理论值：量子力学

第1讲 系统与实验

自旋与量子比特

粒子物理学中引入了“自旋”（spin）这一概念。除了空间中的位置，粒子还有其他属性，比如，它们可以带电，也可以不带电；可以有质量，也可以没有。一个电子当然不同于一个夸克或者一个中微子。但即便是同类型的粒子，只用位置并不能描述它的全部信息。还是来说说电子吧，电子拥有一个额外的自由度，被称作自旋。从朴素的角度来说，自旋可以图像化为一个带指向的小箭头，但这个朴素图像过于经典，无法精确地表现真实的情况。电子的自旋大概是量子力学味道的物理系统了，对它进行的任何经典力学图像化的尝试都将不得要领。

我们可以抽象出自旋这一思想，然后忘掉它原本是附着在电子上的，量子自旋本身就是一个值得研究的系统。实际上，这个从电子身上剥离下来的量子自旋，正是简单又特色的量子系统。

孤立的量子自旋正好给出了一类简单系统的例子，我们称之为量子比特（qubit），它在量子世界中扮演的角色恰如计算机中用来定义状态的逻辑比特。很多系统，甚至可能是所有系统，都能通过量子比特的组合方式来构造。因此在学习它的时候，我们同时也在学习更多量子比特之外的内容。

实验，以及不断重复

让我们用尽可能简单的例子来具体化这一思想。在《理论小值：经典力学》的第 1 讲中，我们的讨论始于一个非常简单的确定性系统：一枚硬币，它只能显示正（H）或反（T）两个面。我们称其为带有H和T两个态的双态系统，或者比特。更加形式化地，我们引入一个“自由度”σ，它可以取两个值： 1和-1。H态可以表示为：

σ = 1

而 T 态则可以表示为：

σ = -1

在经典力学中，这就是态空间的全部内容。系统要么处于态σ = 1，要么处于态σ = -1，不会处于两者之间。在量子力学里，我们认为这样的系统是一个量子比特。

《理论小值：经典力学》也讨论了一些简单的演化定律，它告诉我们态如何从一个时刻变化到另一个时刻。简单的定律就是没有任何变化，如果我们从某个离散的时刻n

进行到下一个时刻 n 1，演化的规律可以写作：

σ (n 1) = σ (n) （1-1）

现在让我们挖出在《理论小值：经典力学》中未被关注的隐藏假设：一次实验中涉及的东西超出被研究的系统本身，还包括了用于测量的仪器 和测量结果的记录。对于双态系统来说，仪器会和（自旋）系统相互作用，并记录σ的值。把仪器想象成一个黑箱，黑箱有一个用来显示测量结果的窗口，外边还有一个向上的箭头。向上的箭头很重要，它表示了仪器自己在空间中的指向，而这个指向将会影响测量结果。我们先让它指向z轴方向（如图1-1 所示）。

初始时，我们并不知道是σ = 1还是σ = -1，我们的目的就是做一个实验来找到σ的取值。

在仪器和自旋发生相互作用之前，窗口是空白的（在图中标记为问号），当对σ进行了测量之后，窗口显示出 1或者-1。通过读取仪器，我们就能测量出σ的数值。这一整套过程就构成了一个用于测量σ的非常简单的实验。

现在我们已经测量过一次σ了，然后把仪器重置到初态，而不去扰动自旋，再次测量σ的数值。假设演化定律遵从公式1-1，我们应该得到和次相同的结果。如果之前为σ = 1，第二次还是σ = 1；反之都是σ = -1。无论重复多少次测量，结果都将是一样的。这是件好事，因为可以用这种方法来确认实验的结果。换句话说就是：与仪器的次相互作用把系统制备到了两个态中的一个，后续的实验则确认了这个态。到目前为止，经典物理学和量子力学之间还没有差别。

接下来让我们玩点新东西。在使用仪器 测量自旋也就是制备好系统之后，我们将仪器倒置，再次测量σ（如图1-2所示）。如果原先制备的是σ= 1，我们会发现倒置的仪器测量的结果是σ =-1。类似地，如果原先是σ = -1，倒置的仪器记录的是σ = 1。换句话说就是，倒置仪器使得σ = 1和σ = -1 发生对换。根据这些结果，我们可以得出结论：σ是一个与空间方向相关的自由度。举例思考，假如σ是某种带指向的矢量，那么我们很自然地期待倒置仪器会得到一个相反的读数。有一个简单的解释是：仪器所测量的正是矢量在该仪器内嵌方向轴上的分量。但这样的解释在所有的情况下都说得通吗？

