数学家讲解小学数学

前  言
本书是关于小学数学课程的教科书，读者对象是小学数学教师。特别地，它强调课程中重要的部分——数和运算。
这本书与写给小学生的学生用书有什么区别呢？明显的不同之处是本书讲解得比较简洁，这是因为成人的注意力时间更长，并且熟练程度更高；同时本书也强调前后一致、合乎逻辑的论证，而不是简单地空喊逻辑性的口号。此外，在适当的时候本书会毫不犹豫地利用符号语言来增强数学解释的清晰性，但同时必须说明一点，引进符号要非常小心，并且要做到循序渐进。由于目前一致认为，数学教师所知道的知识应该超过他所教的课程的水平，所以本书也讨论一些更适合初一、初二年级的课题，例如有理数（正、负分数）、欧几里得算法、正整数素分解的性，以及分数转化为小数（可能有限，可能无限）。教师们需要解答来自学生的一些问题，而有的问题可能非常艰深，所以他们对于自己所教的课程知识不能仅停留在水平。理想的情况是，教师对数学的“理解”应该与数学家们所指的“理解”意义相同：理解一个概念，意味着要理解它的准确定义、直观内容，以及为何需要这个概念、在什么背景下它会发挥作用；理解一个技巧，意味着清楚地理解它的操作方法、使用背景、证明方法和发现动机，并会在不同情况下正确使用它。出于这个原因，本书试图提供一些必要的信息，以便教师们在课堂上可以游刃有余。
自然数、分数和有理数是中小学课程的基础。本书与学生用书的重要的区别是，它全面、系统地展示了自然数、分数和有理数的数学发展过程。由于近年来在讨论数学教育时强调数学的连贯性，因此这样的数学发展过程具有重大的意义。数学的连贯性并不像蒙娜丽莎的微笑那样不可形容。它是构成数学的一种品质，它的具体表现影响到数学的每一个方面。如果我们想要呈现一门连贯的课程，就必须至少用一种不违背学生学习规律的、符合逻辑的、连贯的方法来展示中小学数学。不幸的是，长期以来，很少见到这样的展示方法。这是因为数学界完全忽视了这一社会责任。
忽视导致的结果众所周知：数学教科书和中小学数学课程中充满了离谱的语言。例如，我们经常见到利用分数乘法“解释”为什么对于任何分数m\n以及非零整数c，有 m\n=cm\cn。再如分数四则运算的教学中，似乎“分数是另外一种不同类型的数”，并且似乎分数的四则运算与自然数的四则运算毫无关系。再如，十进制小数的教学既相似于又区别于分数的教学，而不是正确地把小数展示为分数的一部分。
本书本身并没有故意“标榜”连贯性，而是要处处用“实际行动”来体现连贯性。书中系统的数学发展过程，能够指出一系列逻辑严密的概念及其与技巧之间的各种相互关系。例如，本书指出，如果做法正确，那么通过长除法把分数转化为小数的一般计算方法事实上就是分数乘积公式(m\n)*( k\l)=mk\nl的推论。本书还指出等价分数定理（即m\n=cm\cn）对于理解分数的每个方面起到了巨大的重要作用。从整部书来看，读者在系统的数学发展过程中可以感受到，加、减、乘、除等概念从自然数到分数、有理数，后到实数的演化过程是连续的。（这里的“实数”是中小学数学背景下的实数）尽管每种运算在不同的上下文中表面上看起来不同，但是本书解释了为什么它自始至终其实是同一个概念。因此，有了系统的数学发展过程，读者可以返回来从整体的观点看待数，并由此获得一种新的视角，即如何将各种不同片段形成一个整体结构。简而言之，这样的发展过程体现了连贯性的本质。现在的师范大学和教育学院在很长时间以来教给教师们的都是不连贯的数学。
事实上，在训练数学教师的过程中，数学内容的重要性只在近几年才（或多或少地）被教育界所承认。到目前为止，我们还是没有很好地为教师提供基本的数学知识（例如，参见【Wu11】中的讨论）。同时我们要指出，虽然目前有越来越多的人已经开始认识到这个问题，但还需要认识中小学数学的众多缺点。不管是传统的中小学数学，还是近所谓“改革”后的中小学数学，都确实存在着一定的缺点。这些缺点的出现是数学界与教育界长期分离导致的不可避免的结果。例如，像“27\6=4….3”这样荒谬的东西，早应该在几十年前就被能有能力的数学家矫正了。因为许多这样的错误在正文中都会提到，所以没有必要在此重复。这种分离是怎样发生的呢？我不能为教育界说话。我敢很自信地说，数学家一般避免卷入教育界，有两个原因：一方面，他们认为教育是个无底洞，在这个无底洞里很多工作都会付之东流；另一方面，他们还认为中小学数学是微不足道的。对于前者，我没什么可说的，但后者是错误的。中小学数学可能是初等的，但并非微不足道，除非写书的方式使得它看起来微不足道。然而，已经有不计其数的书和文章把中小学数学描述得微不足道。实际上，这一现状对于一些优秀的数学家来说应该是个强有力的号召，号召他们进入教育界来阻止糟糕的事情发生。由这两个学界的分离而导致了灾难，现在是该让他们弥补过错的时候了。
本书是一个数学家尝试对6年级以前的数学进行的系统性展示。接下来为初中教师和高中教师所写的几册书将完成其余年级的课程。我热切地希望，更多的人能继续坚持下去，使得我们能全面地改造对教师的数学教育。我们的教师应该受到更好的教育，而孩子们更应该受到更好的教育。
我也希望这本书与它的姐妹篇高年级册能够达到另外两个目的。一个是为数学教学工作者的研究提供一个更扎实的起点。在错误数学的基础上做教育研究，无异于试图在错误实验数据的基础上建立物理学理论。但是非常遗憾，目前错误的数学在教育工作者中用得多，现在是时候做一些改变了。第二个目的是为教科书出版社提供一点资源。教科书的质量必须提高，但是出版社有一个正当的借口，那就是没有文献资料可以帮助他们做得更好些。这本书以及接下来的几册书可能会为他们提供所需的帮助。 本书是我十多年来试验为中小学教师讲授数学的产物。起初是我在1998年3月组织了关于分数的讨论班（【Wu98】）。本书重要的第2部分正是对【Wu98】的一个扩展。这些年来，我已经面向在职教师讲授了这本书的不同部分，但是在一门常规的大学课程上，这本书对于一个学期来说内容太多了。建议学期的教学大纲如下：第1-9章，第12-22章，第32章。第二学期则可以讲解：第10-11章，第25-42章。

