数学要素（全彩图解 + 微课 + PYTHON编程）

感谢
首先感谢大家的信任。
　　作者仅仅是在学习应用数据科学和机器学习算法时，多读了几本数学书，多做了一些思考和知识整理而已。知者不言，言者不知。知者不博，博者不知。由于作者水平有限，斗胆把自己所学所思与大家分享，作者权当无知者无畏。希望大家在B站视频下方和Github多提意见，让这套书成为作者和读者共同参与创作的作品。
　　特别感谢清华大学出版社的栾大成老师。从选题策划、内容创作到装帧设计，栾老师事无巨细、一路陪伴。每次与栾老师交流，都能感受到他对优质作品的追求、对知识分享的热情。

出来混总是要还的
　　曾几何时，考试是我们学习数学的动力。考试是头悬梁的绳，是锥刺股的锥。我们中的大多数人从小到大为各种考试埋头题海，数学味同嚼蜡，甚至让人恨之入骨。
　　数学给我们带来了无尽的“折磨”。我们甚至恐惧数学，憎恨数学，恨不得一走出校门就把数学抛之脑后，老死不相往来。
　　可悲可笑的是，我们很多人可能会在毕业的五年或十年以后，因为工作需要，不得不重新学习微积分、线性代数、概率统计，悔恨当初没有学好数学，甚至迁怒于教材和老师。
这一切不能都怪数学，值得反思的是我们学习数学的方法和目的。

再给自己一个学数学的理由
为考试而学数学，是被逼无奈的举动。而为数学而数学，则又太过高尚而遥不可及。
　　相信对于绝大部分的我们来说，数学是工具、是谋生手段，而不是目的。我们主动学数学，是想用数学工具解决具体问题。
现在，这套书给大家一个“学数学、用数学”的全新动力—数据科学、机器学习。
数据科学和机器学习已经深度融合到我们生活的方方面面，而数学正是开启未来大门的钥匙。不

是所有人生来都握有一副好牌，但是掌握“数学 编程 机器学习”的知识是王牌。这次，学习数学不再是为了考试、分数、升学，而是投资时间、自我实现、面向未来。
未来已来，你来不来？

本套鸢尾花书如何帮到你
　　为了让大家学数学、用数学，甚至爱上数学，作者可谓颇费心机。在创作这套书时，作者尽量克服传统数学教材的各种弊端，让大家学习时有兴趣、看得懂、有思考、更自信、用得着。
为此，丛书在内容创作上突出以下几个特点。

　　虽然本书标榜“从加减乘除到机器学习”，但是建议读者朋友们至少具备高中数学知识。如果读者正在学习或曾经学过大学数学 (微积分、线性代数、概率统计)，这套书就更容易读懂了。

聊聊数学
数学是工具。锤子是工具，剪刀是工具，数学也是工具。
　　数学是思想。数学是人类思想高度抽象的结晶体。在其冷酷的外表之下，数学的内核实际上就是人类朴素的思想。学习数学时，知其然，更要知其所以然。不要死记硬背公式定理，理解背后的数学思想才是关键。如果你能画一幅图、用大白话描述清楚一个公式、一则定理，这就说明你真正理解了它。
　　数学是语言。就好比世界各地不同种族有自己的语言，数学则是人类共同的语言和逻辑。数学这门语言极其精准、高度抽象，放之四海而皆准。虽然我们中大多数人没有被数学“女神”选中，不能为人类对数学认知开疆扩土；但是，这丝毫不妨碍我们使用数学这门语言。就好比，我们不会成为语言学家，我们完全可以使用母语和外语交流。
　　数学是体系。代数、几何、线性代数、微积分、概率统计、优化方法等，看似一个个孤岛，实际上都是数学网络的一条条织线。建议大家学习时，特别关注不同数学板块之间的联系，见树，更要见林。
　　数学是基石。拿破仑曾说“数学的日臻完善和国强民富息息相关。”数学是科学进步的根基，是经济繁荣的支柱，是保家卫国的武器，是探索星辰大海的航船。
数学是艺术。数学和音乐、绘画、建筑一样，都是人类艺术体验。通过可视化工具，我们会在看似枯燥的公式、定理、数据背后，发现数学之美。
　　数学是历史，是人类共同记忆体。“历史是过去，又属于现在，同时在指引未来。”数学是人类的集体学习思考，它把人的思维符号化、形式化，进而记录、积累、传播、创新、发展。从甲骨、泥板、石板、竹简、木牍、纸草、羊皮卷、活字印刷、纸质书，到数字媒介，这一过程持续了数千年， 至今绵延不息。
　　数学是无穷无尽的想象力，是人类的好奇心，是自我挑战的毅力，是一个接着一个的问题，是看似荒诞不经的猜想，是一次次胆大包天的批判性思考，是敢于站在前人臂膀之上的勇气，是孜孜不倦地延展人类认知边界的不懈努力。