如果我们认定自旋是一个矢量，那我们就可以很自然地使用三个分量σx 、σy和σz来描述它。当把仪器指向上方时，我们就是在测量σz 。

到目前为止，量子力学和经典力学之间还没有差别。只有当我们把仪器转动到某个任意的角度时差别才出现，比如弧度 π/2（90°）。仪器在开始时指向上方（向上箭头指向z轴方向），自旋被制备到σ = 1。接着转动仪器 使得向上箭头指向x轴方向（如图1-3所示），这自然是在测量自旋的x分量σx。

如果σ真的代表一个矢量在向上方向上的分量，那结果应该为0。为什么呢？起始时我们可以确定σ是指向z轴方向的，自然说明它在x轴上的分量为0。但令我们惊讶的是，我们测出的σx并不是σx=0，而是σx= 1和σx =-1两者中的一个。无论仪器被转到了什么方向，它都不会给出σ =±1之外的任何答案。如果自旋真的是个矢量的话，那也算是非常奇特的一个了。

尽管如此，我们还是发现了一些有趣的东西。假定我们依照下列步骤重复操作很多次，即：

• 开始时 指向z轴方向，制备到σ= 1。
• 把仪器旋转到x轴的方向。
• 测量σ。

重复这个实验，仪器将吐出一串包含 1和-1的随机序列。也就是说，决定论（determinism）被打破了，而且是以一种特别的方式打破的。如果我们重复的次数非常多，就会发现σ = 1的事件数和σ = -1的事件数在统计上是一样多的。换句话说，σ的平均值是 0。经典的结果应该是σ在x 轴上的分量为0，我们发现这个结论要被取代，变成：多次重复实验的平均值为0。

很多人认为量子力学复杂而神秘。比如，“我了解一辆车子的全部状况，却无法说出其中任何一部分的细节”这种反直觉的描述，在量子力学的语境下是完全成立的。

量子力学研究的是微观粒子的运动规律，它比经典力学更为基础和普遍。量子力学推动了现代科技的进步。因此，了解量子力学，能够帮助我们更好地理解现实世界。但对于人类来说，微观粒子无法直接感知，因此学习起来困难重重。

弦论之父、斯坦福大学教授莱昂纳德·萨斯坎德，数十年来致力于为大众科普物理学知识。他的“理论小值”系列图书一经出版便广受好评，成为广大师生推崇的学习资料。在本书中，他通过10讲内容，清晰地解答了什么是量子纠缠、信息的传播速度能否超过光速、量子系统中是否存在“蝴蝶效应”、微观粒子是否拥有无数种状态等复杂又吸引人的问题，帮助读者轻松掌握量子力学。

莱昂纳德·萨斯坎德

世界知名理论物理学家，斯坦福大学教授。美国国家科学院院士，美国艺术与科学院院士，弦论的创始人之一。他和他所领导的研究小组进行了多年的研究，蕞终提出了一个震惊世界的观点：宇宙的发展需要外在的力量参与而非自身发展。

阿特·弗里德曼

数据顾问，曾在惠普做了15年软件工程师。他一生都在学习物理学。

作者序1  神奇的量子力学

作者序2  从美丽走向瞩目

前言  咱们希尔伯特之地见

引言  是时候应用全新的思考逻辑了

第1讲  系统与实验

第2讲  量子态

第3讲  量子力学基本原理  

第4讲  时间与变化

第5讲  不确定性与时间依赖

第6讲  复合系统：纠缠

第7讲  量子纠缠进阶

第8讲  粒子和波函数

第9讲  粒子动力学

第10讲 谐振子  

附录

很多人认为量子力学复杂而神秘。比如，“我了解一辆车子的全部状况，却无法说出其中任何一部分的细节”这种反直觉的描述，在量子力学的语境下是完全成立的。

量子力学研究的是微观粒子的运动规律，它比经典力学更为基础和普遍。量子力学推动了现代科技的进步。因此，了解量子力学，能够帮助我们更好地理解现实世界。但对于人类来说，微观粒子无法直接感知，因此学习起来困难重重。

