人工智能数学基础

　　本书以零基础讲解为宗旨，面向学习数据科学与人工智能的读者，通俗地讲解每一个知识点，旨在帮助读者快速打下数学基础。 
　　全书分为 4 篇，共 17 章。其中第 1 篇为数学知识基础篇，主要讲述了高等数学基础、微积分、泰勒公式与拉格朗日乘子法；第 2 篇为数学知识核心篇，主要讲述了线性代数基础、特征值与矩阵分解、概率论基础、随机变量与概率估计；第 3 篇为数学知识提高篇，主要讲述了数据科学的几种分布、核函数变换、熵与激活函数；第 4 篇为数学知识应用篇，主要讲述了回归分析、假设检验、相关分析、方差分析、聚类分析、贝叶斯分析等内容。 
　　本书适合准备从事数据科学与人工智能相关行业的读者。

　　唐宇迪，计算机专业博士，网易云课堂人工智能认证行家，51CTO学院讲师，CSDN博客专家。
　　李琳，河南工业大学副教授，在软件工程、机器学习、人工智能和模式识别等领域有深入研究。
　　侯惠芳，教授，解放军信息工程大学通信与信息系统专业博士，擅长机器学习、大数据检索、人工智能和模式识别等。
　　王社伟，河南工业大学副教授，西北工业大学航空宇航制造专业博士，挪威科技大学访问学者，对数字化制造、企业管理系统、机器学习、数据挖掘等有丰富的实战经验。

目录
第1 章 人工智能与数学基础..........１ 
第 1 篇 
基础篇................................................................. 9 
第 2 章 高等数学基础 ................. １0 
第 3 章 微积分..............................39 
第 4 章 泰勒公式与拉格朗日 
乘子法..............................53 
第 2 篇 
核心篇............................................................... 69 
第 5 章 将研究对象形式化—线性 
代数基础 ..........................70 
第 6 章 从数据中提取重要信息— 
特征值与矩阵分解..........127 
第 7 章 描述统计规律 1—概率论 
基础................................155 
第 8 章 描述统计规律 2—随机变量 
与概率估计........................185 
提高篇............................................................. 225 
第 9 章 随机变量的几种分布...... 226 
第 10 章 数据的空间变换—核函数 
变换............................. 287 
第 11 章 熵与激活函数 .............. 323 
第 12 章 假设检验 ..................... 344 
第 13 章 相关分析...................... 375 
第 14 章 回归分析......................409 
第 15 章 方差分析......................449 
第 16 章 聚类分析......................469 
第 17 章 贝叶斯分析....................513

　　本书以零基础讲解为宗旨，面向学习数据科学与人工智能的读者，通俗地讲解每一个知识点，旨在帮助读者快速打下数学基础。 
　　全书分为 4 篇，共 17 章。其中第 1 篇为数学知识基础篇，主要讲述了高等数学基础、微积分、泰勒公式与拉格朗日乘子法；第 2 篇为数学知识核心篇，主要讲述了线性代数基础、特征值与矩阵分解、概率论基础、随机变量与概率估计；第 3 篇为数学知识提高篇，主要讲述了数据科学的几种分布、核函数变换、熵与激活函数；第 4 篇为数学知识应用篇，主要讲述了回归分析、假设检验、相关分析、方差分析、聚类分析、贝叶斯分析等内容。 
　　本书适合准备从事数据科学与人工智能相关行业的读者。

　　唐宇迪，计算机专业博士，网易云课堂人工智能认证行家，51CTO学院讲师，CSDN博客专家。
　　李琳，河南工业大学副教授，在软件工程、机器学习、人工智能和模式识别等领域有深入研究。
　　侯惠芳，教授，解放军信息工程大学通信与信息系统专业博士，擅长机器学习、大数据检索、人工智能和模式识别等。
　　王社伟，河南工业大学副教授，西北工业大学航空宇航制造专业博士，挪威科技大学访问学者，对数字化制造、企业管理系统、机器学习、数据挖掘等有丰富的实战经验。

