凸优化算法
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作者[印]尼什·K.毗湿诺(Nisheeth K. Vishnoi)
出版社机械工业
ISBN9787111746638
出版时间2024-05
装帧其他
开本其他
定价99元
货号32066969
上书时间2024-10-15
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商品详情
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作者简介
尼什·K.毗湿诺（NisheethK.Vishnoi） 耶鲁大学计算机科学A.BartlettGiamatti教授，拥有孟买理工学院计算机科学与工程学士学位和佐治亚理工学院算法、组合学与优化博士学位。他的研究领域包括理论计算机科学、优化和人工智能。他获得过2005年IEEEFOCS最佳论文奖、2006年IBMResearchPatGoldberg纪念奖、2011年印度国家科学院青年科学家奖和2019年ACMFAccT最佳论文奖。他于2019年当选为ACM会士。<br/>
目录
目 录<br />译者序<br />前言<br />致谢<br />记号<br />第 1 章 连续优化与离散优化的关联 1<br />1.1 一个例子：最大流问题 1<br />1.2 线性规划6<br />1.3 基于内点法的快速精确算法 9<br />1.4 简单线性规划之外的椭球法 10<br />第 2 章 预备知识 13<br />2.1 导数、梯度和黑塞矩阵 13<br />2.2 微积分基本定理 14<br />2.3 泰勒近似 15<br />2.4 线性代数、矩阵和特征值 16<br />2.5 柯西–施瓦茨不等式 18<br />2.6 范数 19<br />2.7 欧几里得拓扑 20<br />2.8 动力系统 21<br />2.9 图 21<br />2.9.1 图上的结构 22<br />2.9.2 图的关联矩阵 23<br />2.9.3 与图相关联的多胞形 24<br />习题 24<br />注记 28<br />第 3 章 凸性 29<br />3.1 凸集 29<br />3.2 凸函数 30<br />3.3 凸性的作用 35<br />3.3.1 凸集的分离超平面和支撑超<br />平面 35<br />3.3.2 次梯度的存在性37<br />3.3.3 凸函数的局部最优值是全局<br />最优值 38<br />习题 39<br />注记 41<br />第 4 章 凸优化与高效性 42<br />4.1 凸规划 42<br />4.2 计算模型 44<br />4.3 凸集的从属问题 45<br />4.4 优化问题的求解 50<br />4.5 凸优化的多项式时间概念 53<br />习题 55<br />注记 57<br />第 5 章 对偶性与最优性 58<br />5.1 Lagrange 对偶 58<br />5.2 共轭函数 63<br />X<br />5.3 KKT 最优条件 65<br />5.4 Slater 条件下的强对偶性证明 66<br />习题 67<br />注记 70<br />第 6 章 梯度下降法 71<br />6.1 预备 71<br />6.2 梯度下降法概论 71<br />6.2.1 为什么要沿梯度下降 72<br />6.2.2 关于函数、梯度和初始点的<br />假设 73<br />6.3 梯度 Lipschitz 连续时的分析 75<br />6.3.1 下界 79<br />6.3.2 约束优化的投影梯度下<br />降法 80<br />6.4 应用：最大流问题 81<br />6.4.1 s-t 最大流问题 81<br />6.4.2 主要结果 82<br />6.4.3 建模成无约束凸规划 82<br />6.4.4 梯度下降法中的步骤 84<br />6.4.5 运行时间分析 85<br />6.4.6 处理近似解 86<br />习题 86<br />注记 90<br />第 7 章 镜像下降法和乘性权重更<br />新法 92<br />7.1 Lipschitz 梯度条件之外 92<br />7.2 局部优化原理与正则化项 93<br />7.3 指数梯度下降法 96<br />7.3.1 指数梯度下降法的主要<br />定理 99<br />7.3.2 Bregman 散度的性质 99<br />7.3.3 指数梯度下降法的收敛性<br />证明 101<br />7.4 镜像下降法 103<br />7.4.1 指数梯度下降法的推广和近<br />端视角 103<br />7.4.2 镜像下降法的算法表述 104<br />7.4.3 收敛性证明 105<br />7.5 乘性权重更新法 107<br />7.6 应用：二部图的完美匹配 108<br />7.6.1 主要结果 109<br />7.6.2 算法 110<br />7.6.3 分析 110<br />习题 113<br />注记 122<br />第 8 章 加速梯度下降法 123<br />8.1 预备 123<br />8.2 加速梯度下降法的主要结果 124<br />8.3 证明策略：估计序列 124<br />8.4 估计序列的构造 126<br />8.4.1 步骤 1：迭代的构造 126<br />8.4.2 步骤 2：确保下界条件 128<br />8.4.3 步骤 3：确保上界和 yt 的<br />动态更新 129<br />8.4.4 步骤 4：确保条件（2）和<br />xt 的动态更新 131<br />8.5 算法及其分析 131<br />8.6 强凸光滑函数的一种算法 133<br />8.7 应用：线性方程组 134<br />习题 136<br />注记 138<br />XI<br />第 9 章 牛顿法139<br />9.1 求一元函数的根 139<br />9.1.1 迭代规则的推导 139<br />9.1.2 二次收敛 141<br />9.2 多元函数的牛顿法 142<br />9.3 无约束优化的牛顿法 143<br />9.3.1 从优化到求根 143<br />9.3.2 作为二阶方法的牛顿法 144<br />9.4 分析初探 145<br />9.4.1 欧氏范数意义下的收敛<br />问题 146<br />9.4.2 牛顿法的仿射不变性 148<br />9.5 视为最速下降的牛顿法 148<br />9.5.1 局部范数意义下的最速下<br />降法 150<br />9.5.2 局部范数是黎曼度量 152<br />9.6 基于局部范数的分析 152<br />9.6.1 一个新的势函数 153<br />9.6.2 局部范数的界 154<br />9.6.3 局部范数收敛性的证明 155<br />9.7 基于欧氏范数的分析 158<br />习题 159<br />注记 161<br />第 10 章 线性规划的内点法 162<br />10.1 线性规划 162<br />10.2 利用障碍函数求解约束优化<br />问题 163<br />10.3 对数障碍函数 164<br />10.4 中心路径 165<br />10.5 线性规划的路径跟踪算法 166<br />10.6 路径跟踪算法的分析 169<br />10.6.1 终止条件 172<br />10.6.2 初始化 176<br />10.6.3 定理 10.10的证明 182<br />习题 183<br />注记 188<br />第 11 章 内点法的变体与自和谐性 189<br />11.1 最小成本流问题 189<br />11.1.1 是否为基于线性规划的快<br />速算法 190<br />11.1.2 路径跟踪内点法的问题 190<br />11.1.3 剔除全维性的线性规划 191<br />11.2 一种求解线性规划标准型的内<br />点法 192<br />11.2.1 有等式约束的牛顿法 193<br />11.2.2 在子空间上定义黑塞矩阵<br />和梯度 194<br />11.2.3 在子空间上定义牛顿步及<br />NL 条件 196<br />11.2.4 线性规划标准型的内<br />点法 197<br />11.3 应用：最小成本流问题 199<br />11.4 自和谐障碍 202<br />11.4.1 重新审视对数障碍的<br />性质 202<br />11.4.2 自和谐障碍函数 204<br />11.5 使用自和谐障碍函数求解线性<br />规划问题 204<br />11.5.1 体积障碍 206<br />11.5.2 Lee-Sidford 障碍 208<br />11.6 使用自和谐障碍的半定规划.210<br />11.7 使用自和谐障碍的凸优化 212<br />XII<br />习题 213<br />注记 217<br />第 12 章 线性规划的椭球法 219<br />12.1 具有指数数量约束的 0-1 多<br />胞形 219<br />12.1.1 内点法的问题：匹配多胞<br />形的情况 220<br />12.1.2 高效分离反馈器 221<br />12.2 割平面法 222<br />12.2.1 用二分搜索将优化问题约<br />化为可行性问题 222<br />12.2.2 用割平面法检验可行性 224<br />12.2.3 Et 和 xt 的可能选择 226<br />12.3 椭球法 227<br />12.3.1 算法 228<br />12.3.2 算法分析 229<br />12.4 椭球的体积下降和效率分析 230<br />12.4.1 仿射变换下的体积和<br />椭球 231<br />12.4.2 对称情况 233<br />12.4.3 一般情况 234<br />12.4.4 关于位精度问题的探讨 236<br />12.5 应用：0-1 多胞形的线<br />性优化 237<br />12.5.1 保证最优解的唯一性 238<br />12.5.2 多胞形体积的下界 238<br />12.5.3 分式解的舍入239<br />12.5.4 定理 12.5 的证明 240<br />12.5.5 全维性假设 240<br />习题 241<br />注记 244<br />第 13 章 凸优化的椭球法 246<br />13.1 如何使用椭球法进行凸优化 246<br />13.2 应用：次模函数最小化 248<br />13.2.1 0 1 多胞形的分离反<br />馈器 248<br />13.2.2 SFM 的一个算法：Lovász<br />延拓 252<br />13.2.3 最小化 Lovász 延拓的多项<br />式时间算法 252<br />13.3 应用：最大熵问题 254<br />13.3.1 最大熵凸规划的对偶 255<br />13.3.2 用椭球法求解对偶问题 256<br />13.3.3 生成树情形的多项式时间<br />算法 256<br />13.4 运用椭球法的凸优化 259<br />13.4.1 从多胞形到凸集 259<br />13.4.2 凸优化算法 260<br />13.4.3 定理 13.1 的证明 261<br />13.5 割平面法的变体 265<br />13.5.1 保持一个多胞形而不是椭<br />球体 265<br />13.5.2 体积中心法 266<br />13.5.3 混合中心法 267<br />习题 267<br />注记 271<br />参考文献 273
内容摘要
本书的目标是让读者深入了解凸优化算法。重点是从基本原理推导出凸优化的关键算法，并根据输入长度建立精准的运行时间界限。鉴于这些方法的广泛适用性，一本书不可能展示这些方法对所有方法的应用。本书展示了对各种离散优化和计数问题的快速算法的应用。本书中选择的应用程序旨在说明连续优化和离散优化之间相当令人惊讶的桥梁。
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