马同学图解线性代数

前言

从“马同学”品牌创立至今，我们就希望出版一本严肃但又通俗易懂的数学书。六年的砥砺，本书是我们交出的份答卷。

2016年，我们成立了成都十年灯教育科技有限公司，公司名字取意为“桃李春风一杯酒，寒窗苦读十年灯”，希望可以帮助到更多的学生。

出版一本严肃但又通俗易懂的数学书一直是我们的梦想。市面上没有这种类型的书吗？其实市面上有很多经典的教材，它们确实写得很好，但往往由于数学的严格性，这些教材在行文上过于严谨，可读性有所下降；另外，这些经典教材或多或少需要借助老师的讲解，对于自学者并不友好，但在如今的社会环境下，自学数学的需求越来越多。

那么一本严肃但又通俗易懂的数学书要怎么才能炼成呢？各种经典图书似大山耸立，我们也如朝圣者一般卑微向前，在不断反思和学习中，逐渐找到了属于自己的道路：向经典图书学习，千锤百炼。

为了践行“千锤百炼”的方法论，互联网就是好的修炼场，所以我们决定用迭代的思维，将内容放到互联网上接受大家的公论。因为数学的英文是Math，前两个字母正是中文“马”的拼音，所以我们建立了“马同学”品牌，同时建立了同名的“马同学”网站、“马同学图解数学”微信公众号以及知乎上的“马同学”账号及B站上的“马同学图解数学”账号，在这些渠道上开始尝试通俗易懂地讲解一些数学概念，在收获非常多的好评后，我们开始了“马同学图解线性代数”在线多媒体内容的创作。

“马同学图解线性代数”在线多媒体内容是我们内部的提法，通俗来讲就是电子书，当然它不光是图文，还有很多视频、互动内容、习题等，所以称为电子书还是不太准确。

“马同学图解线性代数”在线多媒体内容一开始就是收费内容，因为国内并没有消费在线数学内容的习惯，所以我们必须提供真正优质的内容，才能生存下来。并且它和市面上的视频在线教学又不一样，本质上类似图书，是为自学服务的，所以我们必须让它对自学者友好。在这双重压力之下，在各位读者的鞭策下，历时整整三年，进行了四次彻底的重写，“马同学图解线性代数”的在线版本销售了上万份，并且获得了非常多的好评，成绩不突出，但也来之不易。

上述结果让我们有了一些自信，又经过一次大的调整后，终在“马同学图解线性代数”在线多媒体内容的基础上，完成了本书《马同学图解线性代数》的写作。

本书特色

首先，《马同学图解线性代数》就是图多，能用图来讲解的不用文字。图多就意味着本书的讲解一定是数形结合的，华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，可见图解会大大降低读者的理解门槛。

其次，《马同学图解线性代数》非常注重在逻辑上串联各个知识点。以矩阵为例，一开始，矩阵是作为线性方程组的标记法登上数学舞台的，这是本书第2章的内容；随着研究的深入，数学家开始意识到矩阵其实就是一种线性函数，这是本书第3、4、5章的内容；又由于矩阵是函数，所以必然会有换元这种常规操作，因此有了相似矩阵、对角化等内容，这就构成了本书的第7、8、9章。至于第6章介绍的行列式，这是在数学史上出现的解线性方程组的另外一条路，终和矩阵合龙，殊途同归。

还有，《马同学图解线性代数》中的例子尽量接近生活，比如，通过红、绿、蓝三原色进行了线性相关、向量空间的讲解，通过电视信号的转播引入了线性方程组，通过图片的明暗调节讲解了相似矩阵，通过城镇人口的迁移阐述了特征值和特征向量等。

