控制之美（卷1）——控制理论从传递函数到状态空间

自2017年起,我开始以网名 DR_CAN 在哔哩哔哩网站上发表自己制作的动态系统和
控制理论的视频课程。我当时的想法很简单,如果能有50人,也就是一个班的同学可以从
我的视频中得到启发,我就心满意足了。没想到几年过去了,到本书截稿时,频道已经获得
了超过16万人的关注以及500多万次的视频观看量。

在过去的几年中,我收到了大量的留言,其中有很多朋友希望我分享视频中的笔记,或
者推荐一些参考书籍。也有朋友给我留言提醒,为我愤愤不平,他们发现我的视频内容被一
些网友整理并发表了出来,有的加了引用,也有的直接拿来使用,甚至有些是从视频中截图
直接放进自己的网文里。对于这样的行为,我并没有感到很大的冒犯,因为我讲述的这些知
识都属于自动化学科中的基础知识,都是前辈科学家们的发现与创造。我所做的工作是将
其中的重点与核心内容整理出来,把晦涩难懂的地方加入了我的个人理解之后,再尝试用简
单易懂的方式介绍给大家。当然,这种尝试取得了很好的效果,也有越来越多的同学从中得
到了启发。

在我开始制作视频的阶段,所计划的内容并不多。但随着关注的同学越来越多,大家
提出了各类的问题和有兴趣的话题。所以有很多开始时并没有计划的内容便以补丁的形式
做到了视频里。这就导致了整个视频课程虽然完整,但是缺少严谨的逻辑性。而且回过头
去看,我也发现了一些口误与笔误,有些例子的使用也并不是适合的。考虑以上几点,我
决定写一本可读性强、结构严谨、举例生动的书籍作为视频的深化与补充。

在编写本书时,我选择了将经典控制理论和现代控制理论的核心内容包括其中,并打破
了传统教科书中将两者分离的讲解方式,重点说明两者的联系与区别。此外,我重新设计了
一些贯穿章节的案例,从开发者的角度为读者深入浅出地讲解动态系统分析及控制理论中
的重要概念与知识点。同时,通过案例的结果与讨论,我希望向各位读者传递科学思考的方
法及思辨的精神。

后,我要感谢清华大学出版社的杨迪娜编辑为本书的立项、编排与出版付出的辛勤劳
动,同时感谢清华大学出版社对本书的支持。

感谢我的师弟黄军魁博士,他在繁忙的工作中抽出时间阅读本书的草稿,并为一些章节
的写作、例子的展开、结果与讨论提供思路。同时感谢陶欣然博士对部分章节提出的修改
建议。

感谢所有哔哩哔哩网站上的粉丝对我的关注、留言、提问与批评。
感谢我的母亲宋津丽对我一如既往的信任与鼓励。感谢我一岁的儿子王逸飞对我“三
言两语”的支持以及带给我的无尽快乐。

要感谢的是我的爱人王莎莎博士在我写作的过程中对家庭的奉献与付出。同时,她
虽然并非本专业人士,但依然帮助我指出了稿件中的写作问题及纰漏之处。
限于本人水平,书中的缺点和不足之处在所难免,热忱欢迎各位读者批评指正。有关图
书的建议和意见,请发送到以下邮箱:ydn85@sina.cn。 
                                                                  王天威
                                                                 2022年7月

《控制之美（卷1）——控制理论从传递函数到状态空间》涵盖了动态系统分析、经典控制理论与现代控制理论的核心基础内容。其中,经典控制理论以拉普拉斯变换为数学工具,通过传递函数分析系统的表现并进行控制器的设计;现代控制理论以状态空间方程为研究对象,以微分方程和线性代数为数学工具,从时域的角度分析系统的表现并设计系统的控制器。

本书在多个章节对比讲解了两种理论之间的区别与联系。本书共分为10章。第1章为绪论;第2、3章分别介绍使用传递函数和状态空间方程描述系统的方法;第4、5章使用这两种方法分析一阶系统与二阶系统的时域响应;第6章介绍系统稳定性的概念;第7、8章重点分析经典控制理论中的控制器设计方法,包含比例积分控制和根轨迹法;第9章介绍系统的频
率响应并与滤波器的设计相结合;第10章讨论现代控制理论中的控制器设计,以及观测器设计方法。附录部分介绍两个广泛使用的工程数学工具:线性化与傅里叶变换。

本书的目标是以简单的语言讲述复杂的知识,引起读者对控制理论的兴趣,并使读者掌握控制理论的核心精神,为未来深入学习其他相关知识打下基础。同时,本书是一本“实战性”很强的书籍,大部分章节以一个实际例子入手,从开发者的角度展开分析并引出知识点。本书的多个章节有案例分析,并对结果与讨论部分进行了详细的讲解,这部分内容将为读者的论文写作及科研分析提供思路。