1.1 什么是人工智能
人工智能（Artifificial Intelligence, AI）作为一门前沿交叉学科，是研究和开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学。人类的智能随着人类的活动无处不在，如下棋、竞技解题游戏、规划路线和驾驶车辆，都需要人工智能，如果机器能够执行这些任务，就可以认为机器具有了某种性质的人工智能。由此我们可以看出，人工智能是个很宽泛的话题。从手机上的计算器到无人驾驶汽车，再到未来可能改变世界的重大变革，人工智能可以描述很多东西。 
日常生活中我们每天都能接触到人工智能。互联网中各种各样的人工智能新闻随处可见，人工智能已经从一个深藏于专业实验室的科研产品，步入我们的社会生活中。人工智能带来的变化已随处可见。当你打开新闻网页时，展示给你的那些文章是由人工智能为你定制的；当你上网购物时，打开首页看到的是你有可能感兴趣的、有可能购买的商品，这是推荐算法根据你近的搜索记录自动推荐的；当你打开邮箱时，系统已经为你过滤了你不关心的广告和垃圾邮件。 2017 年，AlphaGo 以无可争辩的能力战胜了人类围棋高手，名噪一时。人工智能在无人驾驶等领域也大显身手，显示出越来越强的能力。图像识别、语音识别、指纹识别等技术给人们的生活带来了极大的便利，人工智能改变了我们的生活方式。 
1.2 人工智能的发展 
人工智能的发展经历了起起伏伏的曲折过程，让我们来一起回顾人工智能的发展历程。 
1. 人工智能的诞生（20 世纪 40 ～ 50 年代） 
早在 20 世纪四五十年代，数学家和计算机工程师已经开始探索用机器模拟人的智能。1950 年，被称为“计算机之父”的艾伦 • 图灵（Alan Turing）提出了一个举世瞩目的想法——图灵测试。按照图灵的设想，如果一台机器能够与人类开展对话而不被辨别出机器身份，那么这台机器就具有智能，图灵还大胆预言了真正具备智能机器的可行性。1955 年，马文 • 闵斯基（Marvin Minsky）、约翰 • 麦卡锡（John McCarthy）、克劳德 • 香农（Claude Shannon）等人在美国的达特茅斯学院组织了一次讨论会，次正式提出了“人工智能”一词，宣告人工智能作为一门学科的诞生，并且开始从学术角度对人工智能展开专业研究，确定人工智能的主要研究内容包括机器人、语言识别、图像识别、自然语言处理和专家系统等。该会议被人们看作人工智能正式诞生的标志，早的一批人工智能学者和技术开始涌现。
2. 人工智能的次浪潮（20 世纪 50 ～ 70 年代） 
人工智能的诞生让人们次看到了智慧通过机器实现的可能，人工智能迎来了属于它的 
次浪潮。在长达十余年的时间里，计算机被广泛应用于数学和自然语言领域，用来解决代数、几何和英语问题。这让很多研究学者看到了机器向人工智能发展的可能。 
虽然这个阶段人工智能的成果层出不穷，但由于人们对人工智能研究的估计过于乐观，以及科研人员在人工智能的研究中对项目难度预估不足，导致很多人工智能项目一直无法实现，人工智能 
进入了个痛苦、艰难的阶段。
当时人工智能面临的技术瓶颈主要有三个方面：一是计算机性能不足，导致很多程序无法在人 
工智能领域得到应用；二是问题的复杂性，早期人工智能程序主要是解决对象少、复杂性低的特定的问题，一旦问题上升维度，程序立马就不堪重负；三是数据量严重缺乏，在当时没有足够大的数据库来支撑程序进行机器学习，这很容易导致机器无法读取足够的数据进行智能化。随着公众热情的消退和投资的大幅削减，人工智能在 70 年代中期进入了个冬天。 
3. 人工智能的第二次浪潮（20 世纪 80 年代） 
1980 年，卡内基 • 梅隆大学为数字设备公司设计了一套名为 XCON 的“专家系统”，DEC 公 
司销售 VAX 计算机时，XCON 可以基于规则根据顾客需求自动配置零部件。它采用人工智能程序，可以简单地理解为“知识库 推理机”的组合，是一套具有完整专业知识和经验的计算机智能专家系统。这套系统在 1986 年之前每年能为公司节省超过四千美元经费。 
