计算共形几何 (理论篇)

图书标准信息

• 作者 顾险峰；丘成桐
• 出版社 高等教育出版社
• 出版时间 2020-05
• 版次 1
• ISBN 9787040539288
• 定价 148.00元
• 装帧 其他
• 开本 16开
• 纸张 胶版纸
• 页数 648页
• 字数 640千字

【内容简介】

:
计算共形几何是跨领域的交叉学科，它将现代几何拓扑理论与计算机科学相融合，将经典微分几何、Riemann面理论、代数拓扑、几何偏微分方程的概念、定理和方法推广至离散情形，转换成计算机算法，广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、数字几何处理、计算机网络计算力学、机械设计以及医学影像等领域中。本书由丘成桐先生和顾险峰教授共同编写，立意深远——以初等数学概念为基础，以现代理论为目的，有机组织庞大丰富的知识体系，贯穿诸多数学分支，横跨数学和计算机科学，同时满足数学家和工程师的迫切需求。本书可供高等院校数学、计算机等各相关专业的广大师生参考，亦可供互联网开发、计算机视觉、人工智能、医学影像、建筑设计等领域的工程师和专业人士参考。

【作者简介】

顾险峰，纽约州立大学石溪分校计算机系终身教授，帝国创新冠名教授，哈佛大学数学科学与应用中心客座教授，清华大学丘成桐数学科学中心客座教授。师从丘成桐教授在哈佛大学获得计算机博士学位。共同创立“计算共形几何”学科，将其广泛应用于计算机图形学、计算机视觉、几何建模、无线传感器网络和医学影像等领域。创办“老顾谈几何”公众号，讲解现代拓扑几何理论及其计算方法和实际应用。

丘成桐，当代数学大师，哈佛大学讲座教授，1971年师从陈省身先生在加州大学伯克利分校获得博士学位。发展了强有力的偏微分方程技巧，使得微分几何学产生了深刻的变革。解决了Calabi猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支。

