几何原本:少儿彩绘版 (少儿万有经典文库 )

自序

几何学就是研究、理解空间本质的学科。它是人们认识大自然、理解大自然的起点和基石所在，也是整个自然科学的启蒙者和奠基者，是种种科学思想和方法论的自然发源地。不论在自然科学的发展顺序上，还是在全局的重要性上，几何学都是理所当然的科学。在早期文明中，人们通过对自然界的朴素认识，利用归纳实验的方法去探索空间的本质，这属于实验几何阶段。随后，数学家们以实验几何之所得为基础，用逻辑推理去探索新知，并对已知的各种各样空间的本质，精益求精地做系统和深刻的分析，这属于推理几何，在这方面，古希腊文明获得了辉煌的成就。
古希腊时期，哲学家泰勒斯开启了对数学命题进行证明的思想，毕达哥拉斯学派将之发扬光大。到了公元前 3世纪，以证明为中心的古希腊数学传统已经得到了很好的发展。欧几里得以公理化的方法对当时已有的古希腊数学成果做了系统化和理论化的总结，著成《原本》（Elements）一书，该书成为推理几何的重要代表作。
希腊时期乃至人类历重要的数学著作之一就是欧几里得的《原本》，它写成于约2300年前，《原本》几乎已经被译成了所有语言。现在的读者可能难以理解这一著作——没有例子，没有注释，也没有计算，而只有简单的定义、公理、公设、命题和证明。《原本》全书共分十三卷，书中包含了5 条公理、5条公设、若干定义和465个命题。整部书在内容的编排上，由浅到深，从简至繁，先后论述了直线形、圆、比例论、相似形、数论、立体几何以及穷竭法等内容。更为重要的是，在《原本》中，所有命题的证明必须或者以公理为前提，或者以先前就已被证明了的定理为前提，才后得出结论。这样所有的命题就编织成了一个演绎推理的链条，形成了欧几里得几何体系。
此外，《原本》所包含的数学内容对后世数学发展产生了巨大的影响，例如今天代数、几何、数论等许多数学分支的产生及演化都与《原本》有着密切的联系。两千多年来，人们始终以欧几里得几何为基本内容编写初等几何教材，并将几何作为中学的一门重要课程。从学生到工匠，从帝王到总统，人们一直把是否通晓几何作为衡量人的教育程度的一项标志。欧几里得几何有效地培育了学生的推理能力、严密思考的习惯和努力探索的精神，这一点可能是其他科目所不可替代的。许多大科学家在很小的时候都曾受到欧几里得的影响，阿尔伯特·爱因斯坦曾指出：“如果欧几里得未能激起你少年时代的热情，那么你就不是一个天生的科学思想家。”徐光启在翻译《原本》的过程中也曾说：“能精此书者，无一事不可精；好此书者，无一事不可学。”
综上所述，《原本》的价值不仅在于其中的数学内容和演绎思想，还在于其在两千多年的岁月中所演化发展的数学知识及其背后的人文故事。欧几里得几何在基础教育中的地位是不容怀疑和贬低的，过去是这样，在科学技术日新月异的今天同样如此。下面就让我们领略这本历经两千多年而不朽的数学经典的魅力吧！

郭园园

关于本系列
“少儿万有经典文库”是专为8—14岁少年儿童量身定制的一套经典书系，本书系拥抱经典，面向未来，遴选全球对人类社会进程具有重大影响的自然科学和社会科学经典著作，邀请各研究领域颇有建树和极具影响力的专家、学者、教授，参照少年儿童的阅读特点和接受习惯，将其编写为适合他们阅读的少儿版，佐以数百幅生动活泼的手绘插图，让这些启迪过万千读者的经典著作成为让儿童走进经典的优质读本，帮助初涉人世的少年儿童搭建扎实的知识框架，开启广博的思想视野，帮助他们从少年时代起发现兴趣，开启心智，追寻梦想，从经典的原点出发，迈向广袤的人生。

