序与数 数概念的形成与演变
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作者冯琦
出版社清华大学出版社
ISBN9787302632023
出版时间2023-07
装帧精装
开本32开
定价98元
货号1203006248
上书时间2024-11-04
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商品详情
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作者简介
冯琦，湖北松滋人，1955年4月出生。哈尔滨工业大学计算机软件专业本科毕业；美国宾州州立大学数学专业博士毕业。曾任新加坡国立大学数学系讲师、高级讲师、教授；曾任清华大学数学系教授；曾任中国科学院数学所研究员、数学所副所长，以及中国科学院数学与系统科学研究院研究员；现为清华大学人文学院哲学系访问学者。专业研究方向为数理逻辑、集合论。著有《数理逻辑导引》(2017)、《线性代数导引》(2018)、《集合论导引》(3卷，2019)、《基本逻辑学》(2020)、以及《逻辑与发现》(预计2022)，均有科学出版社出版。
目录
第1章绪论1
1.1十九世纪末叶思想者对自然数观念的典型解释3
1.1.1弗雷格在《算术基础》解释自然数3
1.1.2赫尔姆霍兹否定算术知识的先验性12
1.1.3克罗内克定义自然数18
1.1.4戴德金论自然数的本质与含义20
1.1.5皮亚诺算术公理27
1.1.6对前述典型认知的几点评注29
1.2面临的基本问题及基本假设32
1.2.1思维过程涉及三种世界33
1.2.2关于抽象与抽象能力42
1.2.3关于数的哲学思考44
第2章比较与排序49
2.1生活中的比较问题49
2.2等同58
2.2.1相同关系58
2.2.2等价类与商集62
2.3关联准线性序与自然离散线性序66
2.3.1关联准线性序关系66
2.3.2线性序68
2.3.3关联准线性序之群体效应69
2.3.4关联准线性序之提升70
2.3.5一阶逻辑之量词78
2.3.6量词所辖变元之变化范围问题79
2.3.7关于抽象：从具体到一般80
2.3.8序结构比较问题81
2.3.9特殊字符串表及其字典序85
2.3.10居民扩展名之等价类中名字的字典序86
2.3.11商集M/中的元素与商集H0/中元素之比较88
2.3.12竹简书卷长短比较89
2.4“正”字字符串92
2.4.1从实物标识到“正”字字符串表示92
2.4.2“正”字字符串之有界部分团95
第3章序型算术与自然数98
3.1序同构与序型比较98
3.1.1等势98
3.1.2保序对应101
3.1.3序同构法则102
3.1.4自然离散线性序之刚性102
3.1.5序型表示问题106
3.1.6有限性与自然数107
3.1.7“自然数”之内涵108
3.2算术问题108
3.2.1合并操作与整合操作108
3.2.2无重合序合并与序型加法109
3.2.3序型加法111
3.2.4序型加法保持序型比较关系112
3.2.5整合操作与干支乘积123
3.2.6整合操作的基本性质125
3.3序型算术的实现126
3.3.1加法运算与乘法运算126
3.3.2运算保序规律131
3.3.3自然数数值内涵134
第4章正分数139
4.1平面直线线段长短比较问题139
4.1.1平面直线线段长短比较139
4.1.2平面长度度量假设144
4.2平面整齐矩形面积量146
4.2.1整齐矩形面积度量146
4.2.2长度量之乘法以及面积量148
4.2.3等分直线段与正分数149
4.3正分数算术律151
4.3.1发现正分数算术律151
4.3.2长度量均分假设155
4.3.3发现正真分数大小比较律155
第5章几何量158
5.1发现非分数几何量158
5.1.1单位正方形主对角线长度问题158
5.1.2发现双倍面积定理159
5.1.3发现勾股弦面积定理162
5.2几何原理168
5.2.1默认假设追问168
5.2.2欧几里得几何169
5.2.3刘徽计算中的几何直观假设171
5.2.4发现圆周率172
5.2.5“数之法出于圆方”173
5.2.6非有理几何量174
5.2.7无理数175
5.2.8几何量与正实数175
5.2.9平面夹角及其大小比较176
5.2.10平面上夹角的度量178
5.2.11发现正弦变化律179