专家系统的成功也逐步改变了人工智能发展的方向，科学家们开始专注于针对具体领域实际问 
题的专家系统，这和当初建立通用的智能系统的初衷并不完全一致。与此同时，人工神经网络的研究也取得了重要的进展，1986 年，大卫 • 鲁梅尔哈特（David Rumelhart）、杰弗里 • 辛顿（Geoffffrey Hinton）和罗纳德 • 威廉姆斯（Ronald Williams）联合提出的“反向传播算法”（BackPropagation），可以在神经网络的隐藏层中学习对输入数据的有效表达，反向传播算法被广泛用于神经网络的训练。 
但到了 80 年代后期，产业界对专家系统的巨大投入和过高期望开始显现出负面效果，人们发 
现专家系统的开发与维护成本昂贵，而商业价值有限。仅仅维持了 7 年，这个曾经轰动一时的人工智能系统就宣告结束历史进程。从此，专家系统风光不再，人工智能的发展再度步入冬天。 
4. 人工智能的第三次浪潮（2011 年至今） 
20 世纪 90 年代中期开始，随着人工智能技术尤其是神经网络技术的逐步发展，人们对人工智 
能不再有不切实际的期待，人工智能技术开始进入平稳发展时期。2006 年，辛顿在神经网络的深度学习领域取得突破，让人类又一次看到机器赶超人类的希望，这也是标志性的技术进步。 
进入 21 世纪后，互联网的蓬勃发展带来了全球范围内电子数据的爆炸性增长，人类迈入了大 
数据时代，与此同时计算机芯片的计算能力持续高速增长，当前一块图像处理器的计算能力已经突破了每秒 10 万亿次的浮点运算，超过了 2001 年全球快的超级计算机，在数据和计算能力指数式增长的支持下，人工智能算法取得了重大突破。 
以多层神经网络为基础的深度学习被推广到多个应用领域，特别是语音识别、图像分析、视频 
理解等诸多领域取得了成功，引爆了一场新的科技革命，谷歌、微软、百度等互联网巨头，还有众多的初创科技公司，纷纷加入人工智能产品的战场，掀起了新一轮的智能化狂潮。 
随着新技术的日趋成熟和大众的广泛接受，世界各国的政府和商业机构都纷纷把人工智能列为 
未来发展战略的重要部分，由此，人工智能的发展迎来了第三次热潮。目前人工智能领域引发了全社会的关注和重视，新的科技创新在不断涌现。
1.3 人工智能的应用 
人工智能可以分为弱人工智能和强人工智能两大类。强人工智能是指具有人类的心智和意识、 
具有自主的选择行为，且拥有超越人类智慧水平的人工智能。强人工智能目前离我们还很遥远，是人工智能领域的长远目标。 
弱人工智能是指擅长某个方面的人工智能，能够帮助人类从某些脑力劳动中解放出来。比如能 
战胜象棋世界冠军的人工智能、手机中的骚扰电话自动拦截、邮箱的自动过滤，都属于弱人工智能。 
目前对于人工智能的研究和开发主要集中在弱人工智能领域，弱人工智能已经成为我们日常生活必不可少的一部分。下面列出一些常见的弱人工智能的应用。 
（1）图像识别。图像识别是指计算机从图像中识别出物体、场景和活动。图像识别有着广泛的应用，包括医疗领域的成像分析、人脸识别、公共安全、安防监控、无人驾驶等。 
（2）语音识别。语音识别是把语音转化为文字，并对其进行识别、认知和处理。语音识别的主要应用包括电话客服、自动翻译、医疗领域听写、语音书写、计算机系统声控等。 
（3）虚拟个人助理。虚拟个人助理是指智能手机上的语音助理、语音输入、家庭管家和陪护机器人等。如微软小冰、百度度秘、科大讯飞、Amazon Echo、Google Home 等。 
（4）自然语言处理。自然语言处理帮助实现人机之间自然语言的通信，在机器翻译、语音识别中都有相应的应用。 
（5）智能机器人。智能机器人目前在生活中随处可见，如扫地机器人、陪伴机器人……这些机器人不管是跟人语音聊天，还是自主定位导航行走、安防监控等，都离不开人工智能技术的支持。 
（6）电商网站的产品推荐和社交网站的好友推荐。如淘宝、等商城，会根据用户浏览过的商品和页面、搜索过的关键字，推送一些相关的产品或网站内容，以及媒体平台根据日常浏览记 
录推送用户喜欢看的信息等。 除此之外，军事、制造、金融、医疗等很多领域都广泛应用了各种各样的人工智能技术。

