小学数学典型内容教学设计与评析

弗赖登塔尔曾经这样描述数学的表达形式：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子公开发表出来，一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果就把求解过程丢在一边，使得火热的发明变成冰冷的美丽。教师进行教学时又何尝不是这样：艰辛思考、愁眉不展、豁然开朗的教学准备过程要比后上出一堂“完美的课”更为重要。
基于数学本质吃透教材、基于证据调研读懂学生、基于经验设计出有效学习活动是教师的三项基本功，教师的专业成长就蕴含在这三项基本功的培养与修炼中，本书旨在呈现这个“培养与修炼”的过程。
一、 本书“典型内容”的选择依据
小学数学有结构清晰的知识内容，其内容边界较为明确，这些基本内容中都渗透了重要的、基本的数学思想方法，可以说小学阶段任何内容都具有教育价值。根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》的要求，本书精选小学阶段典型数学内容作为案例，结合教材深入分析这些典型数学内容的数学本质及其承载的教育价值，帮助教师首先弄清楚并掌握“教什么”，然后调研学生在学习“应该学的内容”时已有的知识基础、经验储备以及学习的难点，后，学习优秀教师教学时所使用的“好活动”，进而创造性地设计出能够激发学生学习需求、愿望与兴趣，并能够达成教学目标的有效的学习活动。
何谓“典型内容”？典型内容首先是基础的内容，数（包括倍的认识）的认识，四则运算，图形的认识，认识统计表、统计图和统计量等，是小学数学基本的内容。本书围绕这四个方面精心选择了13节新授课和1节复习课：二年级的万以内数的认识、三年级的分数初步认识、四年级的小数的意义以及二年级的倍的认识；一年级的两位数加一位数的进位加法、二年级的乘法的初步认识、四年级的除数是两位数的除法以及五年级的异分母分数加减法；三年级的图形的周长与图形的面积、六年级的圆的认识以及五、六年级的平面图形的复习课；三年级复式统计表以及四年级的平均数的认识。学科实践活动课程是近几年所倡导的课程内容，旨在综合运用所学习的数学知识解决实际问题，在问题解决过程中初步感受和体验数学思想方法的意义与作用，因此本书在数学综合实践领域选择了两个内容：一片树叶有多大和经典的鸡兔同笼问题。除了基础性，选择这些典型内容还基于以下考虑。
（1） 具有代表性。本书所选择的教学内容在该知识所属领域中具有代表性，能揭示该内容领域的数学本质及所承载的教育价值。例如，“万以内数的认识”从属于认识自然数的单元，理解自然数的多重含义（表示数量多少、表示顺序、与数轴上的点能够建立一一对应关系等），理解一个数是由其计数单位及其个数累加共同组成的，感悟自然数背后的两种重要思想：十进制、位值制，以及学会估数等数感的培养等，这些学习目标在“万以内数的认识”中都有明确的体现。作为一线教师，掌握了“万以内数的认识”的教学设计及实施，自然数领域的其他内容教学也就容易掌握，其思考过程与教学策略基本类同于“万以内数的认识”。
（2） 教师教学该内容有一定难度且学生学习时易混淆。小学数学中有些内容在学习时容易混淆，甚至是长期混淆，本书就选择了这样的内容作为典型内容进行教学分析，试图为一线教师提供学生学习时易混淆的证据、教师教学时可借鉴的教学活动材料。例如，平面图形的周长与面积，“周长”与“面积”似乎是一对相依相生、互为仇敌的“冤家”，即使到了六年级，仍有很多学生解决问题时混淆这两个基本概念。其原因很复杂，有时是学生问题解决时“不仔细审题”所致，但更多的是学生对这两个概念的理解不深入、不牢固，忙于记忆“公式”并简单套用公式解决问题，而教师教学“周长”时所采用的不恰当学习活动导致学生建立的不是“周长”概念，而是强化了“面积”概念。
（3） 学习（教学）该内容的活动具有示范性。小学数学中有效的学习（教学）活动具备以下几个特点：活动能够激发学生的好奇心、探究的需求与愿望，能够引发学生持续地思考；适合“做中学”，便于学生在直观操作（动手拼摆演示、画图、调查等）中学习与探究；适宜于学生小组合作完成，在合作中分工明确又能独立思考，等等。例如，在学习“倍的认识”时，学生通过“圈画”明确哪个量是“标准”，以“标准”作为一份，再圈画另一个量，看看有这样的几份，那么就说另一个量是这个量的几倍，不同学生圈画的方式或习惯可能不同，但终都要明确“谁是标准”“另一个量里有几个‘标准’”，在不同的操作、表示中寻找相同的“结构”。
二、 本书的特点及特色
本书旨在帮助教师尤其新任教师学会教学：学会分析教材、学会调研学生、学会设计有效学习活动、学会组织管理与调控课堂教学活动的有效开展。本书以“典型内容”为例，阐述教学的上述四个方面，尤其前三项，一方面掌握这些典型内容的教学，另一方面以这些内容为例，让教师掌握备课的基本思路与方法，在教学准备过程中学会提出问题、查阅相关材料分析问题、借鉴优秀教学方法和经验解决问题。为实现前述目标，本书在写作过程中特别体现以下特点及特色。