5.2.12正弦值与三角形面积183
5.2.13正无理长度185
5.2.14正实数直线185
5.2.15非负实数轴与平面直线线段长度190
5.2.16镜面反射与负数192
5.2.17整数直线、分数直线、实数直线192
5.2.18实数轴195
第6章向量198
6.1实数平面与实数立体几何空间198
6.1.1笛卡尔直角坐标系198
6.1.2欧几里得平面参照系201
6.1.3笛卡尔距离空间203
6.1.4立体欧几里得空间参照系206
6.1.5向量空间208
6.1.6内积空间214
6.1.7高维向量空间中的内积216
6.2向量内积空间上的变换217
6.2.1平移217
6.2.2旋转220
6.2.3旋转矩阵221
6.2.4矩阵之代数运算223
6.2.5旋转复合230
第7章超限序数235
7.1对应与函数235
7.2康托建立集合论239
7.2.1认识实变函数239
7.2.2区分可排列与不可排列244
7.2.3康托引入超限序数246
7.2.4公理化之路254
7.2.5集合论语言：形式规则、形式语义以及形式判断256
7.2.6无穷集合存在性259
7.2.7笛卡尔乘积以及交、并、差运算268
7.2.8函数概念以及等价关系概念271
7.2.9集合之势比较与等势274
7.3有限数的集合表示275
7.3.1自然数大小比较275
7.3.2有限集合276
7.3.3自然数平面之序与势278
7.3.4递归定义280
7.3.5自然离散线性序表示定理282
7.3.6自然数算术285
7.3.7整数及其算术286
7.3.8有理数算术及其线性序287
7.3.9有理数基本序列289
7.3.10实数有序域291
7.3.11希尔伯特“关于实数概念”298
7.4秩序与序数301
7.4.1秩序集合302
7.4.2序数303
7.4.3秩序典型代表问题306
7.4.4序数算术309
7.4.5秩序化问题313
7.4.6集合论论域累积层次314
7.4.7集合论公理体系ZFC315
7.4.8基数315
7.4.9基数之和与积319
第8章无穷小量321
8.1无穷小量与非标准实数轴321
8.2非标准实数轴的超幂构造324
8.2.1自然数集合上的超滤子324
8.2.2实数轴的一个超幂325
8.2.3自然数算术非标准模型328
索引330
内容摘要
本书涉及有关自然数的本体论和认识论的基本问题。十九世纪后半叶，多位数学思考者、哲学思考者围绕自然数这一概念展开过一系列探索。其结果各有所长、各有千秋，但都不尽如人意。原因在于人们只注意到自然数的有限基数特点而疏忽了自然的实在的刚性的序特点。我国古代充满智慧的先人们则早已驾轻就熟地应用这种序结构来表达思想。
本书试图从自然界的序现象出发，结合我国古代先人应用序的智慧，阐明这种几乎无处不在的“序结构”如同到处可见的“几何结构”一样，是人类一种来自生活经验的认识之源，有关自然数及其运算律的认识也和有关几何知识的认识一样源于对客观世界的感知。本书试图以严格的数学方式来论证自然数这一概念从其依赖的本源到抽象独立出来，成为柏拉图所说的“永恒之物”的自然和典型的思维路径，以及从自然数到实数的根本发展途径的典型性，从而对有关数概念的一些认识论问题提出具有说服力的见解。
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本书是数学哲学方面的一本论著，涉及有关自然数的本体论和认识论的基本问题。十九世纪后半叶，多位数学思考者、哲学思考者围绕自然数这一概念展开过一系列探索。其结果各有所长、各有千秋，但都不尽如人意。原因在于人们只注意到自然数的有限基数特点而疏忽了自然的实在的刚性的序特点。我国古代智慧的先人们则早已驾轻就熟地应用这种序结构来表达思想。
本书试图从自然界的序现象出发，结合我国古代先人应用序的智慧，阐明这种几乎无处不在的“序结构”如同到处可见的“几何结构”一样，是人类一种来自生活经验的认识之源，有关自然数及其运算律的认识也和有关几何知识的认识一样来源于对客观世界的感知。本书试图以严格的数学方式来论证自然数这一概念从其依赖的本源到抽象独立出来，成为柏拉图所说的“永恒之物”的自然和典型的思维路径，以及从自然数到实数的根本发展途径的典型性，从而对有关数这一概念的一些认识论问题提出具有说服力的见解。
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