应用数学

应用数学是高等职业教育各专业的一门公共基础课程，在培养高技能型人才的综合素质以及可持续发展能力方面具有重要作用．近年来，我们根据高等职业教育的人才培养目标以及高职高专学生的学习与认知规律，经过不断探索与大胆创新，在教材的编排模式、教学流程以及方式上都有了新的突破．
首先，在教材编排上，我们采用“多纲一本”的编排方法，满足不同基础、专业学生的学习需求．根据高职高专学生的认知水平以及学习要求，我们在组织教学内容时，力求做到基础性强、实用性强和发展性强．我们将应用数学的10个核心内容设置为10个独立的教学模块．其中三角函数与复数是基础内容；函数、极限、导数、微分、不定积分、定积分为各专业公共学习模块；常微分方程及求解（拉普拉斯变换）、矩阵与行列式等为选学模块．各专业可根据其专业培养目标选学所需内容．
其次，教材融合专业、注重能力、突出应用，探索专业课程与数学课程的有效整合．通过剖析专业应用案例，帮助学生学会运用数学知识、数学方法去解决专业方面的实际问题．同时尽量减少无实际意义的纯数学计算，将抽象思维转化为形象思维，提升学生应用数学解决工作、生活中实际问题的能力，注重对学生的数学思维方法和应用能力的培养，激发学生学习数学的热情，提高学生的数学素养．
后，我们深化“应用导向、问题驱动”的教学方法，提高学生的学习效率，着力培养学生举一反三、融会贯通的能力．我们本着重知识应用、重能力培养、重素质教育的思想，增强学生应用数学知识解决实际问题的能力，在数学应用中培养学生的思维能力和创新意识，充分发挥应用数学对学生形成职业能力和职业素养的重要支撑作用．教材在处理定理和公式的推导与证明方面，避免逢理或逢理不证的现象，根据高等职业院校学生的基础，本着量力而行的原则，合理取舍，少了一些公式的烦琐推导，结合图形描述，直观形象地加以解释，使数学课程的学习由抽象变形象，由烦琐变简单，从而激发每一位学生学习应用数学的兴趣和热情．
本教材由刘东海副教授和牛雁斌副教授担任主编，由刘丽瑶、黄晓津、郭辉、陈雄波、陆丽宇、朱彬彬担任副主编共同编写完成．在此对各位老师的支持表示深深的谢意．
由于编者水平有限，教材中的疏漏之处敬请专家与读者批评指正．

本书是根据*《关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》及《国务院关于大力推进职业教育改革与发展的决定》的精神和要求，结合多年的教学实践经验，在充分调研我国高等职业院校教学现状及发展趋势的基础上编写的。本书的主要内容包括预备知识，函数、极限与连续，导数与微分，导数的应用，不定积分，定积分及其应用，常微分方程及求解，矩阵与行列式共8章。在每节后配有习题，每章后配有测试题，可帮助学生及时巩固所学知识。 本书可作为普通高等院校、高等职业院校工科类和财经类专业的高等数学基础课程教材，也可作为读者学习高等数学的参考用书。

刘东海，从事教育教学工作26年，研究方向：数学课程与教学论。讲授过经济数学、高等数学、离散数学、线性代数等多门数学课程。在“教育与职业”、“职业教育研究”、“新疆职业大学学报”、“ 天津市职工现代企业管理学院学报”、“ 天津经理学院学报”等报刊上撰写公开发表的教育教学论文十余篇，主持并参与学院教育教学改革课题六项。

