数学建模讲义(第二版)

    数学科学的产生与发展始终和解决诸如天文学、物理学、生物学、经济和管理中的实际问题紧密相连，互相促进，共同发展，推动着人类社会的不断前进。而数学建模正是用数学来解决各种实际问题的桥梁。数学模型（Mathematical　Model）是用数学符号对一类实际问题或实际发生的现象的（近似的）描述；而数学建模（Mathematical　Modeling）则是获得这种模型并对之求解、验证并得到结论的全过程。数学建模不仅是为了了解基本规律，而且从应用的观点来看，更重要的是有可能成为预测和控制所建模系统行为的强有力工具。概括而言，数学建模的关键步骤或难点就是：　合理假设、建立问题和解释验证。

    数学建模的思想和方法古已有之，大凡用数学去解决各种问题都要经由数学建模的途径。牛顿的万有引力理论就是伟大数学建模的范例。然而，数学建模这个名词的普及和流行则是从2０世纪下半叶才开始的。其重要原因就是之前不能迅速、数值准确地求解出相应的数学问题。而2０世纪下半叶计算机、计算的速度和精度、计算方法和技术以及数学软件的迅速发展，为用数学建模的思想和方法去解决各种各样的实际问题，创造了条件，这也对教育改革产生了极大的影响。将近2０年前，由美国科学院院士A.　Friedman和J．　Glimm领头编写的调研报告《新兴制造技术和管理实践中的数学和计算科学》Friedman　A，　Glimm　J，　Lavery　J．　The　mathematical　and　computational　sciences　in　emerging　manufacturing　technologies　and　management　practices　［R］．//SIAM　Report　on　Issues　in　the　Mathematical　Sciences．　SIAM，　1992：　6263．　中正确地指出：　　“一切科学和工程技术人员的教育必须包括数学和计算科学的更多的内容。数学建模和与之相伴的计算正在成为工程设计中的关键工具。科学家正日益依赖于计算方法，而且在选择正确的数学和计算方法以及解释结果的精度和可靠性方面必须具有足够的经验。对工程师和科学家的数学教育需要变革以反映这一新的现实。”事实正如此，数学建模教学正在全世界大学生和研究生中逐步开展。

    在我国，一些有识之士早在2０世纪8０年代初就在一些大学里开始了数学建模的教学，并致力在全国推广。我国的大学生参加美国大学生数学建模竞赛以及1992年开始举行的由*高等教育司和中国工业与应用数学学会联合主办的全国大学生数学建模竞赛，极大地推动了我国大学的数学教育改革。特别是数学建模和数学实验课程的建设和发展以及出版了不少高水平的教材，为培养具有创新和竞争能力的大学毕业生做出了巨大贡献。

    由梁进教授等作者编著的本书是他们在同济大学数学建模课程的多年教学和辅导大学生参加美国和我国的大学生数学建模竞赛经验积累的基础上的总结。本书有许多值得我们仔细研究的优点。重要的是本书紧紧抓住数学建模的全过程，而不是求全、求深，通过能够吸引大学生的实际问题的教学和学生的实践使学生真正掌握数学建模的思想和方法。本书语言叙述优美、通俗易懂，能使人在“享受”中学习到严格的数学推理及其解决实际问题的能力。本书不仅有许多重要的案例，更有资料查询、数据的收集和处理、数学软件应用简介、数学建模的评价和分析等内容。特别是有专门的一章讲述数学建模论文的写作和讲演，这种强调是非常值得称道的。就笔者自己的学习经验而言，自己认为看懂了的东西，当你要确切地写下来时往往会意识到自己有的地方没有弄懂，因而写不清楚，必须进一步仔细考虑。当你向他人报告，特别是受到质疑时，你往往又会感到还有没弄明白的地方，必须更深入地思考清楚来回答他人的质疑。这是一种真正全方位培养和提高学生能力的方法。笔者认为本书的出版必将对我国的数学建模教学做出新的贡献。同时也衷心祝愿梁进教授等同仁在今后的数学建模教学中取得更好的成绩。

    《数学建模讲义》内容分为初等模型、概率模型、微分方程模型、离散模型等章节,充分展现了数学的广泛应用。全书后面部分还介绍了数学建模的规范、常用软件，以及数学建模竞赛的情况介绍等，这些都是供读者参考的有价值的资料。第二版修订增加了一些内容，主要考虑教学和竞赛准备，内容不求多全，但求适合，主要着力于建模思想和相关技能，授人以渔。