本书适合自动化专业的本科生或研究生、相关领域的科研人员使用,尤其适合准备研究生复试的学生使用。本书配套的视频详细讲解了使用计算机软件(GNU Octave)分析书中例子的方法,并提供了详细代码,读者可以扫描书中二维码浏览。

《控制之美（卷1）——控制理论从传递函数到状态空间》涵盖了动态系统分析、经典控制理论与现代控制理论的核心基础内容。其中,经典控制理论以拉普拉斯变换为数学工具,通过传递函数分析系统的表现并进行控制器的设计;现代控制理论以状态空间方程为研究对象,以微分方程和线性代数为数学工具,从时域的角度分析系统的表现并设计系统的控制器。

本书在多个章节对比讲解了两种理论之间的区别与联系。本书共分为10章。第1章为绪论;第2、3章分别介绍使用传递函数和状态空间方程描述系统的方法;第4、5章使用这两种方法分析一阶系统与二阶系统的时域响应;第6章介绍系统稳定性的概念;第7、8章重点分析经典控制理论中的控制器设计方法,包含比例积分控制和根轨迹法;第9章介绍系统的频
率响应并与滤波器的设计相结合;第10章讨论现代控制理论中的控制器设计,以及观测器设计方法。附录部分介绍两个广泛使用的工程数学工具:线性化与傅里叶变换。

本书的目标是以简单的语言讲述复杂的知识,引起读者对控制理论的兴趣,并使读者掌握控制理论的核心精神,为未来深入学习其他相关知识打下基础。同时,本书是一本“实战性”很强的书籍,大部分章节以一个实际例子入手,从开发者的角度展开分析并引出知识点。本书的多个章节有案例分析,并对结果与讨论部分进行了详细的讲解,这部分内容将为读者的论文写作及科研分析提供思路。

本书适合自动化专业的本科生或研究生、相关领域的科研人员使用,尤其适合准备研究生复试的学生使用。本书配套的视频详细讲解了使用计算机软件(GNU Octave)分析书中例子的方法,并提供了详细代码,读者可以扫描书中二维码浏览。

王天威（网名DR_CAN），博士，机器人高级研发工程师。
2016年博士毕业于美国Clemson大学机械工程系, 研究方向是动态系统与控制理论。博士期间发表多篇SCI文章，担任多家SCI期刊、会议，以及国家基金项目的审稿工作。
自2017年起在B站上制作控制理论相关视频课程，涵盖了控制专业本科与研究生的专业课程，包括现代控制理论、经典控制理论、非线性控制理论、化控制理论、动态系统的建模与分析等。