【目录】

目录：

第一章计算共形几何简介

1.1 理论简介

1.2 应用简介

第一部分代数拓扑

第二章基本群的概念

2.1 基本概念

2.2 基本群的表示

2.2.1 词群表示

2.2.2 基本群的典范表示

2.3 基本群的计算方法

2.3.1 图的基本群

2.3.2 曲面的基本群

2.4 一般拓扑空间的基本群

2.4.1 CW-胞腔分解

2.4.2 Seifert-van Kampen定理

2.4.3 纽结的基本群

2.5 覆盖空间的理论

2.5.1 覆盖空间

2.5.2 映射的提升

2.5.3 拓扑, 代数关系

2.5.4 一般覆盖空间

第三章光滑同伦

3.1 正则封闭曲线和正则同伦

3.2 环绕数

3.3 单位切丛的同伦群

3.4 球面曲线正则同伦

3.5 曲面横截相交

3.6 六面体网格生成

第四章同调群

4.1 基本方法

4.2 单纯同调理论

4.3 单纯复形和边缘算子

4.4 单纯同调群

4.5 同调群的计算

4.6 伦型不变量

4.6.1 单纯映射

4.6.2 链映射

4.6.3 链同伦

4.7 环柄圈和隧道圈算法

第五章上同调理论

5.1 上同调群的直观解释

5.2 单纯上同调群

5.3 上下同调群的对偶

5.4 外微分的概念

5.5 de Rham上同调的概念

5.6 拉回上同调群同态

5.7 上同调群的计算

5.8 Brouwer不动点定理

5.9 Lefschetz不动点定理

5.10 不动点类理论

5.11 Poincaré-Hopf定理

第六章上同调的Hodge 理论

6.1 物理解释

6.2 Hodge 星算子

6.3 Hodge 理论

6.4 离散Hodge 理论

第七章相对同调Mayer-Vietoris序列

7.1 相对同调和切除定理

7.2 约化同调

7.3 Mayer-Vietoris序列

7.4 Jordan-Brouwer分离定理

第二部分单复变函数的几何理论

第八章正规函数族

8.1 正规函数族的概念

8.2 全纯函数收敛到全纯函数

8.3 单叶函数收敛到单叶函数

8.4 Montel 定理

第九章几何畸变估计

9.1 全纯函数族

9.2 Gronwall面积估计定理

9.3 Koebe畸变定理

第十章Riemann 映射

10.1 Riemann 映射定理

10.2 唯一性证明

10.3 存在性证明

10.4 Riemann 映射的计算方法

10.4.1 Schwarz-Christoffel映射

10.4.2 全纯微分形式的方法

10.4.3 离散Ricci 流

第十一章拓扑环带的典范共形映射

11.1 共形映射的存在性和唯一性

11.2 拓扑环带的全纯微分方法

11.3 拓扑环带的Ricci 流方法

第十二章拓扑四边形的极值长度

12.1 极值长度

12.1.1 共形不变量

12.1.2 平直度量是极值度量

12.1.3 平直度量存在性

12.2 拓扑环带

12.3.1 存在性和唯一性

12.3.2 方块填充

12.3.2 方块填充

12.4 拓扑四边形共形模的计算方法

12.4.1 拓扑四边形的全纯微分方法

12.4.2 拓扑四边形的Ricci 流方法

第十三章多连通区域的狭缝映射

13.1 狭缝映射的存在性(Hilbert 定理)

