高等数学辅导精讲（数学一、二、三通用）
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作者薛威
出版社科学出版社
ISBN9787030608581
出版时间2020-01
装帧平装
开本其他
定价59.8元
货号27856864
上书时间2024-10-20
商品详情
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导语摘要
《高等数学辅导精讲(数学一、二、三通用)》按照考研数学大纲的要求, 以历年考研数学真题中的典型题目及分析详解为主线, 内容包含典型方法的归类总结、重要和常用技巧的运用、考生易错点的提示、重点题型的考研预测等. 相比其他考研数学辅导图书有以下特色：(1)紧扣大纲要求, 精选历年考研真题, 分模块分阶段地指导考生科学备考; (2)精心设计《高等数学辅导精讲(数学一、二、三通用)》模块和栏目, 辅助考生深入思考和总结测评; (3)配套视频讲解浓缩新东方名师十年考研数学面授讲课精华.
作者简介
薛威，新东方集团考研数学培训师，新东方在线考研数学名师，北京新东方集训营考研数学首席主讲。
目录
目录
前言
**章 函数与极限 1
**节 考试要求及考点精讲 1
一、考试要求 1
二、考点精讲 2
第二节 内容精讲及典型题型 2
一、函数及其性质 2
二、数列极限及其性质 11
三、函数极限及其性质 18
四、无穷小量及无穷小的阶 22
五、洛必达法则 27
六、泰勒公式 30
七、求极限的其他方法 32
八、连续和间断 34
九、闭区间上连续函数的性质 37
第三节 专题精讲及解题技巧 38
专题一 定积分定义和夹逼准则求极限的技巧 38
专题二 单调有界原理求极限的技巧 41
专题三 求极限的综合技巧 46
专题四 无穷小阶及其反问题 51
专题五 闭区间上连续函数性质 53
第二章 一元函数导数和微分 55
**节 考试要求及考点精讲 55
一、考试要求 55
二、考点精讲 56
第二节 内容精讲及典型题型 56
一、导数定义及左右导数 56
二、导数和微分的计算 61
三、中值定理 74
四、单调性和凹凸性 79
五、渐近线和曲率、曲率半径 (数学一、二) 86
第三节 专题精讲及解题技巧 88
专题一 导数定义与计算的技巧 88
专题二 单调性、极值、凹凸性、拐点的综合性题目 93
专题三 中值定理的解题技巧 96
专题四 不等式证明的技巧 (含积分不等式) 103
专题五 方程根的问题证明 103
第三章 一元函数积分学 107
**节 考试要求及考点精讲 107
一、考试要求 107
二、考点精讲 107
第二节 内容精讲及典型题型 108
一、原函数和不定积分 108
二、定积分定义、性质及应用 125
三、变限积分及其导数 128
四、定积分的计算 131
五、广义积分的敛散性 137
六、积分的几何应用 143
第三节 专题精讲及解题技巧 150
专题一 不定积分的技巧 150
专题二 定积分的技巧 153
专题三 变限积分的解题技巧 154
专题四 积分综合题目的技巧 157
专题五 积分不等式证明的技巧 159
专题六 极坐标， 参数方程的几何应用 161
第四章 多元函数的微分学 165
**节 考试要求及考点精讲 165
一、考试要求 165
二、考点精讲 166
第二节 内容精讲及典型题型 166
一、多元函数的基本理论 166
二、多元函数的偏导数 169
三、多元函数微分的基本理论与计算 173
四、多元函数的极值和*值 181
第三节 专题精讲及解题技巧 190
专题一 偏导数和全微分的定义 190
专题二 复合函数的偏导数和全微分的解题技巧 193
专题三 隐函数的偏导数和全微分的解题技巧 195
第五章 二元函数积分学 201
**节 考试要求及考点精讲 201
一、考试要求 201
二、考点精讲 201
第二节 内容精讲及典型题型 202
一、二重积分的概念和性质 202
二、二重积分的计算 206
三、二重积分的应用 (数学一、二) 217
第三节 专题精讲及解题技巧 219
专题一 二重积分的计算技巧 219
专题二 分块区域上的二重积分 224
专题三 抽象函数的二重积分 228