章 预备知识 1 
1-1 三角函数 2 
一、任意角的三角函数 2 
二、三角函数的图像及性质 3 
三、同角三角函数的基本关系 5 
习题1-1 6 
1-2 两角和与差的三角函数 6 
一、两角和与差的三角函数公式 6 
二、二倍角的正弦、余弦、正切 7 
三、半角的正弦、余弦、正切 7 
四、三角函数的积化和差与和差化积 8 
五、反三角函数 9 
习题1-2 10 
1-3 复数 11 
一、复数的表示形式 11 
二、复数的运算 13 
习题1-3 15 
本章小结 16 
测试题一 16 
第二章 函数、极限与连续 19 
2-1 初等函数及常用的经济函数 20 
一、函数 20 
二、基本初等函数 22 
三、函数的几种特性 25 
四、反函数 26 
五、复合函数 27 
六、初等函数 27 
七、常用的经济函数 28 
习题2-1 30 
2-2 函数的极限 31 
一、极限的概述 31 
二、数列的极限 32 
三、函数的极限 33 
习题2-2 37 
2-3 无穷小量与无穷大量 38 
一、无穷小量 38 
二、无穷大量 39 
三、无穷小的比较 40 
习题2-3 42 
2-4 极限的运算性质与运算法则 43 
一、极限的运算性质 43 
二、极限的运算法则 43 
三、极限的计算方法 43 
习题2-4 46 
2-5 两个重要极限 47 
一、 47 
二、 49 
习题2-5 51 
2-6 初等函数的连续性 51 
一、函数的增量 51 
二、函数连续性的概念 52 
三、初等函数的连续性 54 
四、闭区间上连续函数的性质 55 
习题2-6 56 
本章小结 57 
一、初等函数 57 
二、函数的极限 57 
三、无穷小与无穷大 58 
四、函数极限的四则运算 59 
五、两个重要极限 59 
六、函数的连续性 59 
测试题二 59 
第三章 导数与微分 62 
3-1 导数 63 
一、引例 63 
二、导数的概念 65 
三、导数的应用分析——变化率模型 66 
四、可导与连续的关系 67 
五、求导数举例 69 
习题3-1 70 
3-2 求导法则 70 
一、导数的四则运算法则 71 
二、反函数的求导法则 72 
三、复合函数的求导法则 73 
四、常数和基本初等函数的导数公式 75 
五、函数和、差、积、商的求导法则 75 
习题3-2 76 
3-3 隐函数及参数式函数的导数 76 
一、隐函数的导数 76 
二、对数求导法 77 
三、由参数方程所确定的函数的导数 78 
习题3-3 79 
3-4 高阶导数 80 
一、高阶导数的导数 80 
二、高阶导数的计算 80 
三、二阶导数的物理意义 81 
习题3-4 81 
3-5 函数的微分 82 
一、微分的定义 82 
二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 83 
三、微分的几何意义 85 
四、微分在近似计算中的应用 85 
习题3-5 87 
本章小结 88 
一、基本概念 88 
二、基本公式、法则和方法 88 
测试题三 89 
第四章 导数的应用 91 
4-1 微分中值定理 92 
一、引理（费马定理） 92 
二、罗尔中值定理 92 
三、拉格朗日中值定理 93 
四、柯西中值定理 95 
习题4-1 95 
4-2 洛必达法则 96 
一、 型未定式 96 
二、 型未定式 97 
三、其他未定式的极限求法 98 
习题4-2 99 
4-3 函数的单调性 100 
习题4-3 102 
4-4 函数的极值 102 
一、函数极值的定义 102 
二、函数极值的判定和求法 103 
习题4-4 105 
4-5 函数的值和小值 106 
习题4-5 110 
4-6 曲线的凹凸、拐点与渐近线 111 
一、曲线的凹凸与拐点 111 
二、曲线的渐近线 114 
习题4-6 114 
4-7 函数图像的描绘 115 
习题4-7 118 
4-8 导数在经济分析中的应用 118 
一、边际与边际分析 118 
二、弹性与弹性分析 121 
习题4-8 123 
本章小结 123 
一、基本概念 123 
二、基本定理 124 
三、基本方法 124 
测试题四 125 
第五章 不定积分 128 
5-1 不定积分的概念和性质 129 
一、原函数 129 
二、不定积分的概念 129 
三、不定积分的性质 130 
四、不定积分的几何意义 130 
五、直接积分法 131 
习题5-1 133 
5-2 换元积分法 133 
一、类换元积分法 134 
二、第二类换元积分法 137 
习题5-2 140 
5-3 分部积分法 140 
习题5-3 142 
5-4 简单有理函数的积分 143 
习题5-4 146 
本章小结 146 
一、基本概念 146 
二、基本公式 146 
三、基本积分法 147 
测试题五 147 
