压轴题全解析》致力于中考数学命题的研究，对中考数学压轴题进行了深入的分析及梳理。选择、填空题部分归纳了各种数学思想方法及解题技巧，精选近几年中考数学试题中的100道题目作为典型例题，并对应设置100道变式练习题，全面总结了中考数学选择、填空压轴题的出题方向及考查类型，帮助广大考生在短期内突破中考数学选择、填空压轴题。解答题部分概括了各种类型的中考数学压轴题，总结了常用的几何辅助线添加方法与常见的几何模型，帮助考生在考试中快速找到解题突破口，了解命题意图。答案详解部分对举一反三中的题目进行了详细的解答，部分题目通过总结提炼要点，让考生不仅知其然而且知其所以然。 本书总结了各种实用的中考数学解题技巧，部分题目寻求一题多解，利于拓展学生的四位，适合中考备考，也可供其他教学人员学习和使用。

郑德坤，中学数学教师，十余年教学经验，曾任职教育培训机构产品研发主管，运营微信公众号（中考数学压轴题）与头条号（中考数学压轴题等自媒体获10多万粉丝关注，为广大学生答疑解惑。深入研究近10年全国中考数学试卷，分析中考数学的命题趋势，并参考各地中考考纲，编写了本套中考数学备考书。

选择、填空题

第1章数学思想方法与选择、填空题解题
技巧 
1.1数学思想方法

1.2解题技巧

第2章选择、填空题精讲精练

2.1数与式

2.2方程、不等式与函数

2.3图形的性质与变换

2.4圆

2.5概率与统计

2.6点运动路径

2.7几何值问题

2.8探究型问题

解答题

第3章常用几何辅助线添加方法

3.1连接

3.2延长

3.3平行

3.4垂直

第4章三大几何辅助线技巧

4.1截长补短

4.2倍长中线

4.3旋转

第5章常见几何模型与几何问题

5.1三垂直模型

5.2一线三等角模型

5.3手拉手模型

5.4瓜豆模型

5.5角平分线模型

5.6中位线模型

5.7正方形有关的模型

5.8相似有关的模型

5.9圆有关的模型

5.10几何求值问题

5.11图形折叠有关的问题

5.12图形旋转有关的问题

第6章三角形的存在问题

6.1直角三角形的存在问题

6.2等腰三角形的存在问题

6.3等边三角形的存在问题

6.4等腰直角三角形的存在问题

6.5全等三角形的存在问题

6.6相似三角形的存在问题

第7章四边形的存在问题

7.1平行四边形的存在问题

7.2矩形的存在问题

7.3菱形的存在问题

7.4正方形的存在问题

第8章面积问题

8.1面积值

8.2面积小值

8.3重叠部分面积

8.4其他面积问题

第9章几何值问题

9.1简单的值问题

9.2线段差问题

9.3造桥选址问题

9.4胡不归问题

9.5阿氏圆问题

9.6费马问题

9.7与圆有关的值问题

9.8代数法求值问题

第10章角度有关的问题

10.1角相等有关的问题

10.2角度定值问题与角度
问题

10.3角度和差与倍半关系问题

第11章二次函数含参问题

11.1定点问题

11.2定值问题

11.3取值范围与值问题

11.4二次函数的几何特征

11.5图象平移问题

11.6图象对称问题

11.7点有关的位置问题

11.8线有关的位置问题

第12章其他问题

12.1垂直平分线

12.2角的平分线

12.3动点轨迹问题

12.4比例问题

12.5圆

12.6新定义

答 案 详 解

选择、填空题答案401解答题答案422

《中考数学压轴题全解析》致力于中考数学命题的研究，对中考数学压轴题进行了深入的分析及梳理。选择、填空题部分归纳了各种数学思想方法及解题技巧，精选近几年中考数学试题中的100道题目作为典型例题，并对应设置100道变式练习题，全面总结了中考数学选择、填空压轴题的出题方向及考查类型，帮助广大考生在短期内突破中考数学选择、填空压轴题。解答题部分概括了各种类型的中考数学压轴题，总结了常用的几何辅助线添加方法与常见的几何模型，帮助考生在考试中快速找到解题突破口，了解命题意图。答案详解部分对举一反三中的题目进行了详细的解答，部分题目通过总结提炼要点，让考生不仅知其然而且知其所以然。 本书总结了各种实用的中考数学解题技巧，部分题目寻求一题多解，利于拓展学生的四位，适合中考备考，也可供其他教学人员学习和使用。

郑德坤，中学数学教师，十余年教学经验，曾任职教育培训机构产品研发主管，运营微信公众号（中考数学压轴题）与头条号（中考数学压轴题等自媒体获10多万粉丝关注，为广大学生答疑解惑。深入研究近10年全国中考数学试卷，分析中考数学的命题趋势，并参考各地中考考纲，编写了本套中考数学备考书。