大学数学基础教程

前言

数学作为历史悠久且源远流长的科学，如今，在世界各地的学校教育的各个阶段、各个层面已然成为学习时间长、对升学考试和素质培养都非常重要的一门课程．21世纪，数学对科技的发展与进步更是举足轻重、不可或缺．因此，一个有修养学识的当代人，需要具备一些数学素质，能够对世界和自身多些理性的思考，而非仅仅是感性的强大．

2015年秋季学期，我校教务处决定为音乐表演专业、体育专业以及少数民族本科生开设“大学数学”课程．此前，21世纪初至今，我校已经为新闻与传播、政治学与行政学、外语等人文专业开设了“大学数学”课程．但此“大学数学”非彼“大学数学”，面对高中数学基础要求相对较低，学生对数学更具“抵触”情绪，且在全国高校几无开设此类课程的情形，授课教师面临一系列难题：如何选择合适的内容编写教材，进而制订教学大纲？采用何种教学模式更有效？怎样的考核方式更能体现公平与合理？……

作为教学的依据与载体，教材是课程教学首先要解决的问题．经过几番深入讨论，我们授课教师达成较为一致的意见，那就是：采用更多样的视角，不太过数学化的追求细枝末节、面面俱到，不用太多的数学技术铺垫，但要做到通俗易懂，再兼具一点点有趣．然而，数学教师总觉得前期不奠定些基础，后期讲述就不清楚．教师习惯了纯数学的讲授，哪怕是非常复杂或技巧性很强的数学题，教师明白以后，似乎可以一劳永逸，因为自己懂得，所以也觉得简单，但却忽略了学生的感受．事实上，如铁桶般严密无懈可击的数学定义、定理、命题大多数时候恰是学生“惧怕”数学之源，对教师而言却是——不严谨则难以忍受，甚至“痛苦”得很．许多优秀的数学科普读物在某些地方似乎不够严格详细，但更少高高在上、曲高和寡的感觉，至少让人了解数学思想的普适性和应用的广泛性．尽管严肃与通俗二者微妙的平衡很难把握，但在教材的编写中也许可以做一尝试．

基于以上的认识，本书分为上、下两篇编写，上篇介绍数学文化，下篇介绍数学的应用．上篇的编写原则是叙述简单扼要，每章后设置5~8个思考题，为课后的进一步讨论学习之用．下篇的主要编写原则如下：

(1) 省略复杂的计算和技巧性的证明，不设烦琐的例题、习题，代之以更加基础平实的内容；

(2) 阐述简洁清晰，对概念、定理、结论的来龙去脉交代清楚； 

(3) 每章后的习题分为自主探索、合作研究两部分，鼓励个体较深入的学习探究以及提升与人合作的研究能力．

在课程成绩评定方面，教师可以考虑采用过程式考核的评价标准，终成绩包括出勤、课上表现、课后作业、自主探索或合作研究的报告、期末的闭卷考试几部分，这样的评价方式更能体现对学习过程的有效监督，成绩组成也更趋于合理．

数学教师思想的转变在课程的教学中是十分重要的，教师千万不要将艺术体育类的大学数学课程等同于理工科的高等数学课程，不要奢望目标宏大到将文科学生训练成合格的理工科学生——熟练高等数学的基本概念、掌握的计算技能和证明技巧，以及应用数学解决实际问题的初步能力等．若沿袭高等数学课程多年一成不变的模式，则我们的教学将是失败中的失败，师生都将身心俱疲．鉴于此，本书的初衷是在短时间内向学生传递一些重要的数学文化与数学应用的内容．而要做到这一点，可行的方案就是在内容取舍上“偷工减料”——但还要不至于显得莫名其妙，的确很难！我们今天的探索，就在于为艺术体育类的大学数学课程寻找一个基调，尽管众口难调．

对于此类课程，也许由数学大家以百家讲坛的模式来讲述更为理想，更能做到雅俗共赏．作为教学一线的普通基层教师，在开设此类课程时，更多的是以有限的能力去尽力做一些尝试，能让艺术体育类专业的学生即使不能爱上数学，至少不再惧怕数学．希望我们的尝试能有些许成效．编者十分赞赏将此类课程定位为：减少对数学累积的“仇恨”，搭建一座文理通融的桥梁，传递一缕文化的馨香，培养一点数学的素养．教材的前言、第1章至第8章由张若军编写，第9章至第11章由刘文静编写，后由张若军统稿．教材的内容是按照一个学期，每周3学时安排的．在具体的教学过程中，教师可根据需要做出删减或增补．带“*”的内容难度较大，可作为课外的选读．

编者十分感谢中国海洋大学教务处对本书出版提供资助和大力支持，也感谢数学科学学院多年来对数学公共课教学的重视，尤其是方奇志教务长、谢树森院长、李长军副院长给予的关心和鼓励．还要感谢编者的许多同事在教材编撰方面提供的帮助，使得本书得以顺利付梓．鉴于编者的数学和写作水平，书中的错漏之处在所难免，期待广大同行批评指正，以便日后有机会进行修订．更希望本书能够抛砖引玉，以期未来有更优秀的、更适合的此类教材出版，能更好地实现数学教育人文化的目标．