弦论之父、斯坦福大学教授莱昂纳德·萨斯坎德，数十年来致力于为大众科普物理学知识。他的“理论小值”系列图书一经出版便广受好评，成为广大师生推崇的学习资料。在本书中，他通过10讲内容，清晰地解答了什么是量子纠缠、信息的传播速度能否超过光速、量子系统中是否存在“蝴蝶效应”、微观粒子是否拥有无数种状态等复杂又吸引人的问题，帮助读者轻松掌握量子力学。

莱昂纳德·萨斯坎德

世界知名理论物理学家，斯坦福大学教授。美国国家科学院院士，美国艺术与科学院院士，弦论的创始人之一。他和他所领导的研究小组进行了多年的研究，蕞终提出了一个震惊世界的观点：宇宙的发展需要外在的力量参与而非自身发展。

阿特·弗里德曼

数据顾问，曾在惠普做了15年软件工程师。他一生都在学习物理学。

第1讲 系统与实验

自旋与量子比特

粒子物理学中引入了“自旋”（spin）这一概念。除了空间中的位置，粒子还有其他属性，比如，它们可以带电，也可以不带电；可以有质量，也可以没有。一个电子当然不同于一个夸克或者一个中微子。但即便是同类型的粒子，只用位置并不能描述它的全部信息。还是来说说电子吧，电子拥有一个额外的自由度，被称作自旋。从朴素的角度来说，自旋可以图像化为一个带指向的小箭头，但这个朴素图像过于经典，无法精确地表现真实的情况。电子的自旋大概是量子力学味道的物理系统了，对它进行的任何经典力学图像化的尝试都将不得要领。

我们可以抽象出自旋这一思想，然后忘掉它原本是附着在电子上的，量子自旋本身就是一个值得研究的系统。实际上，这个从电子身上剥离下来的量子自旋，正是简单又特色的量子系统。

孤立的量子自旋正好给出了一类简单系统的例子，我们称之为量子比特（qubit），它在量子世界中扮演的角色恰如计算机中用来定义状态的逻辑比特。很多系统，甚至可能是所有系统，都能通过量子比特的组合方式来构造。因此在学习它的时候，我们同时也在学习更多量子比特之外的内容。

实验，以及不断重复

让我们用尽可能简单的例子来具体化这一思想。在《理论小值：经典力学》的第 1 讲中，我们的讨论始于一个非常简单的确定性系统：一枚硬币，它只能显示正（H）或反（T）两个面。我们称其为带有H和T两个态的双态系统，或者比特。更加形式化地，我们引入一个“自由度”σ，它可以取两个值： 1和-1。H态可以表示为：

σ = 1

而 T 态则可以表示为：

σ = -1

在经典力学中，这就是态空间的全部内容。系统要么处于态σ = 1，要么处于态σ = -1，不会处于两者之间。在量子力学里，我们认为这样的系统是一个量子比特。

《理论小值：经典力学》也讨论了一些简单的演化定律，它告诉我们态如何从一个时刻变化到另一个时刻。简单的定律就是没有任何变化，如果我们从某个离散的时刻n

进行到下一个时刻 n 1，演化的规律可以写作：

σ (n 1) = σ (n) （1-1）

现在让我们挖出在《理论小值：经典力学》中未被关注的隐藏假设：一次实验中涉及的东西超出被研究的系统本身，还包括了用于测量的仪器 和测量结果的记录。对于双态系统来说，仪器会和（自旋）系统相互作用，并记录σ的值。把仪器想象成一个黑箱，黑箱有一个用来显示测量结果的窗口，外边还有一个向上的箭头。向上的箭头很重要，它表示了仪器自己在空间中的指向，而这个指向将会影响测量结果。我们先让它指向z轴方向（如图1-1 所示）。

