张量分析（第3版）

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章矢量与张量1
1.1矢量及其代数运算公式1
1.1.1矢量1
1.1.2点积2
1.1.3叉积2
1.1.4混合积3
1.2斜角直线坐标系的基矢量与矢量分量5
1.2.1平面内的斜角直线坐标系5
1.2.2三维空间中的斜角直线坐标系7
1.2.2.1斜角直线坐标系7
1.2.2.2协变基矢量7
1.2.2.3逆变基矢量8
1.2.2.4由协变基矢量求逆变基矢量8
1.2.2.5指标升降关系9
1.3曲线坐标系10
1.3.1曲线坐标系的定义10
1.3.2空间点的局部基矢量11
1.3.3正交曲线坐标系与Lamé常数12
1.4坐标转换13
1.4.1基矢量的转换关系13
1.4.2协变与逆变转换系数14
1.4.3矢量分量的坐标转换关系14
1.4.4度量张量分量的坐标转换关系15
1.5并矢与并矢式15
1.5.1并矢15
1.5.2缩并17
1.5.3并矢的点积与双点积17
1.5.4并矢的相等18
1.6张量的基本概念18
1.6.1矢量的分量表示法与实体表示法18
1.6.2张量的定义与两种表示法20
1.6.2.1张量的分量表示法21
1.6.2.2张量的实体表示法（并矢表示法）22
1.6.3度量张量23
1.7张量的代数运算24
1.7.1张量的相等24
目录