    梁进：教授，数学系金融数学博士生导师，1989年荣获北京大学理学博士学位，随后在英国取得金融数学MSc学位，曾在葡萄牙、法国、德国和英国的几所研究所和大学从事应用数学的研究工作。2005年回国后从事金融衍生品和信用风险的研究，其所授课程为国家精品课程，在国内外核心杂志发表学术论文50余篇。此外，还组织学生参加数学建模竞赛。陈、张、项为同系同事。

序

第二版前言

前言

第1篇数学建模的方法1

第1章初等模型3

1.1图解法 ／ 3

1.2小二乘法拟合 ／ 4

1.3状态转移法 ／ 13

1.4简单公式——席位分配问题 ／ 15

1.5类比比例法 ／ 22

1.6习题 ／ 23

第2章概率统计问题25

2.1概率问题——犯罪夫妇的认定 ／ 25

2.2随机过程问题I——马尔可夫链 ／ 27

2.3随机过程问题II——金融期权的二叉树方法定价* ／ 31

2.4数学模拟与Monte　Carlo方法 ／ 34

2.5元胞自动机 ／ 45

2.6习题 ／ 48

第3章数学规划问题50

3.1线性规划模型的建立 ／ 51

3.2线性规划的一般定义 ／ 60

3.3线性规划的理论解法* ／ 61

3.4线性规划的软件包解法 ／ 69

3.5应用 ／ 78

3.6非线性规划* ／ 82

3.7习题 ／ 86

第4章离散模型90

4.1简单图论 ／ 90

4.2对策问题 ／ 95

4.3层次分析法 ／ 100

4.4合理分配效益的Shapley方法 ／ 104

4.5球队排名问题 ／ 110

4.6习题 ／ 120

第5章微分方程模型122

5.1差分方程——斐波那契兔子与特拉法尔加战役 ／ 124

5.2常微分方程——人口模型 ／ 130

5.3微分方程组I——战争模型 ／ 136

5.4微分方程组II——传染病模型 ／ 141

5.5反问题* ／ 145

5.6微分方程差分方法和Matlab　解方程简介 ／ 148

5.7习题 ／ 150

第6章优化模型*153

6.1微积分方法寻求点 ／ 153

6.2随机优化模型——小商贩海鲜进货问题 ／ 161

6.3简单变分问题——短距离问题 ／ 164

6.4自由边界问题——障碍问题* ／ 165

6.5动态优化——赛跑的体力分配* ／ 168

6.6变分理论简介* ／ 173

6.7习题 ／ 177

第２篇数学建模的相关问题181

第7章资料查询、数据处理、公式编辑、图表制作及其他应用软件183

7.1资料查询 ／ 183

7.2数据的搜集和处理 ／ 184

7.3数学公式编辑 ／ 185

7.4绘图 ／ 186

7.5制表 ／ 187

7.6数学软件Matlab简介 ／ 187

7.7其他数学软件包简介 ／ 191

7.8统计软件包简介 ／ 192

第8章建模论文的写作与演讲199

8.1论文撰写 ／ 199

8.2口述和演讲 ／ 203

第9章数学建模的验证、分析和评价204

9.1模型的评价原则 ／ 204

9.2模型的验证 ／ 205

9.3模型的分析 ／ 209

9.4建模论文的评判 ／ 213

第10章数学建模竞赛简介216

参考文献222

附录相关网站226

    《数学建模讲义》内容分为初等模型、概率模型、微分方程模型、离散模型等章节,充分展现了数学的广泛应用。全书后面部分还介绍了数学建模的规范、常用软件，以及数学建模竞赛的情况介绍等，这些都是供读者参考的有价值的资料。第二版修订增加了一些内容，主要考虑教学和竞赛准备，内容不求多全，但求适合，主要着力于建模思想和相关技能，授人以渔。

    梁进：教授，数学系金融数学博士生导师，1989年荣获北京大学理学博士学位，随后在英国取得金融数学MSc学位，曾在葡萄牙、法国、德国和英国的几所研究所和大学从事应用数学的研究工作。2005年回国后从事金融衍生品和信用风险的研究，其所授课程为国家精品课程，在国内外核心杂志发表学术论文50余篇。此外，还组织学生参加数学建模竞赛。陈、张、项为同系同事。