初始时，我们并不知道是σ = 1还是σ = -1，我们的目的就是做一个实验来找到σ的取值。

在仪器和自旋发生相互作用之前，窗口是空白的（在图中标记为问号），当对σ进行了测量之后，窗口显示出 1或者-1。通过读取仪器，我们就能测量出σ的数值。这一整套过程就构成了一个用于测量σ的非常简单的实验。

现在我们已经测量过一次σ了，然后把仪器重置到初态，而不去扰动自旋，再次测量σ的数值。假设演化定律遵从公式1-1，我们应该得到和次相同的结果。如果之前为σ = 1，第二次还是σ = 1；反之都是σ = -1。无论重复多少次测量，结果都将是一样的。这是件好事，因为可以用这种方法来确认实验的结果。换句话说就是：与仪器的次相互作用把系统制备到了两个态中的一个，后续的实验则确认了这个态。到目前为止，经典物理学和量子力学之间还没有差别。

接下来让我们玩点新东西。在使用仪器 测量自旋也就是制备好系统之后，我们将仪器倒置，再次测量σ（如图1-2所示）。如果原先制备的是σ= 1，我们会发现倒置的仪器测量的结果是σ =-1。类似地，如果原先是σ = -1，倒置的仪器记录的是σ = 1。换句话说就是，倒置仪器使得σ = 1和σ = -1 发生对换。根据这些结果，我们可以得出结论：σ是一个与空间方向相关的自由度。举例思考，假如σ是某种带指向的矢量，那么我们很自然地期待倒置仪器会得到一个相反的读数。有一个简单的解释是：仪器所测量的正是矢量在该仪器内嵌方向轴上的分量。但这样的解释在所有的情况下都说得通吗？

如果我们认定自旋是一个矢量，那我们就可以很自然地使用三个分量σx 、σy和σz来描述它。当把仪器指向上方时，我们就是在测量σz 。

到目前为止，量子力学和经典力学之间还没有差别。只有当我们把仪器转动到某个任意的角度时差别才出现，比如弧度 π/2（90°）。仪器在开始时指向上方（向上箭头指向z轴方向），自旋被制备到σ = 1。接着转动仪器 使得向上箭头指向x轴方向（如图1-3所示），这自然是在测量自旋的x分量σx。

如果σ真的代表一个矢量在向上方向上的分量，那结果应该为0。为什么呢？起始时我们可以确定σ是指向z轴方向的，自然说明它在x轴上的分量为0。但令我们惊讶的是，我们测出的σx并不是σx=0，而是σx= 1和σx =-1两者中的一个。无论仪器被转到了什么方向，它都不会给出σ =±1之外的任何答案。如果自旋真的是个矢量的话，那也算是非常奇特的一个了。

尽管如此，我们还是发现了一些有趣的东西。假定我们依照下列步骤重复操作很多次，即：

• 开始时 指向z轴方向，制备到σ= 1。
• 把仪器旋转到x轴的方向。
• 测量σ。

重复这个实验，仪器将吐出一串包含 1和-1的随机序列。也就是说，决定论（determinism）被打破了，而且是以一种特别的方式打破的。如果我们重复的次数非常多，就会发现σ = 1的事件数和σ = -1的事件数在统计上是一样多的。换句话说，σ的平均值是 0。经典的结果应该是σ在x 轴上的分量为0，我们发现这个结论要被取代，变成：多次重复实验的平均值为0。

本书描述的是蕞真实的量子力学。两位作者思路非常清晰，向我们展示了现实运作过程中蕞神秘的方面。如果你想弄清楚物理学家对世界的真实看法，那么这本书会是不错的选择。

肖恩·卡罗尔

理论物理学家，美国物理学会会士

本书文字风趣活泼，内容紧扣主题，叙述流畅、娓娓道来。我发现萨斯坎德和弗里德曼三言两语就解释清楚了量子力学中的一些概念，这真是太棒了。直到现在我都记得大学期间上量子力学课时那种困惑的感觉。为了帮助处于同样困境的学生，本书两位作者将一些概念化的知识加以整合，从而形成一个清晰的整体概念。他们有说服力的概述，以及他们坚持用准确的数学描述来解释量子力学的奇妙之处，可能正是我们所需要的。

《自然》杂志

如果你是一名正在学习量子力学的大学生或者量子力学爱好者，那么本书本书是不错的入门书。

《出版人周刊》