第1章 绪论 1
1.1 动态系统  1
1.2 控制系统  3
第2章 动态系统建模———传递函数 5
2.1 卷积与微分方程  5
2.1.1 卷积 5
2.1.2 常见动态系统微分方程举例 8
2.2 拉普拉斯变换 11
2.2.1 拉普拉斯变换的定义  11
2.2.2 拉普拉斯变换的收敛域  14
2.2.3 拉普拉斯逆变换  15
2.3 传递函数和系统设计 16
2.3.1 传递函数  16
2.3.2 控制系统传递函数  18
2.4 非零初始状态下的传递函数 20
2.5 本章要点总结 20
第3章 动态系统建模———状态空间方程  22
3.1 状态空间方程 22
3.1.1 状态空间方程表达式  22
3.1.2 状态空间方程与传递函数的关系  26
3.2 相平面数学基础 27Ⅷ
3.2.1 矩阵的特征值与特征向量  27
3.2.2 特征值与特征向量的应用———线性方程组解耦  29
3.3 相平面与相轨迹分析 31
3.3.1 一维相轨迹  31
3.3.2 二维相平面与相轨迹———简化形式  34
3.3.3 二维相平面与相轨迹———一般形式  37
3.4 相平面案例分析———爱情故事 42
3.5 本章要点总结 47
第4章 一阶系统的时域响应分析  48
4.1 引子———案发时间是几点 48
4.2 一阶系统的时域响应 49
4.2.1 典型一阶系统和典型系统输入信号  49
4.2.2 一阶系统单位冲激响应  50
4.2.3 一阶系统单位阶跃响应  52
4.3 案发时间揭秘 54
4.4 本章要点总结 55
第5章 二阶系统的时域响应分析  57
5.1 二阶系统的一般形式———传递函数和状态空间方程 57
5.2 二阶系统对初始状态的响应 58
5.3 二阶系统的单位阶跃响应 60
5.4 二阶系统性能指标分析 64
5.4.1 二阶系统的重要性能指标  64
5.4.2 二阶系统的性能分析  68
5.5 本章要点总结 69
第6章 稳定性  71
6.1 系统稳定性的定义 71
6.1.1 稳定性的直观理解  71
6.1.2 稳定性的定义  72
6.1.3 稳定性的研究对象  74
6.2 稳定性与传递函数 74
6.3 稳定性与状态空间方程 76
6.4 本章要点总结 78
第7章 基于传递函数的控制器设计(1)———比例积分控制 79
7.1 引子———燃烧卡路里 79
7.2 比例控制 81Ⅸ
7.3 比例积分控制器 83
7.3.1 终值定理  84
7.3.2 积分控制  84
7.3.3 比例积分控制  87
7.4 含有限制条件的控制器设计 89
7.5 本章要点总结 90
第8章 基于传递函数的控制器设计(2)———根轨迹法 91
8.1 根轨迹的研究目标与方法 91
8.2 根轨迹绘制的基本规则 93
8.3 根轨迹的几何性质 98
8.4 基于根轨迹的控制器设计  101
8.4.1 比例微分控制 102
8.4.2 超前补偿器 104
8.4.3 滞后补偿器 105
8.5 比例积分微分(PID)控制器  109
8.6 本章要点总结  110
第9章 频率响应与分析 112
9.1 引子———百万调音师  112
9.2 频率特性推导  113
9.3 一阶系统的频率响应  117
9.4 二阶系统的频率响应  119
9.5 伯德图  122
9.5.1 伯德图的含义与性质 122
9.5.2 典型系统的频率响应 124
9.5.3 调音台的设计 128
9.6 本章要点总结  129
第10章 基于状态空间方程的控制器及观测器的设计与应用  131
10.1 引子———指尖上的平衡  131
10.1.1 问题的提出与数学建模  131
10.1.2 PID控制方案  132
10.1.3 状态空间方程建模  134
10.2 系统的能控性  135
10.2.1 系统能控性的直观理解  135
10.2.2 系统能控性的定义与判据  135
10.2.3 系统能控性的举例与分析  136
10.3 线性状态反馈控制器  137Ⅹ
10.3.1 极点配置  137
10.3.2 化控制初探———LQR控制器  141
10.3.3 轨迹追踪  143
10.4 观测器设计  146
10.4.1 系统的能观测性  146
10.4.2 线性观测器设计  146
10.4.3 线性观测器举例  147
10.4.4 观测器与控制器的结合  150
10.5 本章要点总结  151
附录 A 非线性系统的线性化 152
附录 B 傅里叶级数与变换  155
B.1 三角函数的正交性  155
B.2 周期为2π的函数展开成傅里叶级数  156
B.3 周期为2L 的函数展开成傅里叶级数  159
B.4 傅里叶级数的复数表达形式  160
B.5 傅里叶变换  162

《控制之美（卷1）——控制理论从传递函数到状态空间》涵盖了动态系统分析、经典控制理论与现代控制理论的核心基础内容。其中,经典控制理论以拉普拉斯变换为数学工具,通过传递函数分析系统的表现并进行控制器的设计;现代控制理论以状态空间方程为研究对象,以微分方程和线性代数为数学工具,从时域的角度分析系统的表现并设计系统的控制器。

本书在多个章节对比讲解了两种理论之间的区别与联系。本书共分为10章。第1章为绪论;第2、3章分别介绍使用传递函数和状态空间方程描述系统的方法;第4、5章使用这两种方法分析一阶系统与二阶系统的时域响应;第6章介绍系统稳定性的概念;第7、8章重点分析经典控制理论中的控制器设计方法,包含比例积分控制和根轨迹法;第9章介绍系统的频
率响应并与滤波器的设计相结合;第10章讨论现代控制理论中的控制器设计,以及观测器设计方法。附录部分介绍两个广泛使用的工程数学工具:线性化与傅里叶变换。

本书的目标是以简单的语言讲述复杂的知识,引起读者对控制理论的兴趣,并使读者掌握控制理论的核心精神,为未来深入学习其他相关知识打下基础。同时,本书是一本“实战性”很强的书籍,大部分章节以一个实际例子入手,从开发者的角度展开分析并引出知识点。本书的多个章节有案例分析,并对结果与讨论部分进行了详细的讲解,这部分内容将为读者的论文写作及科研分析提供思路。

本书适合自动化专业的本科生或研究生、相关领域的科研人员使用,尤其适合准备研究生复试的学生使用。本书配套的视频详细讲解了使用计算机软件(GNU Octave)分析书中例子的方法,并提供了详细代码,读者可以扫描书中二维码浏览。

王天威（网名DR_CAN），博士，机器人高级研发工程师。
2016年博士毕业于美国Clemson大学机械工程系, 研究方向是动态系统与控制理论。博士期间发表多篇SCI文章，担任多家SCI期刊、会议，以及国家基金项目的审稿工作。
自2017年起在B站上制作控制理论相关视频课程，涵盖了控制专业本科与研究生的专业课程，包括现代控制理论、经典控制理论、非线性控制理论、化控制理论、动态系统的建模与分析等。