家园、诗、远方
诺瓦利斯曾说：“哲学就是怀着一种乡愁的冲动到处去寻找家园。”
　　在纷繁复杂的尘世，数学纯粹得就像精神的世外桃源。数学是，一束光，一条巷，一团不灭的希望，一股磅礴的力量，一个值得寄托的避风港。
　　打破陈腐的锁链，把功利心暂放一边，我们一道怀揣一分乡愁，心存些许诗意，踩着艺术维度，投入数学张开的臂膀，驶入它色彩斑斓、变幻无穷的深港，感受久违的归属，一睹更美、更好的远方。

   Acknowledgement
   致谢

To my parents.
谨以此书献给我的母亲父亲。

   How to Use the Book

   使用本书

丛书资源
鸢尾花书提供的配套资源如下：

本书约定
书中为了方便阅读以及查找配套资源，特别设计了如下标识。

数学家、科学家、艺术家等大家语录

配套Python代码完
成核心计算和制图 

引出本书或本系列
   其他图书相关内容 

相关数学家生平贡献介绍

代码中核心Python
库函数和讲解

用Streamlit开发制作App应用

提醒读者需要格外注意的知识点

每章总结或升华本章内容

思维导图总结本章脉络和核心内容

介绍数学工具与
机器学习之间的联系

配套微课视频二维码

核心参考和推荐阅读文献

微课视频
本书配套微课视频均发布在B站—生姜DrGinger。

　　微课视频是以“聊天”的方式，和大家探讨某个数学话题的重点内容，讲解代码中可能遇到的难点，甚至侃侃历史、说说时事、聊聊生活。
本书配套微课视频的目的是引导大家自主编程实践、探究式学习，并不是“照本宣科”。
　　纸质图书上已经写得很清楚的内容，视频课程只会强调重点。需要说明的是，图书内容不是视频的“逐字稿”。

App开发
　　本书几乎每一章都至少有一个用Streamlit开发的App，用来展示数学动画、数据分析、机器学习算法。
　　Streamlit是个开源的Python库，能够方便快捷地搭建、部署交互型网页App。Streamlit简单易用，很受欢迎。Streamlit兼容目前主流的Python数据分析库，比如NumPy、Pandas、Scikit-learn、PyTorch、TensorFlow等等。Streamlit还支持Plotly、Bokeh、Altair等交互可视化库。
　　本书中很多App设计都采用Streamlit Plotly方案。此外，本书专门配套教学视频手把手和大家一起做App。

大家可以参考如下页面，更多了解Streamlit：

实践平台
　　本书作者编写代码时采用的IDE (Integrated Development Environment) 是Spyder，目的是给大家提供简洁的Python代码文件。
但是，建议大家采用JupyterLab或Jupyter Notebook作为鸢尾花书配套学习工具。
　　简单来说，Jupyter集合“浏览器 编程 文档 绘图 多媒体 发布”众多功能于一身，非常适合探究式学习。
　　运行Jupyter无须IDE，只需要浏览器。Jupyter容易分块执行代码。Jupyter支持inline打印结果，直接将结果图片打印在分块代码下方。Jupyter还支持很多其他语言，如R和Julia。
　　使用Markdown文档编辑功能，可以编程同时写笔记，不需要额外创建文档。在Jupyter中插入图片和视频链接都很方便，此外还可以插入Latex公式。对于长文档，可以用边栏目录查找特定内容。
Jupyter发布功能很友好，方便打印成HTML、PDF等格式文件。
　Jupyter也并不完美，目前尚待解决的问题有几个：①Jupyter中代码调试不是特别方便。Jupyter 没有variable explorer，可以inline打印数据，也可以将数据写到CSV或Excel文件中再打开。Matplotlib 图像结果不具有交互性，如不能查看某个点的值或者旋转3D图形，此时可以考虑安装 (jupyter matplotlib)。注意，利用Altair或Plotly绘制的图像支持交互功能。对于自定义函数，目前没有快捷键直接跳转到其定义。但是，很多开发者针对这些问题正在开发或已经发布相应插件，请大家留意。
　　大家可以下载安装Anaconda。JupyterLab、Spyder、PyCharm等常用工具，都集成在Anaconda 中。下载Anaconda的地址为：