后，在线上的评论区、答疑群，读者提出了大量的困惑和意见，我们都尽量去改进和迭代，一切都为了把内容讲清楚。

读者对象

这不是一本数学科普书，而是一本硬核的数学书，所以它是为脚踏实地、希望精进自己的同学准备的。

根据我们的调查，“马同学图解线性代数”在线多媒体内容的读者组成是很广泛的，他们是在校大学生、考研学生、人工智能方向的学习者、图形图像工程师、量化交易师、希望提升能力的学习者等，所以我们认为《马同学图解线性代数》这本书的服务人群大体与之相似。

这里需要说明一下，《马同学图解线性代数》和我们在线内容的区别。有一些读者更喜欢油墨印刷的书香味，喜欢书本把握在手的充实感，那么《马同学图解线性代数》就是为这类读者准备的，它并不是简单的在线内容的复制，本身也为书籍这种载体进行了精心的重新排版。而在线版本有自己的特色，会有更多的动图、互动、视频等，内容上是一致的，但体验不太一样，并非故意为之，是不同媒体的特色导致的。

本书通过图解的形式，在逻辑上穿针引线，讲解了大学公共课“线性代数”的相关知识点，也就是经典版本的《线性代数》中的绝大多数知识点。这些知识点是相关在校学生的必修课程，也是从业人员深造的必要知识。本书引入了矩阵函数，从函数角度讲解了向量空间、线性方程组求解、矩阵的秩、行列式、相似变换、特征值特征向量、二次型等知识，逻辑上一以贯之，再辅以很多生活案例，大大降低了学习门槛。

马同学，马同学是专业的数学知识内容创作团队，从2016年起就在公众号“马同学图解数学”上进行数学内容创作，作品累计有5000多万人次观看，知乎认证数学话题优秀答主，获得了无数读者的认可。

第1章 向量空间及其性质 1 
1.1 向量 2 
1.1.1 有向线段 2 
1.1.2 向量的定义 3 
1.1.3 零向量 5 
1.1.4 长度和方向 6 
1.2 向量的加法和数乘 6 
1.2.1 向量的加法 6 
1.2.2 向量的数乘 10 
1.2.3 基本运算法则 11 
1.3 线性组合与线性相关 12 
1.3.1 混合颜色 13 
1.3.2 线性组合 15 
1.3.3 线性相关和线性无关 17 
1.3.4 线性相关和线性无关的例题 18 
1.3.5 升维与降维 20 
1.4 向量空间 21 
1.4.1 宇宙空间和向量空间 22 
1.4.2 向量空间的严格定义 23 
1.4.3 特殊向量空间 24 
1.4.4 子空间 25 
1.5 张成空间 26 
1.5.1 等价向量组 28 
1.5.2 几何意义 31 
1.5.3 无关组 33 
1.5.4 向量组的秩 34 
1.6 向量空间的基 35 
1.6.1 基的定义 36 
1.6.2 基与坐标 38 
1.6.3 坐标系 40 
1.6.4 向量空间的维度 42 
1.7 数量积（点积） 43 
1.7.1 欧氏几何 43 
1.7.2 长度和角度 44 
1.7.3 新的运算 47 
1.7.4 点积的性质 48 
1.7.5 余弦相似性 50 

第2章 矩阵和矩阵乘法 53 
2.1 矩阵和线性方程组 53 
2.1.1 电视转播与线性方程组 53 
2.1.2 线性方程组 55 
2.1.3 矩阵的出现 56 
2.1.4 矩阵标记法与解线性方程组 58 
2.1.5 矩阵乘法 59 
2.1.6 矩阵的结合 62 
2.1.7 彩色电视机的计算 63 
2.2 高斯消元法 64 
2.2.1 高斯消元法的思想 64 
2.2.2 特殊矩阵 69 
2.2.3 初等行变换与初等行矩阵 72 
2.3 矩阵的加法与乘法 75 
2.3.1 矩阵加法 75 
2.3.2 矩阵数乘 76 
2.3.3 矩阵乘法的合法性 77 
2.3.4 矩阵乘法的行观点 77 
2.3.5 矩阵乘法的列观点 78 
2.3.6 矩阵乘法的点积观点 79 
2.3.7 矩阵乘法的性质 80 
2.4 矩阵的幂运算与转置 81 
2.4.1 幂运算 81 
2.4.2 矩阵的转置 83 
2.4.3 对称阵与反对称阵 85 
2.5 矩阵乘法的几何意义 86 
2.5.1 矩阵的左乘和右乘 86 
2.5.2 矩阵的乘法 89 
2.5.3 总结 91 