1问题导向
优质、有效的教学准备始于教师的真思考，即对即将进行的教学提出“真问题”。很多一线教师还不会也不能提出教学过程中的真问题，因此本书的每一节基本都从教学中常见的问题或现象入手，以案例的形式具体描述这些问题和现象，不是笼统宽泛地提出问题。
这些问题包括三个层面的内容：一是学生学习该内容时的困惑与难点；二是教师对教学内容的数学本质把握不准，不清楚特定内容的数学本质到底是什么；三是现行教材采用“螺旋上升”方式编排，导致很多教师不能清晰地把握同一学习内容在不同年级的学习目标，造成“教不到位”或者“教的越位”。学会提出问题并列举出经典教学案例、学生的典型行为表现是教师专业成长的能力。
2自主思考与及时训练
在提出问题或教学常见现象后，强调学习者的“自主思考”，即针对所陈述问题先阐述自己的看法、做法与观点，再阅读教材中所提供的其他人的方式方法以及相关解释与理论，将自己的理解、做法与他人的做对比，寻找两者之间的共性与不同，如此才能增强理解力、将相关理论内化于心。之后，再通过“练一练”活动，巩固所获得的认识、强化所获得的技能，真正将教学的相关知识、技能转化为教学能力。
“自主思考”需要学习者敢于提出自己的见解与主张、乐于分享自己教学实践中的方式方法，真诚地敞开自己的“前见”或“成见”。这取决于学习者的学习态度与教学自信，往往越有自信、越成熟的教师越敢于敞开自己的“前见”，越是自主思考型教师，其学习收获与专业成长速度越快。
3提供丰富的阅读材料
本书提供了丰富的阅读材料，以便于一线教师在自主思考的基础上，吸取其他优秀教师的教学方法与策略，深化理解相关的教学理论。
类材料是一线优秀教师做的学生实证调研、教学设计与执教的课堂教学实录（教学视频），这些材料不但为我们提供了丰富的学与教的案例，更重要的是为我们提供了学生调研、教学设计和课堂教学管理的基本思路与方法。第二类材料是教师培训者或理论研究者对一线教师的前述做法所做的深度评析，通过评析，试图让一线教师不但清楚“怎么做”，更明白“为什么这样做”，以期望探寻优秀教师教学实践方式方法背后的基本原理与规律。第三类材料是教育理论工作者所著述的论文和著作，这些材料虽然距离教学实践有些远，不能直接提供具体的教学方式方法，但其所论述的是数学学科本质与教育教学的基本规律，既为一线教学提供思路与策略，也为一线教师提供一定的理论支撑，使得教学实践少走弯路，指引正确的方向。
三、 使用本书的建议
本书每章分学习目标、学习准备、学习任务、练一练四个板块的内容，其中“学习任务”是主体内容，在编写时遵循“问题提出”“自主思考”“分析与点评”的写作思路，强调学习者的深度参与、内化思考与实践训练，以期望在此过程中真正提高学习者的教学能力与水平。本书作为教师的培训教材，提出以下使用建议。
1重视“学习准备”的内容，做好充分的“学习准备”
成年学习者的学习“自我准备度”是影响学习效果的重要因素，本书每节的“学习准备”既提出了关于本节内容的“疑问”，也指明了本节内容不同版本教材的处理方式不同，需要学习者提前了解不同版本教材内容，同时又提供了曾执教本节内容的优秀教师的教学设计或教学视频。认真思考“学习准备”栏目所提出的问题、阅读观看所提供的文本资源或教学视频资源是有效学习的前提和保障，希望学习者和教材使用者尤为重视“学习准备”。
2适时组织学员进行小组合作学习
每位教师对教学都有自己的理解，并有一定的教学经验和教学困惑，这些是重要的培训资源。本书又提供了其他视角的具体教学方法、策略与理论，教师个人资源与教材所提供的资源共同构成培训的多样化资源。因此，培训过程中宜组织小组讨论与合作学习，为学生自主思考、小组讨论提供空间、时间与讨论的话题，培训组织者应该在学员讨论交流的基础上进一步提炼概括相关的观点、具体做法和策略。
3“练一练”部分作为“作业”，巩固强化学习效果
巩固、强化是想法（念头）、技能内化为能力的重要途径，同时受培训教学课时数的制约，很多内容在培训现场无法得到及时训练，因此，布置学后作业也是培训的重要环节。本书中的“练一练”板块围绕相关内容，提出了需要进一步查阅相关资料、在教学实践中要具体落实的问题与活动，希望教师培训者重视“练一练”板块内容，做出“标准答案”，划分学员作业的层次和水平，作为考核评价学员学习效果的指标，真正将“自主思考”、完成“学习任务”“练一练”各环节有机整合为一体，实现培训目标，提升培训效果。
教师培训的本质即是让教师思想、观念与行为发生改变并学会创造的一种活动，参与培训的教师不是学习、接受培训者事先设计好的主旨与内容，而是借助培训课程与活动，改变、整合自己已有的“经验”，创造出新的方式、方法。本书是实现这一目标的有益尝试，需要在培训实践中不断修正、完善。