专题四 二重积分的证明题和不等式证明技巧 229
专题五 积分区域用参数表示的二重积分 232
第六章 微分方程 233
**节 考试要求及考点精讲 233
一、考试要求 233
二、考点精讲 233
第二节 内容精讲及典型题型 234
一、一阶线性微分方程 234
二、高阶微分方程 242
三、差分方程 (数学三) 253
第三节 专题精讲及解题技巧 255
专题一 变限积分对应的微分方程 255
专题二 偏微分方程转化为常微分方程 257
专题三 含参数的二阶线性非齐次微分方程 258
专题四 幂级数的和函数对应的微分方程 259
专题五 微分方程的综合题 260
专题六 微分方程的证明题 264
第七章 无穷级数 (数学一、二) 267
**节 考试要求及考点精讲 267
一、考试要求 267
二、考点精讲 267
第二节 内容精讲及典型题型 268
一、常数项级数 268
二、正项级数 270
三、交错级数 274
四、幂级数及其性质 279
五、函数的幂级数展开 282
六、傅里叶级数 287
第三节 专题精讲及解题技巧 291
专题一 利用微分方程求和函数 291
专题二 利用泰勒公式求和函数 293
专题三 常数项级数求和的技巧 294
专题四 幂级数证明的技巧 296
第八章 向量代数与空间解析几何 (数学一) 299
**节 考试要求及考点精讲 299
一、考试要求 299
二、考点精讲 299
第二节 内容精讲及典型题型 300
一、向量的相关概念 300
二、向量的运算 301
三、平面方程和直线方程 305
四、直线与平面之间的角度 307
五、点、线、面之间的距离 309
六、旋转曲面和二次曲面 310
七、空间曲线 314
八、多元微分学的几何应用 316
第三节 专题精讲及解题技巧 319
专题一 直线与平面之间的关系 319
专题二 空间直线生成的曲面 320
第九章 三重积分 (数学一) 322
**节 考试要求及考点精讲 322
一、考试要求 322
二、考点精讲 322
第二节 内容精讲及典型题型 322
一、三重积分的定义和性质 322
二、三重积分的计算 324
三、柱坐标和球坐标法 326
第三节 专题精讲及解题技巧 329
专题一 三重积分的综合计算 329
专题二 三重积分的物理应用 331
第十章 曲线积分与曲面积分 (数学一) 335
**节 考试要求及考点精讲 335
一、考试要求 335
二、考点精讲 335
第二节 内容精讲及典型题型 336
一、**类曲线积分 336
二、**类曲线积分的物理应用 339
三、第二类曲线积分 341
四、格林公式和积分与路径无关 344
五、**类曲面积分 346
六、第二类曲面积分 349
七、空间中第二类曲线积分 353
八、场论初步 356
第三节 专题精讲及解题技巧 359
专题一 格林公式解题技巧 359
专题二 积分与路径无关的综合题 361
专题三 高斯公式解题技巧 363
专题四 场论综合题 364
第十一章 几何应用专题 366
一、简单几何应用 366
二、微分方程在几何中的应用 375
三、级数在几何中的应用 380
第十二章 物理应用专题 (数学一、二) 383
一、微元法的应用 383
二、牛顿定律的应用 388
三、综合物理应用 392
第十三章 经济学应用专题 (数学三) 397
一、经济学函数、边际与弹性 397
二、函数极值的应用 401
三、差分、积分与复利的应用 409
附录一 常用数学公式 412
一、常用初等代数公式 412
二、常用基本三角公式 413
三、常用求面积和体积的公式 415
附录二 基本初等函数及其图形 417
附录三 几种常用的曲线 420
内容摘要
《高等数学辅导精讲(数学一、二、三通用)》按照考研数学大纲的要求, 以历年考研数学真题中的典型题目及分析详解为主线, 内容包含典型方法的归类总结、重要和常用技巧的运用、考生易错点的提示、重点题型的考研预测等. 相比其他考研数学辅导图书有以下特色：(1)紧扣大纲要求, 精选历年考研真题, 分模块分阶段地指导考生科学备考; (2)精心设计《高等数学辅导精讲(数学一、二、三通用)》模块和栏目, 辅助考生深入思考和总结测评; (3)配套视频讲解浓缩新东方名师十年考研数学面授讲课精华.
