MATLAB化计算

       科学运算问题是每个理工科学生和科技工作者在课程学习、科学研究与工程实践中常常会遇到的问题，不容回避。对于非纯数学专业的学生和研究者而言，从底层全面学习相关数学问题的求解方法并非一件简单的事情，也不易得出复杂问题的解，所以，利用当前最先进的计算机工具，高效、准确、创造性地求解科学运算问题是一种行之有效的方法，尤其能够满足理工科人士的需求。

       作者曾试图在同一部著作中叙述各个数学分支典型问题的直接求解方法，通过清华大学出版社出版了《高等应用数学问题的MATLAB 求解》。该书从2004 年出版之后多次重印再版，并于2023 年出版了第5 版，还配套发布了全新的MOOC 课程，一直受到广泛的关注与欢迎。首次MOOC 开课的选课人数接近14000 人，教材内容也被数万篇期刊文章和学位论文引用。

       从作者首次使用MATLAB 语言算起，已经有30 余年的时间了，期间作者通过相关领域的研究、思考与一线教学实践，积累了大量的实践经验资料。这些不可能在一部著作中全部介绍，所以作者与清华大学出版社策划并出版了“薛定宇教授大讲堂”系列图书，系统深入地介绍基于MATLAB 语言与工具的科学运算问题的求解方法。该系列图书不是原来版本的简单改版，而是作者通过十余年的经验和资料积累，全面贯穿“再认识”的思想写作而成的，深度融合科学运算数学知识与基于MATLAB 的直接求解方法与技巧，力图更好地诠释计算机工具在每个数学分支的作用，帮助读者以不同的思维与视角了解工程数学问题的求解方法，创造性地得出科学运算问题的解。

       原系列图书出版已经有几年的时间了。在这几年间，MATLAB 编程与Simulink建模技术发生了很大的变化，MATLAB 求解科学运算问题的工具也越来越完备， 因此有必要更新这些著作，融入新的内容，使其能发挥更大的作用，所以将陆续开始写作新的版本。本书是利用MATLAB 求解最优化问题的著作。本书系统地介绍两大主题－－非线性代数方程求解与最优化技术，主要解决这两个领域的数值计算问题。本书首先介绍各种非线性代数方程的解析解方法与数值解方法，并介绍多解方程的求解问题。后续各章将介绍无约束最优化、线性规划与二次型规划等凸优化、非线性规划、混合整数规划、多目标规划与动态规划的基本概念与求解方法，侧重于求取最优化问题全局最优解的探讨与实践。本书还将介绍一些常用的智能优化方法，并通过一些具体的例子，对智能优化方法的效果做必要的对比研究，得出有益的结论。

       特别感谢团队的同事潘峰博士在相关课程建设、教材建设与教学团队建设中的出色贡献和所做的具体工作。感谢美国加利福尼亚大学Merced 分校的陈阳泉教授近30 年来的真诚合作及对诸多问题的有意义的探讨。几十年来我与同事、学生、同行，甚至网友有益交流，其中有些内容已经形成了系列著作的重要素材，在此一并表示感谢。本书的出版还得到了美国MathWorks 公司图书计划的支持，在此表示谢意。

       值此书付梓之际，衷心感谢相濡以沫的妻子杨军教授，她数十年如一日的无私关怀是我坚持研究、教学与写作工作的巨大动力。感谢女儿薛杨在文稿写作、排版与视频转换中给出的建议和具体帮助。

薛定宇

2023 年10 月

最优化技术是科学与工程领域中的重要数学工具。本书首先介绍非线性方程组的解析与数值解法，然后介绍各个分支的最优化问题建模与求解方法，包括无约束最优化、凸优化(如线性规划、二次型规划与几何规划等)、非线性规划、混合整数规划、多目标规划与动态规划等，最后简要介绍智能优化方法，并与常规方法进行对比研究。与传统的最优化技术方面的教材不同，本书侧重于利用MATLAB语言直接描述与求解最优化问题。本书可作为一般读者学习和掌握最优化技术的教材或教辅读物，还可以作为高等学校理工科各专业的本科生和研究生学习计算机数学语言的教材，并适合作为相关人员查询最优化计算方法的工具书。

薛定宇 ：分别在沈阳工业大学、东北大学和英国Sussex大学获得学士（1985年）、硕士（1988年）和博士学位（1992年），1997年起任东北大学信息学院教授。深耕于计算机在数学与自动控制学科的应用，主持了国家精品课程建设，并于1996年在清华大学出版社出版《控制系统计算机辅助设计——MATLAB与应用》，该教材被评为国家级精品教材，被认为是国内MATLAB应用领域具有深远影响的一部图书，为MATLAB在国内高校教学与科研中的普及起到了巨大的作用。先后被评为辽宁省教学名师、辽宁省优秀教师，获得国家级教学成果二等奖、中国自动化学会教育教学成果一等奖、辽宁省教学成果一等奖等奖励。其主讲的“控制系统仿真与CAD”课程被评为国家级精品课程、国家级精品资源共享课程；主讲的“现代科学运算——MATLAB语言与应用”课程被评为首批国家级一流本科课程，配套录制的全新慕课课程均上线于爱课程与中国大学MOOC（慕课）网站。