关于本书
《几何原本》是被称为“几何学之父”的古希腊数学家欧几里得创作的不朽巨著，是对古希腊数学成果系统化、理论化的总结，树立了用公理建立演绎数学体系的早典范。
今天的代数、几何、数论等许多数学分支的产生及演化都与《几何原本》有着密切的联系。《几何原本（少儿彩绘版）》作者郭园园长期从事数学史研究、数学教育工作，他由浅到深，从简至繁，向读者介绍了《几何原本》中的5条公理、5条公设，并在465个命题中选取了一些典型命题进行解读。随着命题一步步被解开，数学史上的一些重大突破以及几何学的发展脉络也呈现在读者眼前。书中配有200余幅生动的手绘插图和图片资料，帮助读者更轻松地读懂《几何原本》。
“驴桥问题”和桥有关吗？A4型号打印纸有多大？帕提侬神庙是如何利用黄金比例的？有没有无限大的数？……作者通过对这些问题的阐释，向读者展示了数学的魅力，让《几何原本》这部锻炼逻辑思维、激发数学学习兴趣的经典之作焕发出新的光芒。

郭园园，中国科学院自然科学史研究所（IHNS CAS）副研究员。2013年毕业于上海交通大学，获科学技术史专业理学博士学位。主要从事数学史研究、数学教育和数学科普工作。近年来出版的学术著作有《代数溯源——花拉子密<代数学>研究》（专著，科学出版社，2020）、《西去东来——沿丝绸之路数学知识的传播与交流》（合著，江苏人民出版社，2018）、《阿尔·卡西代数学研究》（专著，上海交通大学出版社，2017）、《东方数学选粹——埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰》（合译，上海交通大学出版社，2016）。另翻译出版“魔力数学”（知识产权出版社，2020）、《让孩子尖叫的STEAM实验室·数学》（接力出版社，2020）、《计算利息、地球运动速度和蛋糕的黄金比例》（接力出版社，2018）等多部少儿科普作品，发表论文数篇。

关于本系列
“少儿万有经典文库”是专为8—14岁少年儿童量身定制的一套经典书系，本书系拥抱经典，面向未来，遴选全球对人类社会进程具有重大影响的自然科学和社会科学经典著作，邀请各研究领域颇有建树和极具影响力的专家、学者、教授，参照少年儿童的阅读特点和接受习惯，将其编写为适合他们阅读的少儿版，佐以数百幅生动活泼的手绘插图，让这些启迪过万千读者的经典著作成为让儿童走进经典的优质读本，帮助初涉人世的少年儿童搭建扎实的知识框架，开启广博的思想视野，帮助他们从少年时代起发现兴趣，开启心智，追寻梦想，从经典的原点出发，迈向广袤的人生。

关于本书
《几何原本》是被称为“几何学之父”的古希腊数学家欧几里得创作的不朽巨著，是对古希腊数学成果系统化、理论化的总结，树立了用公理建立演绎数学体系的早典范。
今天的代数、几何、数论等许多数学分支的产生及演化都与《几何原本》有着密切的联系。《几何原本（少儿彩绘版）》作者郭园园长期从事数学史研究、数学教育工作，他由浅到深，从简至繁，向读者介绍了《几何原本》中的5条公理、5条公设，并在465个命题中选取了一些典型命题进行解读。随着命题一步步被解开，数学史上的一些重大突破以及几何学的发展脉络也呈现在读者眼前。书中配有200余幅生动的手绘插图和图片资料，帮助读者更轻松地读懂《几何原本》。
“驴桥问题”和桥有关吗？A4型号打印纸有多大？帕提侬神庙是如何利用黄金比例的？有没有无限大的数？……作者通过对这些问题的阐释，向读者展示了数学的魅力，让《几何原本》这部锻炼逻辑思维、激发数学学习兴趣的经典之作焕发出新的光芒。