编者

2017年7月

目录

上篇数
学 文 化

第1章数学概述

1.1数学的定义与内容

1.1.1数学的诸多定义

1.1.2数学科学的内容

1.2数学发展史概况

1.2.1数学发源时期

1.2.2初等数学时期

1.2.3近代数学时期

1.2.4现代数学时期

1.3数学科学的特点与价值

1.3.1数学科学的特点

1.3.2数学科学的价值

1.4数学与各学科的联系

1.4.1数学与哲学

1.4.2数学与科学

1.4.3数学与艺术

思考题1

拓展阅读1

第2章常用的数学思想与方法简介

2.1公理化方法

2.1.1公理化方法的产生和发展

2.1.2公理系统构造的三性问题

2.1.3公理化方法的意义和作用

2.2类比法

2.3归纳法与数学归纳法

2.3.1归纳法

2.3.2数学归纳法

2.4数学构造法

2.5化归法

2.5.1特殊化与一般化

2.5.2关系映射反演方法

2.6数学模型方法

思考题2

拓展阅读2

第3章三次数学危机

3.1悖论举例

3.2次数学危机

3.2.1无理数与毕达哥拉斯悖论

3.2.2次数学危机的解决

3.3第二次数学危机

3.3.1无穷小与贝克莱悖论

3.3.2第二次数学危机的解决

3.4第三次数学危机

3.4.1集合论与罗素悖论

3.4.2第三次数学危机的解决

3.5数学的三大学派

3.5.1逻辑主义学派

3.5.2直觉主义学派

3.5.3形式主义学派

思考题3

拓展阅读3

第4章数学美学

4.1数学与美学

4.1.1数学美的概念

4.1.2数学美的一般特征

4.2数学美的内容

4.2.1简洁美

4.2.2对称美

4.2.3和谐美

4.2.4奇异美

4.3数学美的地位和作用

思考题4

拓展阅读4

第5章数学国际

5.1世界数学中心及其变迁

5.2国际数学组织与活动

5.2.1国际数学联盟

5.2.2国际数学家大会

5.3国际数学大奖

5.3.1菲尔兹奖——青年数学精英奖

5.3.2沃尔夫奖——数学终身成就奖

5.3.3其他数学奖

5.4国际数学竞赛

5.4.1国际数学奥林匹克竞赛

5.4.2国际大学生数学建模竞赛

思考题5

拓展阅读5

第6章数学的新进展之一——分形与混沌

6.1分形几何学

6.1.1海岸线的长度

6.1.2柯克曲线及其他几何分形

6.1.3分数维与分形几何

6.2混沌动力学

6.2.1洛伦兹的天气预报与混沌的概念

*6.2.2产生混沌的简单模型——移位映射

*6.2.3倍周期分支通向混沌——逻辑斯蒂映射

6.3分形与混沌的应用及哲学思考

6.3.1应用举例

6.3.2哲学思考

思考题6

拓展阅读6

下篇数学的应用

第7章代数学应用专题

7.1百鸡问题及其他——初等数论之应用

7.1.1百鸡问题

7.1.2同余的概念

7.1.3物不知数

7.1.4“物不知数”问题的解法

7.1.5“百鸡问题”的解法

7.2暗算之保密通信——数论及线性代数之应用

7.2.1加密通信简介

7.2.2公开密钥体制

7.2.3RSA公钥方案的实施与实例

7.2.4矩阵和行列式的概念

7.2.5加密信息的矩阵传递

*7.3几何作图三大难题的解决——近世代数之应用

7.3.1几何作图的三大难题

7.3.2可构造数域与尺规作图

7.3.3几何作图三大难题的解答

习题7

第8章几何学应用专题

8.1图形的美与实用——初等几何之应用

8.1.1黄金分割的来源及应用实例

8.1.2方圆合一的自然规则

8.1.3多边形内角和与拼装技术

8.1.4正多面体的种类及应用

8.2远光灯、机械曲线——解析几何之应用

8.2.1解析几何之圆锥曲线简介

8.2.2圆锥曲线的应用

8.2.3远光灯的原理解析

8.2.4旋轮线（速降线）的产生及应用

*8.3莫比乌斯带、迷宫及其他——拓扑学之应用

8.3.1拓扑学概述

8.3.2莫比乌斯带的性质及应用

8.3.3迷宫的走法

8.3.4拓扑学的应用举例

*8.4网络的短路径——微分几何之应用

8.4.1微分几何简介

8.4.2不同寻常的短路径

习题8

第9章分析学应用专题

9.1经济学中的边际效用——导数之应用

9.1.1边际效用

9.1.2函数

9.1.3极限

9.1.4导数

9.1.5导数的应用

9.2不规则平面图形的面积和旋转体的体积——积分之应用

9.2.1问题的提出

9.2.2不定积分

9.2.3定积分

9.2.4定积分的应用

9.3音乐中的数学——级数的应用

9.3.1简单声音的数学公式

9.3.2音乐结构的数学本质

9.3.3音乐性质的数学解释

9.3.4数学分析在声音合成领域中的应用

9.4刑侦学中的数学——微分方程之应用

9.4.1微分方程简介

9.4.2死亡时间的确定

9.4.3血液中酒精浓度的测定

习题9

第10章概率统计应用专题

10.1直觉的误区——概率之应用

10.1.1问题的提出

10.1.2直觉的误区——古典概率

10.1.3会面问题——几何概率

10.1.4无序中的有序——统计概率

10.1.5主观概率

10.2正态分布——自然的分布

10.2.1随机变量及其概率分布

10.2.2期望、方差和标准差

10.2.3正态分布

10.2.4百年灯