第 1章方程求解与最优化技术  1 

1.1方程与方程求解  1 

1.2最优化问题的起源与发展  3 

1.3本书框架  4

本章习题  5

第 2章代数方程的求解 6 

2.1多项式方程的求解 7 

2.1.1一次方程与二次方程  8 

2.1.2三次方程的解析解  9 

2.1.3四次方程的解析解  10 

2.1.4高次代数方程与 Abel–Ru.ini定理 12 

2.2非线性方程的图解法  12 

2.2.1光滑隐函数曲线的绘制  12 

2.2.2一元方程的图解法  14 

2.2.3二元方程的图解法  15 

2.2.4方程的孤立解 17 

2.3代数方程的数值求解  18 

2.3.1 Newton–Raphson迭代方法  18 

2.3.2方程求解的二分法  23 

2.3.3 MATLAB的直接求解函数 24 

2.3.4求解精度的设置 26 

2.3.5方程的结构体描述  28 

2.3.6方程的复域求解 29 

2.3.7基于问题的方程描述与求解 30 

2.4联立方程组的精确求解  31 

2.4.1低阶多项式方程的解析求解 32 

2.4.2多项式型方程的准解析解  35 

2.4.3高次多项式矩阵方程的准解析解  36 

2.4.4准解析解的提取 39 

2.4.5非线性代数方程的准解析解 40 

2.5多解矩阵方程的求解  40 

2.5.1方程求解思路与一般求解函数 41 

2.5.2伪多项式方程的求解  45 

2.5.3高精度求解函数 47 

2.6欠定方程的求解  48本章习题 

第 3章无约束最优化  53 

3.1无约束最优化问题简介  54 

3.1.1无约束最优化问题的数学模型 54 

3.1.2无约束最优化问题的解析解方法  54 

3.1.3无约束最优化问题的图解法 55 

3.1.4局部最优解与全局最优解  56 

3.1.5数值求解算法的 MATLAB实现 57 

3.2无约束最优化问题的 MATLAB直接求解  

3.2.1直接求解方法 60 

3.2.2最优化控制选项 62 

3.2.3最优搜索中间过程的图形显示 65 

3.2.4附加参数的传递 68 

3.2.5最优化问题的结构体描述  

3.2.6梯度信息与求解精度  71 

3.2.7基于问题的描述方法  76 

3.2.8离散点最优化问题的求解  78 

3.2.9最优化问题的并行求解  79 

3.3全局最优解的尝试 

3.3.1全局最优问题演示  80 

3.3.2全局最优思路与实现  82 

3.4带有决策变量边界的最优化问题 84 

3.4.1单变量最优化问题  84 

3.4.2多变量最优化问题  86 

3.4.3基于问题的描述与求解  88 

3.4.4边界问题全局最优解的尝试 88 

3.5最优化问题应用举例  89 

3.5.1线性回归问题的求解  89 

3.5.2曲线的最小二乘拟合  

3.5.3边值微分方程的打靶求解  93 

3.5.4方程求解问题转换为最优化问题  96

本章习题  98

第 4章凸优化  103 

4.1线性规划问题简介 105 

4.1.1线性规划问题的数学模型  106 

4.1.2二元线性规划的图解法  106 

4.1.3单纯形法简介 108 

4.2线性规划问题的直接求解  111 

4.2.1线性规划问题的求解函数  111 

4.2.2多决策变量向量的线性规划问题  117 

4.2.3双下标的线性规划问题  118 

4.2.4线性规划的应用举例——运输问题  119 

4.3基于问题的线性规划描述与求解 122 

4.3.1线性规划的 MPS文件描述 122 

4.3.2基于问题的线性规划描述  124 

4.3.3线性规划问题的转换  128 

4.4二次型规划问题的求解  130 

4.4.1二次型规划的数学模型  130 

4.4.2二次型规划的直接求解  131 

4.4.3基于问题的二次型规划描述 132 

4.4.4双下标二次型规划  136 

4.4.5带有二次型约束的最优化问题 137 

4.5线性矩阵不等式问题  138 

4.5.1线性矩阵不等式的一般描述 138 

4.5.2 Lyapunov不等式  139 

4.5.3线性矩阵不等式问题分类  141 

4.5.4线性矩阵不等式问题的 MATLAB求解  142 

4.5.5基于 YALMIP工具箱的最优化求解方法  144 

4.5.6非凸最优化问题求解的尝试 146 

4.5.7带有二次型约束条件问题的求解  147 

4.6其他常用的凸优化问题  149 

4.6.1凸优化工具箱简介  149 