编者
2018年10月

把握数学内容的本质与长远育人价值、基于证据调研学生学习的难点与需求、指向目标设计有效学习任务（活动）是教师的三项基本功。本书即以这三项基本功为靶向，提升教师（尤其职初新任教师）的教学能力，助力教师学会教学、思考与育人。 本书以小学数学教师日常教学中的“问题”为出发点，以小学数学典型内容为载体分析优秀教师的教学案例，提炼出教学设计、课堂教学组织与调控的有效方法、策略与基本原理。读者可以直接使用本书提供的学习活动、情境与教学方法等，也可以在读懂、弄通原理基础上创造性地提出新的教学手段与措施。

刘加霞 北京教育学院初等教育学院院长，教授，教育心理学博士。近几年主要从事北京市小学数学教师培训工作，主要研究领域为数学教育和教师教育。她强调将“工作”与个人的“兴趣”整合为一体，并以“研究”的眼光来对待培训工作。她提出并实践着“学习共同体”为培训平台，教师专业素养的两个基本要素——“把握学科本质”与“研究学生”——为培训核心思想，不仅使各层级教师培训取得了良好效果，在此过程中也收获了丰富的研究成果，在《华东师大学报》、《中小学管理》、《人民教育》、《小学教学（数学版）》等报刊杂志上发表论文百余篇。

章数与倍比关系的学与教
节万以内数的认识：整体建构数的概念
第二节分数的初步认识：直观辨认与表达
第三节在十进位值制记数系统中把握小数意义
第四节倍，从加法结构到乘法结构的转折

第二章四则运算的学与教 
节简单中的不简单：百以内的加法
第二节借助多种表征方式突破难点：除数是两位数的笔算除法
第三节异分母分数加减法：用好直观模型理解算理
第四节乘法，作为一种模型

第三章图形及其度量的学与教
节学习周长，让学生头脑中建立清晰的表象
第二节图形的面积，就是面积单位的个数
第三节圆，一中同长也
第四节让复习更有生长力——平面图形的复习课

