微积分概念发展史（修订版）（启蒙数学文化译丛）

前 言

大约10年前，哥伦比亚大学的弗雷德里克·巴里（Frederick Barry）教授向我指出：目前还没有一本关于微积分历史的满意著作。其时，我还有别的任务缠身，准备也不充分，不可能将他的建议付诸实施；不过，我近几年的研究使我认可了他的观点。关于微积分起源和主题的资料多不胜举，本书所附的参考书目即可证明这一点；缺少的是令人满意的批评性阐释来细细讲述该主题重要观点的发展：从古代之肇始，到终用每一个学生都熟悉的现代数学分析基本原理的精确术语对此进行阐述。本书试图在某种程度上弥补这一缺憾。如果能对初等微积分的整个历史加以权威和全面的处理，那当然再好不过；但是，此类艰巨的计划会远远超出本书论述的范围和意图。这里涉及的并非微积分的全面历史，而只是提示性地勾勒出其基本概念的发展轮廓，这也许对学习数学的学生和研究思想史的学者都会有所裨益。因此，贯穿全书的主旨是确保阐释清楚明白，而不是杂乱无章地详细罗列各种细节，或者展示过于细致、精确的广博知识。本书既要保证思想发展的连贯性，同时又不希望牺牲历史的准确度和整体观，因此很有必要理性地筛选和表述这些材料。
本书的结尾部分包括一份长长的参考文献，以省去在脚注引述完整书目信息的麻烦。脚注只标明作者和题名——有时为缩写；书名采用斜体，期刊文章采用罗马正体并加上引号。我期望这个参考书目可以为有兴趣进一步研究微积分历史的人带来帮助。
巴里教授给了笔者创作并完成本书的灵感。在我写作过程中，他凭借科学史领域的广博知识，屡屡慷慨地提出建议。承蒙哥伦比亚大学的林恩·桑代克（Lynn Thorndike）教授帮我审读了“中世纪的贡献”一章并做出专业的评论。哥伦比亚大学的L.P.赛斯洛夫（L.P.Siceloff）教授、密歇根大学的L.C.卡尔平斯基（L.C.Karpinski）教授和布鲁克林学院的H.F.麦克尼什（H.F.MacNeish）教授也帮我阅读了手稿并提供了宝贵的帮助和建议。波耶夫人毫不吝啬地对这项工作给予鼓励和帮助，并不辞辛劳地打出全部文稿。本书的索引由哥伦比亚大学出版社编制。后，美国学术团体联合会（American Council of Learned Societies）拨款资助了本书，才使之得以出版，与广大读者见面。在此，我谨向所有在写作和出版本书过程中给予了帮助的朋友表示真诚的感谢。
卡尔·B.波耶
1939年1月3日于布鲁克林学院

重印本前言

对于一本有关微积分历史的著作，能有足够的重印需求，真是令人欣喜。这似乎表明，学术圈中正有越来越多的人意识到，需要以广阔的视野看待科学和数学。尽管已在技术上取得了卓越成就，人们却更深刻地认同这一事实：科学不仅是一种生活方式，也是一种心智习惯；数学不仅是算法的集合，也是文化的一个方面。数学和科学史虽不能代替实验室的工作或者技术训练，但能有效弥补人文科学与自然科学之间常常缺乏理解的遗憾。也许更重要的是，能够使各个领域的专业人员具有与其专业相称的文化修养。熟悉自己专业背景的学者，不大会像新手常常经历的那样，有一种似是而非的已成定局的感觉。正是出于这一原因，准备做教师的人，不仅要了解本专业的内容，还应该了解其发展的历史，这才是明智之举。
借此次重印，笔者更正了文中的几处小错误。如果是再版，还应该做更广泛的修订。这并不会在实质上改变总体的叙述或者观点，但我会按照胡利奥·雷·帕斯托尔（Julio Rey Pastor）其评论见《国际科学史档案》（Archeion）杂志，卷XXIII（1940年），第199—203页。和I.B.科恩（I.B.Cohen）其评论见《伊西斯》（Isis）杂志，卷XXXII（1940年），第205—210页。等人的中肯评论，在他们建议的地方详细阐明论点。本来还应该加上更多参考书目，其中尤其值得一提的是G.卡斯泰尔诺沃（G.Castelnuovo）的《现代微积分的起源》（Le origini del calcolo infinitesimale nell era moderna，1938年出版于博洛尼亚）。卡氏的著作几乎与本书同时出版，关于现代部分，读者们应该在细节上多参考这位著名几何学家的著作。
在过去的几年里，笔者还参与撰写了一本关于解析几何史的手册，书稿已经完成，不久就会在《数学文丛》（Scripta Mathematica）的赞助下付梓。
《微积分概念发展史》已经绝版六七年，此次重印应归功于赫伯特·阿克塞尔罗德（Herbert Axelrod）和马丁·N.赖特（Martin N.Wright），笔者对他们主动提出重印表示感谢。还要感谢理查德·柯朗（Richard Courant），承蒙他答应了为这个重印本撰写序言。