4.6.2锥规划问题  152 

4.6.3几何规划问题 154 

4.6.4半定规划  156本章习题  156 

第 5章非线性规划  163 

5.1非线性规划简介  164 

5.1.1一般非线性规划问题的数学模型  164 

5.1.2可行解区域与图解法  165 

5.1.3数值求解方法举例  167 

5.2非线性规划问题的直接求解  169 

5.2.1 MATLAB的直接求解函数 169 

5.2.2基于问题的描述方法  174 

5.2.3搜索过程提前结束的处理  175 

5.2.4梯度信息的利用 176 

5.2.5多决策变量问题的求解  177 

5.2.6复杂非线性规划问题  179 

5.3非线性规划的全局最优解探讨  181 

5.3.1全局最优解的尝试  182 

5.3.2非凸二次型规划问题的全局寻优  184 

5.3.3凹费用运输问题的全局寻优 187 

5.3.4全局最优化求解程序的测试 188 

5.3.5最优化模型的可视化编辑  190 

5.3.6分段目标函数的处理  191 

5.4双层规划问题  193 

5.4.1双层线性规划问题的求解  193 

5.4.2双层二次型规划问题  194 

5.4.3基于 YALMIP工具箱的双层规划问题直接求解 195 

5.5非线性规划应用举例  197 

5.5.1圆内最大面积的多边形  197 

5.5.2半无限规划问题 200 

5.5.3混合池最优化问题  205 

5.5.4热交换网络的优化计算  208 

5.5.5基于最优化技术的非线性方程求解  211

本章习题  213

第 6章混合整数规划  221 

6.1整数规划简介  222 

6.1.1整数规划与混合整数规划  222 

6.1.2整数规划问题的计算复杂度 222 

6.2穷举方法  223 

6.2.1整数规划的穷举方法  224 

6.2.2离散规划问题 227 

6.2.3 0.1规划的穷举方法  228 

6.2.4混合整数规划的尝试  230 

6.3混合整数规划问题的求解  232 

6.3.1混合整数线性规划  232 

6.3.2整数规划问题的 LMI求解方法  235 

6.3.3混合整数非线性规划  235 

6.3.4一类离散规划问题的求解  238 

6.3.5一般离散规划问题的求解  239 

6.4 0.1混合整数规划的求解  241 

6.4.1 0.1线性规划问题的求解 241 

6.4.2 0.1非线性规划问题的求解  246 

6.5混合整数规划应用 248 

6.5.1最优用料问题 248 

6.5.2指派问题  249 

6.5.3旅行商问题  251 

6.5.4背包问题  255 

6.5.5数独的填写  256

本章习题  260

第 7章多目标规划  265 

7.1多目标规划简介  266 

7.1.1多目标规划的背景介绍  266 

7.1.2多目标规划的数学模型  267 

7.1.3多目标规划问题的图解举例 268 

7.2多目标规划转换成单目标规划问题  270 

7.2.1无约束多目标函数的最小二乘求解  270

7.2.2线性加权变换及求解  272 

7.2.3线性规划问题的最佳妥协解 273 

7.2.4线性规划问题的最小二乘解 275 

7.2.5基于问题的描述与求解  276 

7.3 Pareto最优解  276 

7.3.1多目标规划解的不唯一性  276 

7.3.2解的占优性与 Pareto解集  277 

7.3.3 Pareto解集的计算  278 

7.4极小极大问题求解 281

本章习题  287

第 8章动态规划与最优路径  289 

8.1动态规划简介  290 

8.1.1动态规划的基本概念与数学模型  290 

8.1.2线性规划问题的动态规划求解演示  291 

8.2有向图的路径寻优 292 

8.2.1有向图应用举例 292 

8.2.2有向图最短路径问题的手工求解  293 

8.2.3逆序递推问题的动态规划表示 294 

8.2.4图的矩阵表示方法  295 

8.2.5有向图搜索及图示  295 

8.2.6新版本 MATLAB的图表示  299 

8.2.7 Dijkstra最短路径算法及实现  301 

8.3无向图的路径最优搜索  303 

8.3.1无向图的矩阵描述  303

8.3.2绝对坐标节点的最优路径规划算法与应用 304

本章习题  305

第 9章智能优化方法  308 

9.1智能优化算法简介 309 

9.1.1遗传算法简介 309 

9.1.