第3章 矩阵函数及其几何意义 92 
3.1 矩阵函数与线性函数 92 
3.1.1 函数 92 
3.1.2 矩阵函数 94 
3.1.3 矩阵是线性函数 95 
3.2 旋转矩阵函数 98 
3.2.1 旋转矩阵的左乘 98 
3.2.2 旋转椭圆 99 
3.3 常用的矩阵函数 100 
3.3.1 单位阵 101 
3.3.2 镜像矩阵 102 
3.3.3 伸缩矩阵 102 
3.3.4 剪切矩阵 103 
3.4 矩阵函数的性质 104 
3.4.1 矩阵函数的交换律 104 
3.4.2 矩阵函数的结合律 105 

第4章 矩阵的秩的定义及意义 107 
4.1 矩阵的秩 107 
4.1.1 列空间 107 
4.1.2 行空间 109 
4.1.3 行秩、列秩、矩阵的秩 110 
4.2 矩阵函数的四要素 111 
4.2.1 定义域 112 
4.2.2 映射法则 113 
4.2.3 值域 115 
4.2.4 到达域 115 
4.2.5 矩阵函数 116 
4.3 矩阵函数的值域 117 
4.3.1 值域与列空间 117 
4.3.2 值域与矩阵的秩 119 
4.3.3 矩阵的秩的性质 121 
4.4 矩阵函数的单射 124 
4.5 矩阵函数的满射 131 
4.6 矩阵函数的双射 133 
4.7 逆矩阵 134 
4.7.1 逆矩阵的存在性 134 
4.7.2 逆矩阵的定义 135 
4.7.3 初等行矩阵求逆矩阵 137 
4.7.4 高斯若尔当求逆矩阵 137 
4.7.5 逆矩阵的性质 138 
4.8 初等变换求秩 139 
4.8.1 初等行变换求秩 139 
4.8.2 初等列变换与标准形 142 
4.9 分块矩阵 143 
4.9.1 分块矩阵的定义 143 
4.9.2 分块矩阵的运算规则 144 
4.9.3 分块对角矩阵 146 
4.9.4 分块矩阵的转置 148 
4.9.5 西尔维斯特不等式 148 

第5章 线性方程组的解 150 
5.1 解的存在性 150 
5.2 解的个数 154 
5.2.1 解的个数的矩阵观点 155 
5.2.2 满秩矩阵有解 156 
5.3 解集 157 
5.3.1 齐次线性方程组的解集 157 
5.3.2 非齐次线性方程组的解 161 
5.3.3 解集的结构 164 
5.4 秩零定理 166 
5.4.1 二维中的例子 166 
5.4.2 三维中的例子 167 
5.4.3 秩零定理的严格形式 169 