卡尔·B.波耶
1949年1月27日

译者后记

《微积分概念发展史》不只是一部关于数学史和数学哲学的史论，实际上也是一部内涵非常丰富的哲学思想史著作。例如，波耶分析牛顿与莱布尼茨的分野，胜义迭出，令人击节。流数法与微分法双峰并峙，各擅胜场，其逻辑与哲学基础，昭示英伦科学经验主义与欧陆思辨形而上学的二水分流。这本书篇幅不长，但全是干货。上下两千年，区区二三十万字，极为简练，却能原原本本、直击关节要害，真正为大家手笔。本人从中得到了极大教益，其中触类旁通的启示尤其令人印象深刻，因此对波耶的这部著作充满感激。
此书早有上师大数学系的译本（上海人民出版社1979年版），能直接采用是好的。但是联系译文版权非常困难，因为原译者是一个单位，这个单位早已不存在了。只好接受当年参与此书翻译的一位译者的建议——重译。他的理由是，联系到当年所有参与翻译的译者不太可能，有的译者已经故世，何况究竟有哪些人参与，连他也不清楚。后来我们发现还有一个理由：原译本有删节。
一时兴起，奋臂自为，现在看来真是一个自不量力的莽撞决定。波耶的博学令人叹服，单凭我们的水平，哪里能胜任，幸亏背后有许多高人支撑。青年翻译家焦晓菊小姐有相当丰富的翻译经验，她的帮助为这项工作垫了底。《科学》杂志的优秀编辑田廷彦先生通读译稿，消灭了许多差错。书中英文以外的难题，如法语、德语、意大利语及拉丁语，大部分是请数学史家胡作玄老先生帮忙解决的。毕业于复旦大学数学系的姚诗伟先生对译文逐一纠谬，我们的感激自不待言。如果不是资深数学编辑范仁梅老师的超常耐心和宽容，此事可能就中途放弃了。
译者在“信”方面下了功夫，也力求做到“达”，“雅”则望之莫及。译文会有这样那样的问题，一定是水平有限，而非态度缺失。
以书会友是一大乐事，期待能收到诸位读者的批评和建议，也欢迎有志于翻译的同仁（无论学科）与我们联系，大家一起努力，为数学文化的编译事业做些有益的工作。汉唐盛世，受益于异域文明的传入和引进，当今也不例外。景仰唐三藏历经劫难取经译经的伟大，故取此笔名以示向往。

唐  生
2007年4月9日

修订版附记：

此译本面世后，受到欢迎，多次加印。不少热心的读者发来电子邮件，一方面肯定我们的工作，同时也对译文提出了一些修改意见。借这次重版的机会，我们对译文做了全面修订。非常期待读者的反馈，这有助于我们改进工作，提高译文质量。

2021年12月20日

《微积分概念发展史》是关于微积分概念发展历程的经典著作。作者从芝诺悖论开始，以柯西的极限理论、戴德金等人对连续性、数和无穷大理论的发展结束，系统介绍了这些概念和一系列相关探索。既有引人入胜的历史叙述，又有对思想源流的深刻分析；不仅阐释了数学发现的方法，而且阐明了数学思想的基础，使读者意识到数学不是一种技术，而是一种思维习惯。这部数学史经典值得数学教师和数学爱好者认真研读。

《微积分概念发展史》是关于微积分概念发展历程的经典著作。作者从芝诺悖论开始，以柯西的极限理论、戴德金等人对连续性、数和无穷大理论的发展结束，系统介绍了这些概念和一系列相关探索。既有引人入胜的历史叙述，又有对思想源流的深刻分析；不仅阐释了数学发现的方法，而且阐明了数学思想的基础，使读者意识到数学不是一种技术，而是一种思维习惯。这部数学史经典值得数学教师和数学爱好者认真研读。