13.1.1 Bieberbach定理的推论

13.1.2 狭缝映射

13.2 狭缝映射的全纯微分形式计算方法

13.2.1 恰当调和形式群

13.2.2 封闭非恰当调和形式群

13.2.3 全纯微分形式

13.2.4 狭缝映射

第十四章多连通区域到圆域的共形映射

14.1 Schwarz 反射原理

14.2 多重镜像反射

14.3 圆域映射的唯一性

14.4 圆域映射的存在性

第十五章Koebe迭代算法的收敛性

15.1 拓扑环带面积周长估计

15.2 解析延拓

15.3 误差估计

第十六章单值化定理的古典证明

16.1 Liouville定理

16.2 新月–满月引理

16.3 单值化定理

第十七章共形几何的概率解释

17.1 调和测度

17.2 Brown 运动和共形变换

17.3 最大双曲圆盘填充

17.4 组合单值化定理

17.5 概率解释

第三部分曲面论和几何逼近论

第十八章曲面论

18.1 曲面的标架和活动标架法

18.2 曲面的微分式及其几何

18.3 曲面的基本不变式

18.4 Gauss-Bonnet 定理

18.5 共形形变

18.6 协变微分

第十九章离散曲面

19.1 多面体曲面

19.2 欧氏Delaunay 三角剖分

19.3 微分余弦定理

第二十章几何逼近理论

20.1 曲率测度

20.2 管状邻域体积

20.3 离散法丛

20.4 不变二次微分式

20.5 Delaunay 加细算法

20.6 逼近误差估计

20.7 离散逼近定理的证明

第四部分调和映射

第二十一章拓扑圆盘的调和映射

21.1 调和函数的物理意义

21.2 调和函数的均值定理

21.3 调和函数的共形不变性

21.4 微分同胚性质

第二十二章拓扑球面的调和映射

22.1 非线性热流方法

22.1.1 外蕴法

22.1.2 内蕴法

22.2 调和映射和共形映射的关系

第二十三章调和映射理论

23.1 Sobolev空间的基本概念

23.2 Cα正则性理论

23.3 调和映射的概念

23.4 Hopf微分

23.5 调和映射的存在性

23.5.1 Courant-Lebesgue引理

23.5.2 调和映射的最大值原则

23.5.3 Dirichlet问题

23.5.4 全局调和映射的存在性

23.6 调和映射的正则性

23.7 Bochner公式

23.8 调和微分同胚

23.9 调和映射的唯一性

第二十四章调和映射的计算方法

第五部分Riemann 面

第二十五章Riemann 面理论基础

25.1 Riemann 面

25.2 覆盖空间

25.3 Riemann 面上的全纯和亚纯1-形式

25.4 除子

25.5 Riemann-Roch定理

25.6 亚纯微分

25.7 全纯1-形式的计算

第二十六章全纯二次微分

26.1 全纯1-形式

26.2 叶状结构

26.3 广义调和映射

第二十七章Teichmüller空间

27.1 曲面映射类群

27.2 模空间和Teichmüller空间

27.3 Teichmüller度量

27.4 拓扑环面的模空间

27.5 Teichmüller空间坐标

第二十八章拟共形映射

28.1 拟共形映射, Beltrami 系数和伸缩商.

28.2 Beltrami 方程

28.3 等温坐标

28.4 从共形结构到Riemann 度量

第二十九章Teichmüller映射411

29.1 极值长度的变分

29.2 最小模原理

29.3 二次微分诱导的高度

29.4 Reich-Strebel不等式

29.5 Teichmüller映射的唯一性

29.6 Teichmüller存在性定理

29.7 无穷小平庸Beltrami 微分

29.8 Teichmüller映射和调和映射

29.8.1 目标度量变分

29.8.2 源共形结构变分

第六部分双曲几何

第三十章双曲几何

30.1 平面双曲几何

30.1.1 双曲测地线和双曲等距变换

30.1.2 复交比.

30.1.3 理想双曲三角形

30.1.4 Poincaré圆盘模型

30.1.5 极限圆

30.2 双曲正弦、余弦定理

30.3 曲面的双曲结构

30.4 Thurston 的剪切坐标

30.5 Penner的-长度坐标

30.5.1 带装饰的双曲度量

30.5.2 角度坐标

第三十一章双曲多面体

31.1 双曲理想四面体

31.2 双曲多面体的体积

31.3 Shläfli体积微分公式

第七部分曲面Ricci 流

第三十二章连续曲面Ricci 流

32.1 Yamabe方程

32.2 Ricci 流方程

32.3 Ricci 流解的存在性

32.4 曲率的先验估计

32.5 收敛性

第三十三章离散曲面Ricci 流

33.1 顶点缩放变换

33.2 离散熵能量

33.3 离散熵能量的几何解释.

33.4 离散曲面Ricci 流算法

第三十四章多面体度量到双曲度量的转换

34.1 多面体度量到完备双曲度量

34.2 多面体度量到带装饰的双曲度量

34.3 带装饰的双曲Delaunay 三角剖分

34.4 顶点缩放操作对双曲度量的影响

第三十五章离散曲面Ricci 曲率流解的存在性

35.1 存在性定理陈述

35.2 多面体度量的Teichmüller空间

35.3 带装饰的双曲度量的Teichmüller空间

35.4 完备双曲度量的Teichmüller空间

35.5 Teichmüller空间之间的微分同胚

35.6 存在性证明

第三十六章离散曲面曲率流解的收敛性549

36.1 收敛性定理

36.2 主要技术工具

36.3 证明框架.

第三十七章双曲Yamabe流

37.1 双曲背景几何

37.2 双曲离散曲面曲率流

37.3 双曲离散曲率流的应用

第三十八章通用离散曲面Ricci 流理论

38.1 通用理论框架

38.2 相切圆盘填充的构形

38.3 推广圆盘填充构形

38.4 离散曲面Ricci 流

38.5 离散熵能量的几何解释

38.5.1 欧氏背景几何下逆向距离圆盘填充构形

38.5.2 双曲背景几何下逆向距离圆盘填充构形

38.5.3 球面背景几何下逆向距离圆盘填充构形

38.5.4 双曲几何虚半径圆盘填充构形

38.6 逆向距离的几何解释

38.7 Hesse矩阵的几何解释

38.7.1 欧氏背景几何

38.7.2 双曲、球面背景几何

38.8 双曲正弦、余弦定理

参考文献

名词索引

视频索引

算法演示