第四章统计表与统计量的学与教
节让学生经历复式统计表的形成过程
第二节从统计学角度理解平均数

第五章数学综合与实践活动的学与教
节多元育人价值：一片树叶的面积有多大
第二节鸡兔同笼，一个重要的数学模型

后记

把握数学内容的本质与长远育人价值、基于证据调研学生学习的难点与需求、指向目标设计有效学习任务（活动）是教师的三项基本功。本书即以这三项基本功为靶向，提升教师（尤其职初新任教师）的教学能力，助力教师学会教学、思考与育人。 本书以小学数学教师日常教学中的“问题”为出发点，以小学数学典型内容为载体分析优秀教师的教学案例，提炼出教学设计、课堂教学组织与调控的有效方法、策略与基本原理。读者可以直接使用本书提供的学习活动、情境与教学方法等，也可以在读懂、弄通原理基础上创造性地提出新的教学手段与措施。

刘加霞 北京教育学院初等教育学院院长，教授，教育心理学博士。近几年主要从事北京市小学数学教师培训工作，主要研究领域为数学教育和教师教育。她强调将“工作”与个人的“兴趣”整合为一体，并以“研究”的眼光来对待培训工作。她提出并实践着“学习共同体”为培训平台，教师专业素养的两个基本要素——“把握学科本质”与“研究学生”——为培训核心思想，不仅使各层级教师培训取得了良好效果，在此过程中也收获了丰富的研究成果，在《华东师大学报》、《中小学管理》、《人民教育》、《小学教学（数学版）》等报刊杂志上发表论文百余篇。

章数与倍比关系的学与教

学习目标

1理解数、倍的内涵、形成过程以及“数”所蕴含的十进制、位值制思想。
2了解数及倍比关系在数学教育中所承载的价值，明确其在小学阶段的教育价值。了解数感的内涵以及教学中的培养策略。
3在读懂所使用教材以及了解学生学习基础、难点的基础上，设计能够激发学生探究愿望、兴趣并能深刻理解数学实质的学习活动。
4初步掌握分析教材、调研学生、设计有效数学学习活动的基本方法。
节万以内数的认识：整体建构数的概念

学习准备

1（不同版本）教材上关于“万以内数的认识”的学习都设计了哪些情境？哪些学习活动？ 
2数概念的内涵与实质是什么？“数的认识”教学的核心点是什么？
3认识万以内数和认识百、千以内数的教学有何不同？教学起点和教学目标是什么？
4阅读本节提供的关于“万以内数的认识”的文章。

自然数的概念学习在小学可分四个阶段：20以内数的认识、100以内数的认识、万以内数的认识、大数的认识。学生在一年级的学习中，已经认识了百以内的数，二年级分两个部分继续认数学习：认识千以内的数、认识万以内的数。学生在学习20以内、百以内和千以内数的时候，已经积累了比较丰富的经验。在教学“万以内数的认识”时，仍应依靠这些经验，再一次引领学生经历对生活中大数量的抽象过程，借助直观工具，通过数数理解数的组成，在构建“万”这一计数单位的过程中，进一步深化对计数单位、数位等概念的理解，形成对位值的深刻感悟。
在数的概念教学中，重要的两个核心点是进位制与位值制。人类在计数更大数目时，产生了系统化的记数方法。人类历史上形成进位制方法有：二进制（计算机时代使用）、五进制、十进制、二十进制、六十进制。其中使用多、世界各国通用的是十进制，即“满十进一”的十进位记数方法。在此基础上，更关键的一步是“位置值制”（positional value，简称“位值制”），即相同的记数符号（0~9的印度阿拉伯数字）由于所处的位置不同而表示大小不同的数目。例如：1111，不同位置上的1代表不同的数目。有了位值制，就可以用有限的几个数字表示出无限多的自然数。小学数学的自然数概念的教学中，理解“位值”是很抽象的。在认识万以内的数，甚至对更大的数的认识，更需要强调理解“十进制”“位值制”思想，才有利于整体上认识把握数概念。从教学策略上讲，小学生理解抽象的内容有效的学习方式就是直观化、操作化。因此，各类教材均会借助形象化的直观教具或模型理解数，如数位筒、计数器、算盘、第纳斯木块、小棒、点子图、数位顺序表等，实现由直观走向抽象。