第六章 定积分及其应用 149 
6-1 定积分的定义及其性质 150 
一、引例 150 
二、定积分的定义 152 
三、定积分的几何意义 153 
四、定积分的基本性质 155 
习题6-1 156 
6-2 定积分的计算 157 
一、微积分的基本公式 157 
二、牛顿-莱布尼兹（Newton?CLeibniz）公式 158 
三、定积分的换元积分法和分部积分法 159 
习题6-2 163 
6-3 广义积分 164 
一、无穷区间的广义积分 165 
二、无界函数的广义积分 166 
习题6-3 167 
6-4 定积分的应用 168 
一、定积分在函数的平均值上的应用 168 
二、定积分在几何上的应用 169 
三、定积分在物理上的应用 172 
四、定积分在经济学上的应用 176 
习题6-4 177 
本章小结 180 
一、定积分的概念 180 
二、定积分的常用性质 180 
三、定积分的计算 180 
四、广义积分 181 
五、定积分的应用 181 
测试题六 182 
*第七章 常微分方程及求解 184 
7-1 微分方程的基本概念 185 
一、引例 185 
二、微分方程的定义 186 
三、微分方程的阶 186 
四、微分方程的解 186 
五、例题讲解 187 
习题7-1 188 
7-2 可分离变量的微分方程 188 
习题7-2 190 
7-3 齐次微分方程 191 
习题7-3 193 
7-4 一阶线性微分方程 193 
一、一阶线性微分方程的概念 193 
二、一阶线性齐次微分方程的解法 194 
三、一阶线性非齐次微分方程的解法 194 
习题7-4 196 
7-5 可降阶的高阶微分方程 196 
一、 型微分方程 196 
二、 型微分方程 197 
三、 型微分方程 197 
习题7-5 198 
7-6 二阶线性微分方程的解的结构 199 
一、二阶线性微分方程的基本概念 199 
二、二阶线性齐次微分方程解的结构 199 
三、二阶线性非齐次微分方程的解结构 200 
习题7-6 201 
7-7 二阶常系数线性微分方程 202 
一、二阶常系数线性齐次微分方程 202 
二、二阶常系数线性非齐次微分方程 204 
习题7-7 208 
7-8 拉普拉斯变换 209 
一、拉普拉斯变换的基本概念 209 
二、拉普拉斯变换的基本性质 212 
三、拉普拉斯逆变换 214 
四、拉普拉斯变换的应用 215 
习题7-8 218 
本章小结 218 
一、主要内容 218 
二、重点与难点 218 
三、学习指导 219 
测试题七 219 
*第八章 矩阵与行列式 222 
8-1 行列式的概念与性质 223 
一、问题的引入 223 
二、行列式的概念 223 
三、三阶行列式 225 
四、行列式的基本性质 226 
习题8-1 229 
8-2 行列式的计算 229 
一、高阶行列式 229 
二、行列式的计算 233 
习题8-2 235 
8-3 克莱姆法则 236 
习题8-3 238 
8-4 矩阵的概念及基本运算 238 
一、问题的引入 239 
二、矩阵的概念 239 
三、矩阵的运算 241 
四、用矩阵表示线性方程组 244 
习题8-4 245 
8-5 矩阵的初等变换、矩阵的秩 246 
一、矩阵的初等变换 246 
二、矩阵的秩 248 
习题8-5 251 
8-6 逆矩阵 251 
一、逆矩阵的定义 251 
二、逆矩阵的求法 252 
三、用逆矩阵解线性方程组 254 
习题8-6 256 
本章小结 256 
一、二、三阶行列式的概念 256 
二、行列式的基本性质 256 
三、行列式的运算 257 
四、矩阵的定义、分类及运算 257 
五、矩阵的初等变换 258 
六、矩阵的秩及其求法 258 
七、逆矩阵的求法 258 
八、线性方程组的求解 258 
测试题八 258 
参考文献 263

本书是根据*《关于全面提高高等职业教育教学质量的若干意见》及《国务院关于大力推进职业教育改革与发展的决定》的精神和要求，结合多年的教学实践经验，在充分调研我国高等职业院校教学现状及发展趋势的基础上编写的。本书的主要内容包括预备知识，函数、极限与连续，导数与微分，导数的应用，不定积分，定积分及其应用，常微分方程及求解，矩阵与行列式共8章。在每节后配有习题，每章后配有测试题，可帮助学生及时巩固所学知识。 本书可作为普通高等院校、高等职业院校工科类和财经类专业的高等数学基础课程教材，也可作为读者学习高等数学的参考用书。

刘东海，从事教育教学工作26年，研究方向：数学课程与教学论。讲授过经济数学、高等数学、离散数学、线性代数等多门数学课程。在“教育与职业”、“职业教育研究”、“新疆职业大学学报”、“ 天津市职工现代企业管理学院学报”、“ 天津经理学院学报”等报刊上撰写公开发表的教育教学论文十余篇，主持并参与学院教育教学改革课题六项。