卡尔·B. 波耶（Carl B. Boyer，1906—1976）
美国杰出的数学史家，国际科学史研究院院士。 1939年获哥伦比亚大学数学博士学位，1952 年任纽约城市大学布鲁克林学院数学教授，1954 年获古根海姆奖，1957—1958年任美国科学史学会副主席。主要著作有 ：《微积分概念发展史》（1939 年）、《解析几何史》（1956 年）、《彩虹：从神话 到数学》（1959 年）、《数学史》（1968 年）。

章 引论 
第二章 古代的概念 
第三章 中世纪的贡献
第四章 一个世纪的期待
第五章 牛顿和莱布尼茨
第六章 犹豫不决的时期
第七章 严密的阐述
第八章 结论
参考文献
索引
译者后记

《微积分概念发展史》是关于微积分概念发展历程的经典著作。作者从芝诺悖论开始，以柯西的极限理论、戴德金等人对连续性、数和无穷大理论的发展结束，系统介绍了这些概念和一系列相关探索。既有引人入胜的历史叙述，又有对思想源流的深刻分析；不仅阐释了数学发现的方法，而且阐明了数学思想的基础，使读者意识到数学不是一种技术，而是一种思维习惯。这部数学史经典值得数学教师和数学爱好者认真研读。

卡尔·B. 波耶（Carl B. Boyer，1906—1976）
美国杰出的数学史家，国际科学史研究院院士。 1939年获哥伦比亚大学数学博士学位，1952 年任纽约城市大学布鲁克林学院数学教授，1954 年获古根海姆奖，1957—1958年任美国科学史学会副主席。主要著作有 ：《微积分概念发展史》（1939 年）、《解析几何史》（1956 年）、《彩虹：从神话 到数学》（1959 年）、《数学史》（1968 年）。