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精彩内容
**章函数与极限
**节考试要求及考点精讲
一、考试要求
二、考点精讲
函数是高等数学研究的对象，极限是研究函数的方法(核心方法)，连续是用极限方法研究函数得到的性质.准确理解函数，可以为理解后续章节难点打下基础(如极限函数，变限积分函数，和函数等本质含义).
函数的性质的考查，形式多为选择题，难度不大.结合函数极值，拐点，凹凸性等形式来考查.一元多元积分比较结合单调性来考查.近年来结合泰勒公式和变限积分来考，方法更综合，对计算能力要求更高.
极限是考研重点考查的内容，分为数列极限和函数极限.一般而言函数极限多为填空题，难度不大.近年考生对函数的极限各种形式已经极为熟悉，在掌握常见计算技巧和计算方法后，函数极限难度不大.在复习函数极限过程中，更要注意极限概念和应用的准确性，避免结果正确，解题步骤不严谨的情况出现，例如，局部取极限，四则运算，洛必达法则等运用的前提.
函数极限的计算题，可以结合变限积分的各种形式或者结合积分中值定理来考查，对考生而言，涉及积分变换的技巧，考生往往分不清变元和被积微元，导致解题难度陡增.数列极限一般就两种形式，定积分定义和单调有界原理.填空题考查定积分定义，考法常规，结合积分技巧很容易计算出来.计算题中的数列极限就复杂很多，可以结合夹逼准则和方程根问题，是难题之所在，**次复习过程中，大家还是应该把重点放在函数极限计算的熟练上.第二次复习过程中，可以把重点放在数列极限上.
函数的间断点，形式灵活，本质上就是考查函数极限.选择题结合极限函数和积分函数等形式综合考查，对计算能力要求较高.函数的连续性，结合方程根或中值定理来考查，这部分一直是考生的弱项，考生要在第二次复习过程中，注意归纳方法，分析思路，模仿步骤，解题严谨，慢慢积累做题的经验和养成良好的解题习惯.
第二节内容精讲及典型题型
一、函数及其性质
1.数集
全体实数的集合称为实数集，记为.
全体正实数的集合称为正实数集，记为.
全体有理数的集合称为有理数集，记为Q.
全体整数的集合称为整数集，记为.
全体正整数的集合称为正整数集，记为N+={1，2，3， }.
全体非负整数的集合称为自然数集，记为N={0，1，2，3， }.
2.区间
设a和b都是实数，且a<b，数集{x|a<x<b}称为开区间，记为(a，b)，即
(a，b)= {x|a<x<b}，
其中a和b分别称为开区间的左端点和右端点.类似可以定义
3.邻域
设，称集合{}为x0的邻域，记为U(x0;)；称集合{}为x0的去心邻域，记为，其中称为邻域半径.
4.映射
设f是一个从非空集合A到非空集合B上的对应法则，若对于A中的任意元素x∈A，都存在B中的元素y通过对应法则f与x对应，则称对应法则f为定义在A到B的映射，记为f:A→B或f:x→y.
(1)若对于集合A中的任意不同元素x1≠x2，有f(x1) ≠f(x2)，则称f是定义在A到B的单射;
(2)若对于集合B中的任一元素y，都存在集合A中的元素x，使得y=f(x)，则称f是定义在A到B的满射;
(3)若f既是单射又是满射，称f是定义在A到B的双射(一一映射).