自主思考：
1教材中“数的认识”教学内容通过哪些材料展开教学？
2试分析不同阶段的“数的认识”在教学上的异同。

自然数的记数法是十进位值制。教材中分多个年级来学习自然数。首先教师要了解每个年级的具体要求，每一部分都是逐步引导学生进入理解十进位值制的意义，学生可以借助实物（如手）、直观模型（如小棒、方块、计数器、数轴）等来加深理解，特别是教学中要鼓励学生操作“直观模型”来加以体会，遵循逐一计数—按群计数—初步体会位值和计数单位的十进关系—类比进行“数级”扩充的学习路线张丹小学数学教学策略\[M\]北京：北京师范大学出版社，2014，深入体会位值和计数单位的十进关系。教师在教学中应该观察学生真正的学习路线是否与教材一致，在此过程是否存在困难。各阶段数概念借助直观模型的学习分析如下。
对于10及10以内数的学习，学生是逐一计数，体现“一一对应”的思想。学生一个一个地数计数器上的珠子，一根一根地数小棒，在“数直线”时（小学阶段，老师们以“数直线”替代严格的数轴）一格一格地数，一个一个地数手指头，同时学习10及10以内数的阿拉伯数字表示方法。
20及20以内数的认识，学生将正式由逐一计数发展到按群计数，学习“1个10相当于10个1”，教师鼓励学生操作小棒，把十根小棒捆在一起当作“1个10”，来理解15根小棒是10根一捆和5根小棒，并学习到数的构成“由1个十和5个一组成”。小棒便于操作成为常用的主观模型。进一步，将1捆小棒对应于计数器上十位上的1个珠子，使学生初步体会位值。
100及100以内数的认识，学生除了要进一步扩充对数位的学习，学习“10个十是100”，还将进一步体会到“同一个数字在不同的数位上表示的意义不同”，例如，“11”这个数中两个1表示的意义是否相同成为学生的讨论问题。小棒和计数器仍然是帮助学生体会十进位值制的直观模型。
万及万以内数的认识，学生进一步学习新的数位——千和万，并且体会到这些计数单位的十进关系。教材中采取“第纳斯木块”作为直观模型，同时，学习数位顺序表，将计数单位系统地整理起来。在“千以内数的认识与表达”教学中，教材中先从实景图到数图，帮助学生建立千以内数的直观认识，然后结合千以内数的读写、计数器（算盘）上表示千以内的数、千以内数的数位顺序表以及千以内数的组成（由几个百、几个十、几个一组成），突出了十进制记数法的位值概念，帮助学生初步系统地建立起对千以内数的认识。然后再通过千以内数的数射线，进一步丰富学生的数感。教材展示了一个较为完整的对数的认识与表达的过程，给学生提供了一个足够的空间，使他们的认识从直观到抽象，从认识到表达，后初步建立起自己的模型，这对学生的认知也是一个大的促进。
延伸到“万以内数的认识”教学，“万”是什么？对学生来讲，直观地去构造出“万”，从而认识万，既是教学重点也是难点。突破学生认识“万” 的困难和整体认识大数结构，教学要抓住的核心本质就在于十进制思想和位值制思想。不同版本教材提供不同方式，但都依据“直观”“操作”原则，总的说来有以下方式途径。
方式一：体育馆的人数图，通过一千一千地数来认识“万”。
方式二：通过用板条块学具、自制计数器或用算盘表示出“万”等实践操作活动。
方式三：用自己熟悉的材料建构出“万”。例如用“千数图”拼出“万”，在具体拼的过程中得出10个一千就是一万；通过迁移，让学生用第纳斯木块建构万以内的数，而且从图中可以清楚看到个、十、百、千、万之间的十进制关系。
在多位数的学习中，学生从“个级”扩充到“万级”“亿级