章 引论

数学作为人类心智训练和精神遗产不可分割的一部分，已经拥有了至少2500年的历史。然而，在这漫长的岁月中，人们对该学科的性质尚未有一致意见，也没有形成一个广为接受的定义。
通过观察大自然，古代的巴比伦人和埃及人建立起一套数学知识，并以之作为进一步观察的基础。泰勒斯（Thales）也许提出了演绎法，早期毕达哥拉斯（Pythagoras）学派的数学明显具有演绎的性质。毕达哥拉斯学派和柏拉图（Plato）注意到，他们通过演绎法获得的结论，在很大程度上与观察和归纳推理的结果一致。他们无法对这种一致性做出别的解释，便认为数学是对终极、永恒现实以及自然和宇宙固有性质的研究，而不是逻辑的一个分支或者科学技术所运用的一种工具。他们认定，要对经验做出正确解释，必先理解其中的数学原理。毕达哥拉斯学派有一句“万物皆数”的格言，柏拉图曾宣称“上帝乃几何学家”，都反映了这样的观念。
诚然，稍后的希腊怀疑论者曾质疑，推理或经验能否获取具有这种性质的知识。不过与此同时，亚里士多德学派的科学也表明，通过观察和逻辑至少可以获得与现象一致的描述，因此经欧几里得（Euclid）处理后，数学就成为演绎关系的一种理想模式。它产生于那些与观察归纳的结论相一致的公设，是可以用于阐释自然的。
经院学派的观点在中世纪十分盛行，他们认为宇宙“秩序井然”，易于理解。到了14世纪，世人非常清楚地意识到，逍遥学派对运动和变化所持的定性观好能被定量研究所取代。这两个概念，加上对柏拉图观点再次产生的兴趣使15世纪和16世纪的人们重新确信，数学在某些方面独立并先于经验的直觉知识。这种信念在库萨的尼古拉斯（Nicholas of Cusa）、开普勒（Kepler）和伽利略（Galileo）的思想中都留有印记，在某种程度上也出现于列奥纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）的思想中。
认为数学乃构筑宇宙之基础的观念，在16世纪和17世纪又发生了变化。在数学中，变化的原因是时人对代数少加批判但更为实际地运用（代数学在13世纪初由阿拉伯人传入，随后在意大利得到发展）。在自然科学领域，变化归因于实验方法的兴起。于是，笛卡尔（Descartes）、波义耳（Boyle）等人所谈论的数学确定性被阐释为一种一致性，它可以在其推理特性中找到，而不是从任何表现出先验的本体论必然性中找到。
18世纪，微积分被极其成功地应用于解决科学和数学问题，此时人们重点关注的是运算而不是数学基础。19世纪，在重新分析无穷大时，为了给所涉及的概念找到满意的基础，人们付出了持久的努力，进而产生了一种更有批判性的态度。数学的严密性复兴了，人们发现欧几里得的公设只不过是一些假设，并不像康德（Kant）坚持的那样是的综合判断。此类假设的选择非常随意——在彼此相容的条件下，允许它们与显而易见的感官证据相矛盾。19世纪末，由于数学分析中的算术化倾向，人们进一步发现，可以把超越所有直觉和分析的无穷概念引入数学，而不损害该学科的逻辑一致性。
如果数学的假设独立于感性世界，并且其原理超越了所有经验，那么这个学科充其量不过是赤裸裸的形式逻辑，更糟的情况是蜕化为符号上的同义反复。数学形式的符号化和算术化倾向在连续性的研究中获得了极大成功，但也导致了顽固的悖论，这一事实使人们对数学本质的兴趣越来越大——它在精神生活中的范围和地位，其原理和公设的心理学来源，其命题的逻辑力量及其作为对感官世界的阐释的有效性。
过去，数学被认为是研究数量或者空间和数字的学科，这种旧观点现在基本上已经消失。人们意识到，朴素的空间直觉会导致自相矛盾。这一事实颠覆了康德哲学中的公设观念。不过，数学家虽然不受外部感官知觉世界的控制，却仍然受其指引。连续性的数学理论来源于直接经验，但是终被数学家采用的连续统定义却超越了感官想象。数学形式主义者由此得出结论：既然在数学的定义和前提中，直觉毫无用处，我们就没有必要解释公理，或是知道其中涉及的对象和关系的本质。直觉主义者则坚持认为，其中涉及的数学符号应该很好地表达思想。两种（或更多）观点认为数学定理的准确性不容置疑，但是，数学概念是由直觉暗示（而非定义）的看法却能很容易地解释这一点：数学演绎推理得出的结论与经验归纳得出的结论明显一致。导数和积分产生于大自然明显的两个特征——多样性和可变性，但是，终其抽象的数学定义却建立在元素的无穷序列极限的基础概念之上。一旦我们描绘出其发展轨迹，也就容易理解那些用来阐释自然的观点所具有的力量和丰富性了。
古希腊数学家试图用数表达对直线的比率或比例的直觉观点时，遇到了逻辑困境，由此促成了微积分的产生。他们认为数是离散的，而直线大概是连续的，这样一来，几乎立刻就触及了逻辑上不够完美（但是在直觉上很吸引人）的无穷小概念。然而，古希腊严密的思想却将无穷小排除在几何证明之外，并代之以穷竭法，这种方法可避开无穷小问题，但十分麻烦。古希腊科学家没有定量地解决变化的问题。在运动学中，没有哪种方法像穷竭法对几何学那样，使其避开芝诺（Zeno）悖论所展示的困境。不过，14世纪的经院哲学家对变量展开了定量研究，他们的方法在很大程度上是辩证的，但是也求助于图示。到了17世纪，这一研究方法使得引入解析几何以及变量的系统表示法成为可能。
