高考数学培优40讲：解析几何

《高考数学培优40讲》是一套诞生于新高考时代，面向数学培优的教辅作品.
自2017年实行新课程标准以来，我国高中数学的教学和考试发生了根本性的变化.新课程标准明确提出将“学科素养”作为培养人、选拔人的重要指标，无论是教学还是考试都贯穿“基础性、综合性、创新性和应用性”四大特征，这意味着未来的数学考题，将从偏重经验归纳，转向加强思维品质考查，加强考查思维的灵活性，发挥数学学科的高考选拔功能.如何在教学中渗透对数学思维的培养？这对广大教师和学生提出了新的要求.
2019年起新教材在部分省市被陆续使用.由于各地教学规划不同，近几年出现了新教材新高考、老教材老高考、新教材老高考等多种教学现状，这无疑进一步增加了教学备考的复杂度.与此同时，数学高考也从过去的多省市独自命题，逐步转向统一命题.随着山东省、江苏省、浙江省等一大批高考强省陆续加入全国卷的队伍，高考大军竞争异常激烈.
在过去的两年中，我们团队的老师们深入全国10多个省份，陆续为接近100所重点高中作了300多场数学培优讲座.在与广大一线师生的交流中，很多教师关心的问题就是:“未来高考会怎么考，我们的数学课堂该如何教，高考培优应该讲什么？”由此可见，在新的时代背景下，如何能组织好教学过程，真正的培养出国家需要的人才让学生具备较高的数学素养进而在高考中脱颖而出，成为了核心的问题.
这套书的亮点就是完全出自教学实践.由于我们的课程是面向数学功底较好的学生开展进行，所以在300多场讲座中经历了无数次教师和学生之间、学生和学生之间的思想交锋.甚至在一些互动交流过程中，出现了学生和老师分成不同阵营，相互辩论的场面.而每一次的交流辩论都让我们更加接近数学解题的本质，更加明白数学培优课程应该讲什么、怎么讲.所以书中的内容既包含了团队老师的辛勤付出，也包含了很多一线教师和数学尖子生的集体智慧.综上所述，本套图书的内容不是一蹴而就的，它经历了原创研发——教学实践——反思优化，再教学实践——反思优化……这样一个又一个的轮回，在这样螺旋式上升的迭代过程中，内容的质量与实用性都达到了我们前所未有的高度.
本套图书的另一大亮点便是其深邃的思想性，主要体现在以下几个方面：
1.启迪智慧，知所以然
好的教育永远都不是告知，而是启发引导.在本套讲义的编写过程中充分尊重了这一规律，例如通过分而治之的策略拆分函数实现不等式证明时，我们没有止步于题目本身的解答，而是设置了一系列的问题进行反思，甚至陪同读者一起走过错路与弯路，在知识的探索与内化过程中，这些都是必经之路，通过抛出一系列的问题，引导学生的思维步步深入，达到知其然也知其所以然的境界.
2.深入本质，返璞归真
比勤奋更重要的是深度思考的能力，在纷繁复杂的题目背后抽丝剥茧或追本溯源以接近问题的本质，这是数学精神，也是在书中带领并帮助读者习得的一项能力.例如在解析几何的开篇，讲义一针见血地点明了数与形的辩证关系，即以形助数和以数化形，抓住这一本源如同获取一把钥匙.大道至简，衍化至繁，本套图书一直在通往道的层面上前进不息.
3.引申触类，远见卓识
在学习过程中，有纵向的“深”与横向的“伸”两个维度，本书兼顾这两个维度并加以挖掘和拓展.在许多例题后面设置了探究总结等版块，引申出了更多的定理与推论，它们将带领读者进入一个更广阔的领域.
4.高数视角，知己知彼
会当凌绝顶，一览众山小.当我们身处高一级的层面，再反观原有的层面时，我们会发现问题的布局或背景等原来看不到的事物.本书中有的内容，例如泰勒展开、极点极线等专题就是在高等数学的视角下来俯视问题，进入命题人的思维，这样真是知己知彼，百战不殆.
《高考数学培优40讲》共含《函数与导数》《解析几何》《三角、向量、数列、不等式与复数》以及《立体几何与概率统计》四本分册.从初稿到出版，我们不断在教学实践中调整、完善，历经了四个版本的迭代，积极采纳各方意见，数易其稿.同时，为了满足部分尖子生的学习需要，我们在内容编写的过程中，有选择的加入了一定比例的清北强基考试题目.这部分题目与高考题目相结合，呈现出更加完整且富于变化的知识体系，对培养数学思维能力和综合能力大有裨益.
在本书的创作过程中，团队的老师们付出了很多，感谢张宏卫、余臣、孙光磊、李艳丽、张潇等各位老师的不懈努力，也感谢清华大学出版社给予的大力支持.
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索.
在追求教学创新和培优精进的道路上，注定没有尽头.限于编写水平有限，书中错漏难免.欢迎各位读者帮我们纠正错误，我们也将在后续版本中不断修订、调整.