郭园园，中国科学院自然科学史研究所（IHNS CAS）副研究员。2013年毕业于上海交通大学，获科学技术史专业理学博士学位。主要从事数学史研究、数学教育和数学科普工作。近年来出版的学术著作有《代数溯源——花拉子密<代数学>研究》（专著，科学出版社，2020）、《西去东来——沿丝绸之路数学知识的传播与交流》（合著，江苏人民出版社，2018）、《阿尔·卡西代数学研究》（专著，上海交通大学出版社，2017）、《东方数学选粹——埃及、美索不达米亚、中国、印度与伊斯兰》（合译，上海交通大学出版社，2016）。另翻译出版“魔力数学”（知识产权出版社，2020）、《让孩子尖叫的STEAM实验室·数学》（接力出版社，2020）、《计算利息、地球运动速度和蛋糕的黄金比例》（接力出版社，2018）等多部少儿科普作品，发表论文数篇。

次数学危机
希帕索斯从几何上发现了无理数的存在，这对数学的发展及至人类文明做出了重大贡献，理应受到赞赏与奖励。但是由于毕达哥拉斯学派的信条“万物皆数”只承认整数和分数，除此之外，他们不知道也不承认别的数，希帕索斯因此被本学派学员投海，葬身鱼腹！
约公元前400年的这一发现，迫使毕达哥拉斯学派放弃他们“万物皆数”的基本哲学信仰，并且使得希腊数学家们发展一些新的理论，这就是次数学危机！

相似形理论
在《原本》第Ⅴ卷中，欧几里得集中研究了比例的基本概念，但这是关于连续量的比例论。这个理论的成功之处在于，它避开了无理数，建立了可公度与不可公度的正确比例理论，从而顺利建立了第Ⅵ卷中相似形的理论，并用它证明了命题VI.1：等高的三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比。进而证明了相似形的命题VI.2：如果一条直线平行于三角形的一边，则它截三角形的两边成比例线段；又，如果三角形的两边被截成比例线段，则截点的连线平行于三角形的另一边。

“数”和“量”的比例论

直至第Ⅶ卷，欧几里得才开始研究数（即离散数量）的比例论，尽管在现代数学中很容易把“量”归入到“数”中，但当时在欧几里得看来，“量”和“数”是两个完全不同的概念，所以必须分别来进行研究。这种分别定义“量”和“数”的比例论的做法，被认为是欧几里得重要的成就之一。让我们先来看一下第Ⅴ卷的几个重要的定义：

定义3：两个同类量彼此之间的一种大小关系叫作。
定义4：把一个量几倍以后能大于另外一个量时，则说这两个量彼此之间。
定义6：有相同比的四个量叫作成比例的量。

以上这些定义全部是早于欧几里得的欧多克索斯所给出的，《原本》出现后，人们将关于比的理论称为欧几里得比例论。欧多克索斯的年代，人们对数域概念的认识是模糊的，他极力避免和无理数接触。欧几里得也同样如此，他并没有把几何量和数建立起相对应的关系，因此无法把量转化为数，所以只能分开讨论。

四个数成比例

欧几里得在《原本》第Ⅶ卷定义20中指出：
当数是第二数的某倍、某一部分或某几部分，与第三数是第四数的同一倍、同一部分或相同的几部分，称这四个数是成比例的。
接下来，欧几里得在命题VII.19中指出：
如果四个数成比例，则个数和第四个数相乘所得的数等于第二个数和第三个数相乘所得的数；又如果个数和第四个数相乘所得的数等于第二个数和第三个数相乘所得的数，则这四个数成比例。
此外，欧几里得在《原本》第Ⅴ卷和第Ⅶ卷中均指出，如果四个量或四个数成比例，则它们的更比例、反比例、合比例、分比例、换比例都成立，即：
更比例：如果 a:b=c:d，则 a:c=b:d。 
反比例：如果 a:b=c:d，则 b:a=d:c。 
合比例：如果 a:b=c:d，则 (a b):b=(c d ):d。 
分比例：如果 a:b=c:d，则 (a-b):b=(c-d ):d。 
换比例：如果 a:b=c:d，则 a:(a-b)=d:(c-d)。
这些都是我们在初等数学中比较常见的内容。
事实上，除了希腊文明以外，在古代中国、印度和阿拉伯文献中，都有关于四项比例关系的记载。文艺复兴后，这一法则经由阿拉伯传入欧洲。由于其方法简单易行，颇受商业界欢迎，被当时的欧洲人誉为“黄金法则”。