应用这种新型分析方法，加之自由使用具有启发性的无穷小和更广泛地运用数的概念，短时间内就产生了牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）的算法，它们构成了微积分。但是，即便在这个阶段，该学科的逻辑基础仍然缺乏明确概念。18世纪的数学家致力于寻找这样的基础，虽然几乎没有获得什么成就，却在很大程度上将微积分从连续运动和几何量的直觉中解放出来。19世纪初，导数成为基本概念，随着数学家严格定义了数和连续性，到19世纪后半叶，一个坚实的基础就此完成。为了对连续性那种模糊、本能的感觉做出解释，数学家付出了大约2500年的努力，终形成了精确的概念。这些概念由逻辑定义，表现出超越感官经验世界的推断。经过深思熟虑的研究，直觉，或者对表面上无法充分表达的经验要素的所谓直接认识，终于被严格定义的抽象理性概念所取代，这些概念是让科学和数学思想变得简洁的宝贵工具。
如今，微积分的基础定义——导数和积分的定义——在该学科的教科书中表述得非常清楚，掌握相关运算也非常容易，人们似乎忘记了当初研究这些基本概念所遭遇的艰辛。通常来说，清晰充分地理解一门学科背后的基础概念，要等到其发展的相对后期才能实现。微积分的兴起就恰如其分地说明了这一规律。微积分初提供的规则表述精确，易于使用，在某种程度上导致数学家对这个学科的逻辑发展所要求的细致工作无动于衷。他们设法利用产生于空间直觉的传统几何与代数的概念建立微积分。然而，到18世纪，详细阐述基础概念所面临的固有困难变得越来越明显，谈论“微积分的形而上学”成为惯例；言下之意是，数学已无力为微积分的基础给出令人满意的说明。19世纪，由于采用精确的数学术语，基本概念得以澄清，人们在自然界的具体直觉（也许潜藏在几何与代数中）和富于想象力思索的神秘主义（也许兴盛于先验的形而上学之上）之间，终于找到了一条安全的路线。于是，导数在其整个发展过程中，便摇摇晃晃地夹在速度（这个科学上的现象）和运动（这个哲学上的纯理性概念）之间。
积分的历史与此相似。一方面，它为近似值或误差补偿的实证主义思想提供了充分的阐释机会，这两种观点基于科学测量承认的近似性质和叠加效应公认的学说。另一方面，唯心主义的形而上学认为，在感官知觉有限论之外，人类经验和推理可以，但只能可望而不可即地逐渐接近超验无穷大。只有形成于19世纪的精确数学定义，才能使导数和积分保持它们作为抽象概念的本来地位，这种抽象概念也许衍生自物理描述和形而上学解释，但是又独立于两者。
…………
本文的目的就是追溯这两个概念的发展历史，从它们发端于感觉经验到终确立为数学抽象——依靠无穷序列极限的思想，根据形式逻辑加以定义。我们将发现，微积分的历史称得上是一个非凡的惊人实例，展现了数学概念是在摆脱了我们初的直觉产生的所有感性认知后缓慢形成的。在终的微积分里，导数和积分是从序数的角度，而非连续量和可变性的角度来综合定义的。尽管如此，它们却是努力将我们对后两个概念的感觉印象加以系统化所产生的结果。这说明，微积分在其早期发展阶段，为何会与几何或者运动的概念以及不可分量和无穷小的解释有密切关系，那是因为这些观点都产生于连续性的朴素直觉和经验。
…………
庞加莱（Poincaré）曾说过，如果数学家沦为抽象逻辑的猎物，他们将永远走不出数论和几何公设的范畴。自然界将连续统和微积分问题扔给数学家，因此我们完全可以理解，竟有一个类似物理学中顽固的原子论的思想，试图通过不可分元素来描画几何学所说明的宇宙。但是，数学的进一步发展已经表明，为了保存该学科的逻辑一致性，这样的想法必须放弃。产生导数和积分的概念的基础初是在几何中发现的，因为，尽管几何证明具有不容置疑的特性，人们仍然认为几何是对感性世界的抽象化、理想化。
然而，人们近年来越来越清楚地认识到，数学是对普遍关系的研究，任何源自感官知觉、对这些关系先入为主的看法，都不能妨碍我们探索这些关系应该是什么。因此，微积分逐渐摆脱几何学，并通过导数和积分的定义而依赖自然数的概念，所有传统的纯数学（包括几何）都可由自然数概念推导出来。现在，数学家们感到，集合论为微积分提供了必需的基础，从牛顿和莱布尼茨的时代起，人们就开始探索这些基础了。但是，我们却不能自以为是地断言，在直觉将所有这些从原始的变化和多样性观点中提炼出的毫不相干的概念联系在一起的过程中，这会是后一个步骤。人类天然会把对自己有价值的思想具体化，不过，若对导数和积分起源有一个公正评价就会清楚地认识到，任何认为这些概念的建立就是微积分概念发展的终结的观点，都是毫无根据的盲目乐观。

这是一部以导数和积分为焦点的数学史，作者追溯了微积分主要观念的发展历程，材料非常丰富，具有高度的原创性，可供数学家们参考。 
——I. B. 科恩，哈佛大学科学史教授 

本书之所以大受欢迎，除了叙述准确、思路清晰，还在于它同时蕴含出色的数学洞察力和对历史的同情式理解，这非常罕见。这是一部有卓越贡献的作品，无论是普通读者还是学者，都应该对作者表示感谢。 
——《数学教师》

这不是一部关于“数学问题”的历史，而是关于数学运算和推理的基础的历史，从芝诺悖论开始，以柯西的极限理论与戴德金、魏尔斯特拉斯和康托尔关于连续、数、无限的理论结束。然而，这本书不仅仅是综述，重读此书，我被很多细节打动了。书中的资料比我想象得更丰富、更广泛，作者对资料的把握也更精准。
——查尔斯·吉利斯皮，科学史学家，普林斯顿大学荣休教授