计算方法与实习

1绪论1.1计算方法的对象与特点计算方法是研究数学问题的数值解及其理论的一个数学分支，它的涉及面很广，如代数、微积分、微分方程等都有数值解的问题.自电子计算机成为数值计算的主要工具以来，计算方法主要研究适合于在计算机上使用的数值计算方法及与此相关的理论，包括方法的收敛性、稳定性以及误差分析，还要根据计算机的特点研究计算时间最短、需要计算机内存最少的计算方法.某些在理论上虽然不够严格，但通过实际计算、对比分析等手段，被证明是行之有效的方法也可采用.因此计算方法除具有数学的抽象性与严格性外，还具有应用的广泛性与实际试验的技术性等，是一门与计算机密切结合的实用性很强的课程.1.2误差的来源及误差的基本概念1.2.1误差的来源一个物理量的真实值和我们算出的值往往不相等，其差称为误差.引起误差的原因是多方面的.（1）将实际问题转化为数学问题，即建立数学模型时，对被描述的实际问题进行了抽象和简化，忽略了一些次要因素，这样建立的数学模型虽然具有“精确”“完美”的外衣，其实只是客观现象的一种近似.这种数学模型与实际问题之间出现的(2)在给出的数学模型中往往涉及一些根据观测得到的物理量，如电压、电误差称为模型误差.流、温度、长度等，而观测不可避免会带有误差，这种误差称为观测误差.(3)在计算中常常遇到只有通过无限过程才能得到最终结果，但实际只能通过有限过程来计算(如无穷级数求和，只能取前面有限项求和来近似代替），于是产生了有限过程代替无限过程的误差，称为截断误差.这是计算方法本身出现的误差，所以也称为方法误差.这种误差是本课程中需要特别重视的.（4）在计算中遇到的数据可能位数很多，也有可能是无穷小数，如√2，1/3，…，但计算时只能对有限位数进行运算，因而往往进行四舍五入，这样产生的误差称为舍入误差.少量舍入误差是微不足道的，但在电子计算机上完成了千百万次运算后，舍入误差的积累值有时可能是十分惊人的.由以上误差来源的分析可以看到：误差是不可避免的，要求数据绝对准确、绝对严格实际上是办不到的.既然描述问题的方法都是近似的，那么要求结果的绝对准确也就没有意义了.因此在计算方法里讨论的都是近似解，那种认为近似解是不可靠的、不准确的看法是错误的，应该认为求近似解是正常的，问题是怎样设法尽量减少误差，提高精度.在上述四种误差来源的分析中，前两种误差是客观存在的，后两种是由计算方法及计算过程所引起的.本课程是研究数学问题的数值解法，因此只涉及后两种误差.

本书分两篇。第1篇为计算方法，包括误差分析、方程求根、线性方程组数值解法、矩阵的特征值及特征向量的计算、插值法、曲线拟合、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、偏微分方程数值解法等9章，各章末有内容小结、复习思考题和习题。第2篇为计算实习，用于指导学生上机实习，也可供学生自学。与第1篇各章相配套，该篇共有9个实习，每一实习均给出了实习目的与要求、算法概要、用C++和MATLAB语言编写并调试通过的程序、实例及上机实习题和答案。