数论入门：从故事到理论

本书是一本面向中学生的简明的数论辅导书，高屋建瓴地总结出了中学数论中的重要知识点（如数的整除性、同余、数论函数、不定方程、连分数等），对中学数论的定理、概念等结合例题和小故事进行了详细的讲解，并提炼、编创了一些特别能启发思维的练习题。通过这些练习，读者可在中学数论的知识和方法等方面有所收获和得到启发。本书适合中学生学习，也可供中学数学教师参考。

单墫，我国数学传播、普及和数学竞赛领域的著名专家。1964年毕业于扬州师范学院数学系，在中学、大学任教40多年。1983年获理科博士学位（我国首批18名博士之一），1991年当选全国“优秀教师”，1991年7月起享受政府特殊津贴，1992年评为国家有突出贡献的中青年专家，1995年评为江苏省“优秀学科带头人”。曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参加国际数学奥林匹克（IMO）均获总分第一，为我国数学竞赛事业做出很大贡献。

前言

第1章 自然数

1. 结绳记事


2. 奶奶和树一样大


3. 大小有序


4. 无穷


5. 痴儿写万


6. 零


7. 进位制


8. 天才


9. 先令与便士


10. 数字和


11. 箱子编号


12. 3的幂与幂的和


13. 数排圆上


14. 低保数


15. 幸运票


16. 两头蛇数


17. 123黑洞


18. 众生平等


19. 为什么2 3=5


20. 皮亚诺的五条公理


21. 公鸡的智慧


22. 为什么5-3=2


23. 快把新人迎进来

练习1

解答1

第2章 乘法

1. 哈哈镜王国


2. 请用我的筛子


3. 质数的问题


4. 质因数分解


5. 数轴上标数


6. 最小公倍数


7. 简朴


8. 或者89，或者1


9. 立方数


10. 组成等式


11. 不同的质因数个数


12. 与质数有关的表


13. n!中p的次数


14. 连续整数之积


15. 此题不难


16. 整除组合数


17. 它是合数


18. 真因数


19. 德不孤，必有邻


20. 连绵的勾股数组


21. 包罗万象


22. 承袭与发展

练习2

解答2

第3章 除法

1. 整除


2. 带余除法


3. 一件厉害的武器


4. 同余式的应用


5. 《一千零一夜》


6. 裴蜀定理


7. 唯一分解定理


8. 谈祥柏先生


9. 一模一样的日历


10. 干支纪年


11. 身份证的验证码


12. 复活节

练习3

解答3

第4章 奇偶分析与幂

1. 奇数与偶数


2. 奇偶分析


3. 自相矛盾


4. 肯定的结果


5. 平方数


6. 四个平方数的和


7. 立方数

练习4

解答4

第5章 发现新天地

1. 分数与有理数一样吗


2. 分数与小数


3. 0.9=？


4. 单位分数


5. 成A. P. 的单位分数


6. Farey数列


7. 最接近的分数


8. 比比谁的人马多


9. 苏格拉底


10. 2


11. 崭新的证明


12. 无限不循环小数


13. π


14. 共轭


15. 一个人需要多少土地


16. 实数的连续性


17. 兔子


18. 兔子跑了出来


19. 逼近


20. 五朵金花

练习5

解答5

第6章 一次不定方程

1. 买鸡的故事


2. 二元一次方程


3. 同余方程


4. 韩信点兵


5. 中国剩余定理


6. 整线性组合


7. 问题举隅


8. 太阳神的牛

练习6

解答6

第7章 同余

1. 如来佛的手掌


2. 苹果与抽屉


3. Zp的构造


4. Wilson定理


5. Fermat小定理


6. 组合数


7. 铅刀一割


8. 完系三题


9. 有,还是没有


10. 伪素数


11. 美丽数


12. 神龙见首尾


13. 神仙数


14. 自然数的等差数列


15. 大显身手

练习7

解答7

第8章 数论函数

1. [x]


2. d(n)

3.σ(n)

4.φ(n)

5.μ(n)