张永辉
2022年12月

　　《高考数学培优40讲：解析几何》针对高考数学中的重难点内容，分为四个分册：函数与导数；解析几何；三角、向量、数列、不等式与复数；立体几何与概率统计。全套书用高观点的视角、联系变化的眼光分析问题，洞悉问题背后的本质，达到“万理归一，大道至简”的境界。
　　《高考数学培优40讲：解析几何》为“解析几何”分册，重点研究解析几何中数与形的转化、系统的计算方法与规律、圆锥曲线中的模型等重点问题，丰富的方法和技巧贯穿始末，精彩纷呈。
　　《高考数学培优40讲：解析几何》适合数学成绩优秀的学生挑战高分甚至满分使用，也适合高中数学教师、高考数学研究者，以及广大数学爱好者参考使用。

第14讲 以形助数——圆锥曲线中几何性质研究
挖掘平面几何性质多想少算
14．1 挖掘三角形的几何性质
14．2 挖掘圆的几何性质
14．3 挖掘平行线的几何性质
圆锥曲线的几何性质
14．4 圆锥曲线的圆幂定理
14．5 圆锥曲线的蝴蝶定理
圆锥曲线的光学性质及其应用
14．6 圆锥曲线的光学性质
14．7 光学性质应用
14．8 圆锥曲线的蒙日圆
训练14

第15讲 以数化形——圆锥曲线中几何条件的转化策略
15．1 以向量为背景的转化
15．2 以斜率为背景的转化
15．3 以几何图形为背景的转化
训练15

第16讲 直线与圆的动态问题探究
16．1 动点在已知轨迹上求值
显现隐圆，研究值
16．2 模型一：90°的圆周角
16．3 模型二：蒙日圆
16．4 模型三：阿波罗尼斯圆
16．5 模型四：矩形性质
训练16

第17讲 圆锥曲线的焦半径、焦点弦和焦点三角形问题
相关性质研究
17．1 圆锥曲线的极坐标方程
17．2 焦半径公式的应用
17．3 焦半径、焦点弦的性质
17．4 焦点三角形的性质
相关例题研究
17．5 焦半径和焦点弦问题
17．6 焦点三角形问题
训练17

第18讲 圆锥曲线中离心率的求解和值问题
圆锥曲线离心率的计算
18．1 利用定义与几何性质
18．2 构造齐次式
18．3 离心率的取值范围
圆锥曲线中的值问题
18．4 距离值问题
18．5 面积值问题
18．6 向量相关值问题
训练18
……

第19讲 解析几何计算方法的系统研究
第20讲 仿射变换
第21讲 圆锥曲线中常考六大模型及延伸
第22讲 圆锥曲线的命题背景揭秘——极点与极线

参考答案

　　《高考数学培优40讲：解析几何》针对高考数学中的重难点内容，分为四个分册：函数与导数；解析几何；三角、向量、数列、不等式与复数；立体几何与概率统计。全套书用高观点的视角、联系变化的眼光分析问题，洞悉问题背后的本质，达到“万理归一，大道至简”的境界。
　　《高考数学培优40讲：解析几何》为“解析几何”分册，重点研究解析几何中数与形的转化、系统的计算方法与规律、圆锥曲线中的模型等重点问题，丰富的方法和技巧贯穿始末，精彩纷呈。
　　《高考数学培优40讲：解析几何》适合数学成绩优秀的学生挑战高分甚至满分使用，也适合高中数学教师、高考数学研究者，以及广大数学爱好者参考使用。

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