《数学家讲解小学数学》面向中小学数学教师，强调准确的数学知识与恰当的讲授方法。本书思路清晰，由浅入深，循序渐进，全面深入地讨论了小学数学课程中关于数的各个主题：自然数、整数、分数、有理数和实数。

伍鸿熙教授1963年获美国麻省理工学院博士学位，是国际著名微分几何学家，美国加州大学伯克利分校数学教授，美国国家数学教育专家咨询组成员。伍鸿熙教授1992年开始关注中小学数学教育，1998年至今一直致力于美国中小学数学教师的培训与数学教育的改革工作。

部分

第1章       位值制

1.1    怎样记数

1.2    位值制

1.3    符号语言的使用

1.4    数轴

1.5    比较书的大小（初步）

1.6    乘法和数的展开式

1.7    关于0

1.8    阿拉伯记数法

练习

第2章       基本运算定律

2.1 等于号

2.2 加法的交换律和结合律

2.3 乘法的交换律和结合律

2.4 分配律

2.5 比较数的大小（结论）

2.6 加法的交换律和结合律的应用

练习

第3章       标准的运算法则

第4章       加法的运算法则

4.1 加法运算法则的基本思想

4.2 加法运算法则及其解释

4.3 关于加法运算法则的几点重要的注记

练习

第5章       减法的运算法则

5.1 减法的定义

5.2 减法的运算法则

5.3 对减法运算法则的解释

5.4 如何使用数轴介绍减法

5.5 一种特殊的计算方法

5.6 减法的性质

练习

第6章       乘法的运算法则

6.1 乘法的运算法则

6.2 对乘法运算法则的解释

练习

第7章       长除法的运算法则

7.1 从乘法的角度看待除法

7.2 带余除法

7.3 长除法的运算法则

7.4 对长除法运算法则的数学解释（初步）

7.5 对长除法运算法则的终数学解释

7.6 关于长除法的一些重要注记

练习

第8章       再谈数轴和四则运算

8.1 再谈数轴、加法和减法

8.2 单位的重要性

8.3 乘法

8.4 除法

8.5 乘法概念的简史

第9章 数是什么？

第10章 对于估计的评论

       10.1 四舍五入

       10.2 误差和相对误差

       10.3 为什么要做估计？

       10.4 单位“米”的简史

       练习

第11章 任意进制数

       11.1 基本定义

       11.2 展开式法则

       11.3 七进制数的计算

       11.4 二进制的计算

       练习

第二部分 分数

第12章 分数和十进制小数的定义

       12.1引言

       12.2 基本定义

       12.3 十进制小数

       12.4 单位的重要性

       12.5 面积模型

       12.6 分数在数轴上的位置

       12.7 需要思考的问题

       练习

第13章 等价分数与分数对的基本事实

       13.1 等价分数定理（约分法则）

       13.2 等价分数定理在小数中的应用

       13.3 定理13.1的证明

       13.4 分数对的基本事实

       13.5 交叉相乘法则

       13.6 分数对的基本事实的背景

       练习

第14章 分数加法与小数加法

       14.1 分数加法的定义以及一些直接推论

       14.2 小数加法

       14.3 带分数

       14.4 对加法公式的改进

       14.5 对使用计算器的一点评论

      14.6 分数加法的一个重要例子

      练习

第15章 等价分数的进一步应用

      15.1 分数的另一种观点

      15.2 自然数除法的另一种观点

      15.3 比较分数的大小

      15.4 “k/l的m/n”的概念

      练习

第16章 分数乘法与小数乘法

      16.1 分数减法和小数减法

      16.2 不等式

      练习

第17章 分数乘法与小数乘法

      17.1 分数乘法的定义以及乘积公式

      17.2 乘积公式的直接应用

      17.3 分数乘法的第二种解释

      17.4 不等式

      17.5 文字问题与数字问题

      练习

第18章 分数除法

      18.1 分数除法概述

      18.2 分数除法的定义和运算法则

      18.3 分数除法的应用

      18.4 小数除法

      18.5 不等式

      18.6 错误的学说

      练习

第19章 繁分数

      19.1 繁分数计算的基本技巧

      19.2 繁分数为什么重要？

      练习

第20章 百分数

      20.1 百分数

      20.2 相对误差

      练习

第21章 中小学数学基本假设

第22章 比例与比率

      22.1 比例

      22.2 为何要讨论比例？

      22.3 比率

      22.4 单位

      22.5 分工合作问题

      练习

第23章 一些有趣的应用题

练习

第24章 小学数学中分数 的教学

第三部分 有理数

第25章 有理数

第26章 有理数的另外一种观点

第27章 有理数的叫减法

      27.1 向量的定义

      27.2 特殊向量的加法

      27.3 有理数的加法

      27.4 具体计算

      27.5以加为减

      练习

第28章 再谈有理数的加法

      28.1 关于加法的假设

      28.2 基本事实

      28.3 具体计算

      28.4 基本假设和基本事实的复习<