　　 数学思维的体操，也是学习人工智能的基石。在人工智能算法的学习过程中，很多初学者遭遇的挫折多半是来自看不懂算法的数学推导过程，进而无法理解算法原理，在应用中只能调整参数或换工具包，却很难优化算法。要理解一个算法的内在逻辑，没有必要的数学知识是不行的，这一点是人工智能编程和以往传统程序编程的不同之处。该书立足于帮助数据科学与人工智能相关行业的读者快速掌握相关的基本数学知识，为进一步学习打下基础，是一本值得推荐的图书。
　　——北京大学教授、博士生导师，国家重点研发计划“智能机器人”总体专家组成员，中国人工智能学会副理事长 刘宏
　　数学是一切自然科学的基础。以机器学习和深度学习为代表的人工智能的核心理论基础就是数学。《人工智能数学基础》这本书涵盖了高等数学、线性代数、概率论以及数理统计等相关学习人工智能必要的数学知识，对于广大AI学习者和研究者掌握必要数学理论和查漏补缺具有重要意义。
　　——贝叶斯统计方向硕士，深度学习算法工程师，微信公众号“机器学习实验室”主编，《深度学习笔记》作者 鲁伟
　　人工智能 Python是当今互联网非常火热的“领域 工具”组合，但千万不要做“工具人”，3行代码的人脸识别是没有用的，打好数学基础，年入百万才不是梦！
　　——某数据中台创业公司担任Solution Architect「红色警戒：复兴」联合创始人，公众号『Python专栏』主编 杨庆麟
　　数学是人工智能之基石。该书系统性介绍了人工智能相关的必要数学基础知识，同时结合了代码实战，值得一读。
　　——某AI公司联合创始人，公众号《磐创AI》主编 史周安
　　对于人工智能的从业者而言，编程能力决定其下限，数学基本功则决定其上限。唐宇迪博士和李林教授等人编写这本书详细介绍了人工智能所涉及的高等数学、线性代数、概率论与数理统计相关知识，同时也剖析了机器学习的经典算法。不仅如此，该书还给出了大量Python实战代码，这是一本理论与实战兼备的人工智能入门书籍。
　　——中国民航大学硕士，CSDN博客专家，《机器学习入门：基于数学原理的Python实战》作者 戴璞微
　　 数学是人工智能的基础，掌握和运用数学知识将是开启人工智能算法黑箱的钥匙。本书温故了我们似曾相识又很陌生的数学知识，通过Python代码和丰富的案例建立起数学与人工智能的桥梁。在全球人工智能浪潮中，它恰逢其时的出现，对各位正在学习人工智能技术的广大学生和打算转型从事人工智能算法开发的广大工程师来说是一本不可多得的好书，也使得只会调用工具包，到看懂算法背后的数学推导，再到有能力结合实际问题做相应的算法优化成为可能。
　　——上海交通大学计算机博士，中文知识图谱zhishi.me创始人，《知识图谱：方法、实践与应用》作者 王昊奋