张量分析（第3版）1.7.2张量的相加24
1.7.3标量与张量相乘25
1.7.4张量与张量并乘25
1.7.5张量的缩并25
1.7.6张量的点积26
1.7.7转置张量27
1.7.8张量的对称化与反对称化27
1.7.9张量的商法则28
1.8张量的矢积32
1.8.1置换符号与行列式的展开式32
1.8.2置换张量（Eddington张量）与~δ等式33
1.8.3矢积36
1.8.3.1两个矢量的矢积36
1.8.3.2三个矢量的混合积37
1.8.3.3三个矢量的三重积38
1.8.3.4张量的矢积38
习题39第2章二阶张量45
2.1二阶张量的矩阵45
2.1.1二阶张量的四种分量所对应的矩阵45
2.1.2二阶张量的转置，对称、反对称张量及其所对应的矩阵46
2.1.3二阶张量的行列式47
2.1.4二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算47
2.2正则与退化的二阶张量49
2.2.1关于映射的几个定理49
2.2.2正则与退化49
2.3二阶张量的不变量50
2.3.1张量的标量不变量50
2.3.2二阶张量的三个主不变量51
2.3.3二阶张量的矩51
2.4二阶张量的标准形52
2.4.1实对称二阶张量的标准形52
2.4.1.1基本概念52
2.4.1.2对称二阶张量的特征方程53
2.4.1.3实对称二阶张量的特征根必为实根54
2.4.1.4实对称二阶张量主方向的正交性54
2.4.1.5实对称二阶张量所对应的线性变换54
2.4.1.6主分量是当坐标转换时N的混合分量对角元素之驻值54
2.4.1.7对称二阶张量标准形的应用55
2.4.2非对称二阶张量的标准形56
2.4.2.1特征方程无重根的情况56
2.4.2.2特征方程有重根的情况58
2.5几种特殊的二阶张量63
2.5.1零二阶张量O63
2.5.2度量张量G63
2.5.3二阶张量的幂64
2.5.3.1二阶张量的正整数次幂64
2.5.3.2二阶张量的零次幂64
2.5.3.3二阶张量的负整数次幂64
2.5.4正张量、非负张量及其方根、对数64
2.5.5二阶张量的值66
2.5.6反对称二阶张量66
2.5.6.1定义66
2.5.6.2反对称二阶张量的主不变量66
2.5.6.3反对称二阶张量的标准形66
2.5.6.4反对称二阶张量的反偶矢量67
2.5.6.5反对称二阶张量Ω所对应的线性变换68
2.5.7正交张量68
2.5.7.1定义68
2.5.7.2正交变换的“保内积”性质69
2.5.7.3正交张量的并矢表达式69
2.5.7.4正交张量的标准形69
2.6二阶张量的分解71
2.6.1二阶张量的加法分解71
2.6.1.1球形张量与偏斜张量72
2.6.1.2利用偏斜张量求对称二阶张量的主分量与主方向73
2.6.1.3二阶张量标量不变量的进一步分析75
2.6.2二阶张量的乘法分解(极分解)78
2.7正交相似张量79
习题80第3章张量函数及其导数83
3.1张量函数、各向同性张量函数的定义和例83
3.1.1什么是张量函数83
3.1.2张量函数举例84
3.1.3各向同性张量函数85
3.2矢量的标量函数87
3.3二阶张量的标量函数89
3.4二阶张量的二阶张量函数91
3.4.1二阶张量的解析函数91
3.4.2HamiltonCayley等式92
3.4.3同时化为对角型标准形的函数94
3.4.4对称张量的对称张量函数96
3.5张量函数导数的定义，链规则101
3.5.1有限微分、导数与微分101
3.5.2张量函数导数的链规则105
3.5.3两个张量函数乘积的导数106
3.6矢量的函数之导数107
3.6.1矢量的标量函数107
3.6.2矢量的矢量函数108
3.6.3矢量的二阶张量函数109
3.6.4张量函数的梯度、散度和旋度109
3.6.4.1张量函数的梯度110
3.6.4.2张量函数的散度110
3.6.4.3张量函数的旋度111
3.7二阶张量的函数之导数111
3.7.1二阶张量的标量函数之导数111
3.7.2二阶张量的不变量的导数113
3.7.3二阶张量的张量函数之导数114
习题116第4章曲线坐标张量分析120
4.1基矢量的导数、Christoffel符号120
4.1.1协变基矢量的导数及第二类Christoffel符号121
4.1.2类Christoffel符号 122
4.1.3逆变基矢量的导数123
4.1.4g对坐标的导数，Γjji 的计算公式124
4.1.5坐标转换时Christoffel符号的转换公式124
4.2张量场函数对矢径的导数、梯度124
4.2.1有限微分、导数与微分125
4.2.2梯度126
4.3张量分量对坐标的协变导数127
4.3.1矢量场函数的分量对坐标的协变导数128
4.3.2张量场函数的分量对坐标的协变导数131
4.3.3协变导数的一些性质132
4.4张量场函数的散度与旋度135
4.5积分定理137
4.5.1预备知识137
4.5.2Green变换公式138
4.5.3Stokes变换公式141
4.6RiemannChristoffel张量(曲率张量)144
4.6.1Euclidean空间与Riemann空间144
4.6.2Euclidean空间应满足的条件146
4.6.3证明Rp·rsq是张量分量148
4.6.4RiemannChristoffel张量的性质149
4.6.5关于张量分量二阶协变导数的Ricci公式、Bianchi恒等式151
4.7张量方程的曲线坐标分量表示方法153
4.8非完整系与物理分量154
4.8.1非完整系154
4.8.2物理分量157
4.8.2.1非完整系基矢量的选择157
4.8.2.2矢量的物理分量157
4.8.2.3二阶张量的物理分量158
4.9正交曲线坐标系中的物理分量159
4.9.1正交标准化基、度量张量与物理分量159
4.9.2基矢量对坐标的导数160
4.9.3正交系中张量表达式的物理分量形式161
习题163第5章曲面上的张量分析169
5.1曲面的基本知识169
5.1.1曲面的参数方程与Gauss坐标169
5.1.2曲面的基本矢量170
5.1.3曲面的基本张量171
5.1.4曲面的第二基本张量172
5.1.5曲面上曲线的曲率，曲面的法截面曲率、主曲率、平均曲率与
Gauss曲率173
5.1.5.1曲面上曲线的曲率、Fre公式173
5.1.5.2曲面的法截面曲率175
5.1.5.3曲面的主曲率、平均曲率、Gauss曲率176
5.1.6曲率线、主坐标、渐近线178
5.1.7旋转张量183
5.1.8非完整系与物理分量184
5.2曲面上基本矢量的求导公式185
5.2.1法向矢量对坐标的导数（Weingarten公式）185
5.2.2基矢量对坐标的导数（Gauss求导公式），曲面上的
Christoffel符号186
5.2.3基本张量分量的导数与协变导数187
5.2.4单位矢量的求导公式188
5.3曲面的基本方程，RiemannChristoffel张量189
5.3.1Codazzi方程与Gauss方程189
5.3.2RiemannChristoffel张量190
5.3.3可展曲面与不可展曲面192
5.3.4Gauss方程的其他形式192
5.3.5以物理分量表达的Codazzi方程与Gauss方程193
5.4曲面上场函数的导数194
5.4.1曲面上的标量场函数194
5.4.2曲面上的矢量场函数195
5.4.2.1曲面上矢量场函数的微分与梯度195
5.4.2.2曲面上矢量场函数的梯度之分量表达式196
5.4.2.3曲面上矢量场函数的散度与旋度198
5.4.3曲面上的切面张量场函数198
5.5等距曲面（平行曲面）200
5.5.1等距曲面的基矢量200
5.5.2等距曲面的基本形201
5.5.3参考曲面的第三基本形202
5.5.4等距曲面上面元的面积204
5.5.5等距曲面的第二基本形204
5.5.6主坐标系中等距曲面的几何参数205
5.6曲面理论的一个应用实例206
5.6.1碳纳米曲面的描述207
5.6.2碳纳米曲面变形的描述209
5.6.3碳纳米曲面的本构关系212
5.6.4石墨烯片刚度212
5.6.5石墨烯卷曲成单壁碳纳米管214
习题218第6章张量场函数对参数的导数220
6.1质点运动220
6.1.1质点的运动速度220
6.1.2任意矢量对参数的导数221
6.1.3举例223
6.2Euler坐标与Lagrange坐标226
6.2.1Euler坐标226
6.2.2Lagrange坐标227
6.2.3两种坐标系的转换关系229
6.2.4质点速度和物质导数229
6.3基矢量的物质导数230
6.3.1Lagrange基矢量的物质导数230
6.3.2度量张量的物质导数、应变率张量232
6.3.3速度场的加法分解233
6.3.4Euler基矢量的物质导数235
6.4矢量场函数的导数235
6.4.1Lagrange坐标系中矢量场函数的物质导数235
6.4.2Euler坐标系中矢量场函数的物质导数、全导数237
6.4.3坐标转换关系240
6.4.4矢量场函数的相对导数240
6.4.5各种导数间的关系244
6.5张量场函数的导数244
6.5.1任意阶张量函数的物质导数244
6.5.2二阶张量场函数及其相对导数249
6.6连续介质变形与运动的初步知识253
6.6.1变形梯度张量，线元、面元与体元的变换253
6.6.2线元、面元与体元的物质导数255
6.6.3变形梯度张量的极分解257
6.6.4Green应变张量257
6.6.5应力张量259
6.6.6应力率260
6.6.7弹性本构关系261
6.6.8举例262
6.6.9张量场函数在域上积分的导数264
6.6.9.1张量场函数在物质体积域上的质量积分264
6.6.9.2张量场函数在物质体积域上的体积积分265
6.6.9.3张量通过物质开曲面的通量267
6.6.9.4张量沿物质封闭曲线的环量269
6.6.9.5张量场函数在非物质域上积分的导数270

习题

习题答案

参考文献