神奇的圆：超越直线的数学探索（“数学桥”丛书）（新老版本封面随机发货）

在初等平面几何中，线基本上分为两类：直的线和圆的弧。直线型基本的图形是三角形①。也就是说，大多数由直线构成的几何图形常常可以被分解成三角形组件，以便研究它们的性质。在线性几何的世界中，三角形成为验证几何关系的关键要素。然而，圆作为平面几何的重要组成部分，与其他任何组成部分具有同样的重要性。此外，它还是一种可以画在球面上的“线”。这使得圆在几何学世界中也许真的比直线更加无所不在，因为直线在球面几何中是不存在的。正是带着这种想法，我们开始了一段旅程，去考察圆在几何学中的作用。
在数学史上，圆也许比任何其他形状都更吸引数学家。追溯圆的历史，方法之一是了解圆周率π的演化历程②。寻找π的精确（或者几乎精确的）值，这让几个世纪的数学家一直为之着迷。无论是从哲学的角度，还是从神学的角度，圆一直是人类文化的组成部分。我们将简要地讨论其中的一些问题，而在此之前，我们会先探
查圆所呈现的种种几何奇观。
在深入探究圆的许多令人振奋、让人惊叹的关系之前，先简要地回顾一下圆的基本关系，其中有许多是读者在高中几何课程中学过的。
有许多简单又巧妙有趣的几何问题，有助于理解圆所具有的几何性质。在更复杂的层次上——或者说在更重要的层次上——有许多关于圆的关系，由于其重要性而被命名为定理。在第3章中，我们会以一种轻松易懂的方式来呈现它们。甚至一些未命名的定理也会令人敬畏。
圆可以内切于一个三角形，或者可以与一个三角形的三条边分别相切，但不包含在该三角形的内部，这样的圆通常被称为切圆，在第5章中会详细讨论这些圆。切圆对一些平面几何问题提供了巧妙的解答，并且简单而有趣。
作出符合某些特定条件的圆，例如与其他一些给定圆或与一些给定直线相切，自古以来就是极具挑战性的问题之一。这个问题由几个部分组成，被称为“阿波罗尼乌斯问题”。在第6章中，呈现和解决这个问题的方式会让你感到真正意义上的完美，并且令人叹为观止。在古代曾经困扰数学家的各种难题总是很有趣，在这里我们以一种读者一看就懂的方式来解答它们，这样就可以简单地把它们看成是解一个谜或回答一个问题。
我们在高中时都学过用一把没有刻度的直尺和一副圆规来进行几何作图。其中有些作图过程非常简单，而另一些则更具挑战性。不过，人们在数百年前就已经知道，所有这样的作图不用直尺而仅用一副圆规也可以完成。这些作图方法被称为马斯凯罗尼作图，在第8章中将对其进行探究。有人可能会问：如何利用一副圆规作出一条直线呢？好吧，我们将证明，只要有一副圆规，你就可以根据需要在这条线上画出尽可能多的点，这就相当于作出了这条直线。并且，我们将揭示如何用圆代替直线。当然，这种做法更多的是具有理论价值而不是实践意义！

圆作为平面几何的一部分，与其他任何组成部分具有同样的重要性。此外，它还是*一种可以画在球面上的“线”。这使得圆在几何学世界中也许比直线更加无所不在，因为直线在球面几何中是不存在的。本书考察的就是圆在几何学中发挥作用的那些*常见方面。
全书共11章，涉及圆所呈现的种种几何奇观，包括圆的历史、圆的各种关系、圆填充问题、尺规作图问题、切圆探究、摆线等，以及艺术作品和建筑中的圆，还用一整章讲述了球面几何学。

圆作为平面几何的一部分，与其他任何组成部分具有同样的重要性。此外，它还是*一种可以画在球面上的“线”。这使得圆在几何学世界中也许比直线更加无所不在，因为直线在球面几何中是不存在的。本书考察的就是圆在几何学中发挥作用的那些*常见方面。
全书共11章，涉及圆所呈现的种种几何奇观，包括圆的历史、圆的各种关系、圆填充问题、尺规作图问题、切圆探究、摆线等，以及艺术作品和建筑中的圆，还用一整章讲述了球面几何学。

阿尔弗雷德·S·波萨门蒂博士现任纽约长岛大学国际学术事务首席联络官，曾任纽约城市大学梅西学院教育学院院长，数学教育荣誉教授，是1994年美国年度教育家。他在数学教育方面的名声远播欧洲，是60多本数学书籍的作者和合著者，也经常在报纸和杂志上发表与教育有关的话题。

第1章 初等平面几何中圆的各种关系 / 1 
第2章 圆在几何学中的特殊作用 / 14
第3章 关于圆的一些著名定理 / 47
第4章 圆填充问题 / 69
第5章 切圆探究 / 87
第6章 作圆：阿波罗尼乌斯问题 / 100
第7章 反演：圆对称 / 114
第8章 马斯凯罗尼作图：仅用圆规 / 130
第9章 艺术作品与建筑中的圆 / 144
第10章 滚动的圆：内摆线与外摆线（克里斯蒂安·施普赖策） / 155
第11章 球面几何学：球面上的圆 / 178
后记：关于圆的文化简介（埃尔温·劳舍尔） / 191
附录 / 205
参考文献 / 234

圆作为平面几何的一部分，与其他任何组成部分具有同样的重要性。此外，它还是*一种可以画在球面上的“线”。这使得圆在几何学世界中也许比直线更加无所不在，因为直线在球面几何中是不存在的。本书考察的就是圆在几何学中发挥作用的那些*常见方面。
全书共11章，涉及圆所呈现的种种几何奇观，包括圆的历史、圆的各种关系、圆填充问题、尺规作图问题、切圆探究、摆线等，以及艺术作品和建筑中的圆，还用一整章讲述了球面几何学。

阿尔弗雷德·S·波萨门蒂博士现任纽约长岛大学国际学术事务首席联络官，曾任纽约城市大学梅西学院教育学院院长，数学教育荣誉教授，是1994年美国年度教育家。他在数学教育方面的名声远播欧洲，是60多本数学书籍的作者和合著者，也经常在报纸和杂志上发表与教育有关的话题。

每个认为数学困难和几何无聊的人都应该读一读这本书。波萨门蒂和格列施拉格尔以一种外行人容易理解的方式探索了圆的世界，以及圆在日常生活和几何学中的许多应用。
——剑桥大学卡文迪什学院前院长波琳·佩里爵士

我完全被那些涉及圆的奇妙关系以及它们在文化领域中的表现迷住了，我们在念书的时候就应该接触这些！
——纽约市教育委员会前课程和教学主任夏洛特·弗兰克博士

关于圆的作用及圆与直线和其他几何形式的关系，这本书提供了非常深刻的见解，肯定会帮助你加强对所有几何事物的理解。
——堪培拉大学名誉教授彼得·泰勒