第6章 行列式 170 
6.1 行列式的来历 170 
6.1.1 二阶行列式 171 
6.1.2 三阶行列式 172 
6.1.3 克拉默法则 174 
6.1.4 全排列与逆序数 176 
6.1.5 行列式的定义 178 
6.2 二阶行列式 179 
6.2.1 伸缩比例 179 
6.2.2 原理 182 
6.2.3 总结 186 
6.3 向量积 187 
6.3.1 三维空间中的有向面积 187 
6.3.2 向量积的方向 188 
6.3.3 求解三维空间中的有向面积 190 
6.4 三阶行列式 195 
6.4.1 有向体积 195 
6.4.2 有向体积之比 196 
6.4.3 总结 200 
6.5 子式和余子式 200 
6.5.1 子式 201 
6.5.2 余子式 202 
6.5.3 代数余子式 203 
6.5.4 总结 204 
6.6 行列式的性质 204 
6.6.1 转置行列式 204 
6.6.2 满秩、可逆与行列式 205 
6.6.3 行列式的数乘 206 
6.6.4 行（列）互换 207 
6.6.5 行列式的倍加 208 
6.6.6 行列式的加法 210 
6.6.7 行列式的乘法 211 
6.6.8 三角行列式的计算法 212 
6.6.9 三角分块行列式的计算法 213 
6.6.10 拉普拉斯展开 214 
6.6.11 拉普拉斯展开的推论 217 
6.7 克拉默法则 218 
6.8 行列式的应用 221 
6.8.1 范德蒙行列式 221 
6.8.2 伴随矩阵与逆矩阵 224 
6.8.3 伴随矩阵的秩 225 

第7章 相似矩阵 227 
7.1 函数的坐标系 227 
7.1.1 日心说与地心说 227 
7.1.2 阿基米德螺线 228 
7.1.3 亮度调整 229 
7.2 基变换 230 
7.2.1 各种基变换的例题 230 
7.2.2 过渡矩阵和基变换公式 235 
7.3 坐标变换 237 
7.3.1 坐标变换公式 237 
7.3.2 矩阵函数和坐标变换 241 
7.4 相似矩阵 242 
7.4.1 相似矩阵的定义 243 
7.4.2 相似矩阵的性质 247 
7.4.3 亮度的调整 249 

第8章 特征向量与对角化 252 
8.1 特征值与特征向量 252 
8.1.1 特征值与特征向量的定义 253 
8.1.2 特征空间与特征方程 254 
8.1.3 互异特征值对应的特征向量 260 
8.2 对角化 261 
8.3 再谈特征值与特征向量 265 
8.4 正交矩阵 268 
8.4.1 正交基 269 
8.4.2 正交矩阵的定义 271 
8.5 施密特正交化 273 
8.5.1 二维空间的正交基 274 
8.5.2 三维空间的正交基 276 
8.5.3 施密特正交化的完整形式 279 
8.6 正交对角化 279 
8.6.1 整体的思路 280 
8.6.2 实对称阵 281 
8.6.3 完整的解题过程 282 
8.6.4 正交对角化的定义 284 
8.7 相似矩阵中的不变量 285 
8.7.1 相似矩阵的特征值相同 285 
8.7.2 相似矩阵的行列式相同 288 
8.7.3 相似矩阵的迹相同 290 

第9章 二次型与合同矩阵 292 
9.1 二次型 292 
9.1.1 二次型的定义 292 
9.1.2 从二次型到矩阵 293 
9.2 合同矩阵 296 
9.2.1 合同矩阵的定义 299 
9.2.2 一点补充 299 
9.3 合同对角化 300 
9.3.1 正交合同对角化 300 
9.3.2 拉格朗日配方法 303 
9.4 惯性定理与正负定 309 
9.4.1 惯性定理 309 
9.4.2 正定与负定 311

本书通过图解的形式，在逻辑上穿针引线，讲解了大学公共课“线性代数”的相关知识点，也就是经典版本的《线性代数》中的绝大多数知识点。这些知识点是相关在校学生的必修课程，也是从业人员深造的必要知识。本书引入了矩阵函数，从函数角度讲解了向量空间、线性方程组求解、矩阵的秩、行列式、相似变换、特征值特征向量、二次型等知识，逻辑上一以贯之，再辅以很多生活案例，大大降低了学习门槛。

马同学，马同学是专业的数学知识内容创作团队，从2016年起就在公众号“马同学图解数学”上进行数学内容创作，作品累计有5000多万人次观看，知乎认证数学话题优秀答主，获得了无数读者的认可。