5.函数的概念
设数集DR，则称映射f:D→R为定义在D上的函数，简记为
y=f(x)，x∈D，
其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df.
对每个x∈D，按着对应法则f，总有**的确定值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)，即y=f(x)，因变量y和自变量x之间的关系，称为函数关系.函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作Rf，即
Rf=f(D)={y|y=f(x)，x∈D}.
【名师点睛】函数的两要素：定义域和对应法则.只有定义域和对应法则都相同时，才是相同函数.
【例1】下列选项中，函数f(x)和g(x)是相同函数的是().
(A)f(x)=x0;g(x)=1.(B)f(x)=lgx2;g(x)=2lgx.
(C)f(x)=x;g(x)=.(D)f(x)=sinx;g(x)=.
【解析】
(A)f(x)=x0定义域为x≠0；g(x)=1的定义域为()，故两个函数不相同.
(B)f(x)=lgx2定义域为x≠0；g(x)=2lgx的定义域为x>0，故两个函数不相同.
(C)当x<0时，f(x)=x，g(x)=|x|，两个函数映射法则不同，故不是相同的函数.
(D)f(x)=sinx与g(x)=定义域相同，映射法则相同，故两个函数相同.故选(D).
6.初等函数
在初等数学中已经讲过下面几类函数：
幂函数：y=xu(u∈R是常数)；
指数函数：y=ax(a>0;a≠1)；
对数函数：y=logax(a>0且a≠1)；
三角函数：例如y=sinx;y=cosx;y=tanx;y=cotx等；
反三角函数：例如y=sinx;y=cosx;y=tanx;y=cotx等.
以上这五类函数统称为基本初等函数.其表达式及函数图形详见附录二.
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的，可以由一个式子表示的函数，称为初等函数.例如等都是初等函数.
【注】初等函数在其定义域上都是连续的.
图1.1
7.其他函数
【**值函数】
的定义域D=()，值域，称为**值函数(图1.1).
图1.2
【符号函数】
的定义域D=()，值域，称为符号函数(图1.2).
【取整函数】
y={x}
的定义域D=()，值域Rf=Z，称为取整函数(图1.3).其中[x]表示不超过x的**整数.
【狄利克雷(Dirichlet)函数】
图1.3
的定义域D=()，值域Rf={0，1}，称为狄利克雷函数.
【注】任何有理数r都是它的周期，狄利克雷函数没有*小的正周期.
【*值函数】
【名师点睛】*值函数之间有如下关系：
①
②
【隐函数】由F(x，y)=0确定的函数称为y=f(x)的隐函数.
【参数函数】称为由参数t确定的y=f(x)的参数方程.
【极限函数】
【变限积分函数】
函数还有其他形式：导函数，级数的和函数，极坐标方程，极限函数，幂指函数等，以后会陆续介绍.
【例1】已知f(x)=sinx；其定义域为.
【解析】由题得
解得，其定义域为，即.
【例2】已知3f(x)+f(2-x)=x2，求f(x).
【解析】令2-x=t，代入原等式得
即3f(2-x)+f(x)=(2-x)2，与原方程联立，
解得
【例3】函数，求f(x).
【解析】由题设得
令，则有，即.
【例4】求f(x).
【解析】由倍角公式得
令，则，即f(x)=2(1-x2).
8.函数的奇偶性
设函数f(x)的定义域D关于原点对称，
如果对于x∈D，则f(-x)=f(x)成立，称f(x)为偶函数，图像关于y轴对称.
如果对于x∈D，则f(-x)=-f(x)成立，称f(x)为奇函数，图像关于原点O对称.
关于函数的奇偶性，有以下结论：
(1)奇×奇=偶；奇×偶=奇；偶×偶=偶.
奇±奇=奇；奇±偶=?；偶±偶=偶.
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