代码文件
鸢尾花书的Python代码文件下载地址为：

同时也在如下GitHub地址备份更新：

　　Python代码文件会不定期修改，请大家注意更新。图书原始创作版本PDF（未经审校和修订， 内容和纸质版略有差异，方便移动终端碎片化学习以及对照代码）和纸质版本勘误也会上传到这个GitHub账户。因此，建议大家注册GitHub账户，给书稿文件夹标星(Star)或分支克隆(Fork)。
考虑再三，作者还是决定不把代码全文印在纸质书中，以便减少篇幅，节约用纸。
　　本书编程实践例子中主要使用“鸢尾花数据集”，数据来源是Scikit-learn库、Seaborn库。要是给鸢尾花书起个昵称的话，作者乐见“鸢尾花书”。

学习指南
大家可以根据自己的偏好制定学习步骤，本书推荐如下步骤。

1 2 3 浏览本章思维导图， 下载本章配套 观看微课视频，阅 把握核心脉络 Python 代码文件 读本章正文内容 4
用Jupyter 创建笔 5
尝试开发数学动画、 6
翻阅本书推荐参 记，编程实践 机器学习 App 考文献

使用本书

　　学完每章后，大家可以在社交媒体、技术论坛上发布自己的Jupyter笔记，进一步听取朋友们的意见，共同进步。这样做还可以提高自己学习的动力。
　　另外，建议大家采用纸质书和电子书配合阅读学习，学习主阵地在纸质书上，学习基础课程重要的是沉下心来，认真阅读并记录笔记，电子书可以配合查看代码，相关实操性内容可以直接在电脑上开发、运行、感受，Jupyter笔记同步记录起来。
强调一点：学习过程中遇到困难，要尝试自行研究解决，不要时间就去寻求他人帮助。

意见建议
欢迎大家对鸢尾花书提意见和建议，丛书专属邮箱地址为：

也欢迎大家在B站视频下方留言互动。

数据科学和机器学习已经深度融合到我们生活的方方面面，而数学正是开启未来大门的钥匙。不是所 有人生来都握有一副好牌，但是掌握“数学 编程 机器学习”是王牌。这次，学习数学不再是为了考试、分数、升学，而是投资时间、自我实现、面向未来。为了让大家学数学、用数学，甚至爱上数学， 在创作这套书时，作者尽量克服传统数学教材的各种弊端，让大家学习时有兴趣、看得懂、有思考、更自信、用得着。
《数学要素：全彩图解 微课 Python编程》打破数学板块的藩篱，将算数、代数、线性代数、几何、解析几何、概率统计、微积分、优化方法等板块有机结合在一起。从加、减、乘、除四则运算讲起，主要内容包括：第 1、2 章讲解向量和矩阵的基本运算；第 3 章讲解常用几何知识；第 4 章讲解代数知识；第 5、6 两章介绍坐标系；第 7、8、9 三章介绍解析几何；第 10 章到第 14 章都是围绕函数展开；第 15 章到第 19 章讲解微积分以及优化问题内容；第20、21 两章是概率统计入门；《数学要素：全彩图解 微课 Python编程》后四章以线性代数收尾。
《数学要素：全彩图解 微课 Python编程》内容编排上突出“图解 编程 机器学习应用”。讲解一些特定数学工具时，《数学要素：全彩图解 微课 Python编程》会穿插介绍其在数据科学和机器学习领域应用场景，让大家学以致用。
《数学要素：全彩图解 微课 Python编程》虽标榜“从加减乘除到机器学习”，但是建议读者至少具备高中数学知识。如果读者正在学习或曾经学过大学数学 ( 微积分、线性代数、概率统计 )，就更容易读了。

姜伟生  博士 FRM。
勤奋的小镇做题家，热爱知识可视化和开源分享。自2022年8月开始，在GitHub上开源“鸢尾花书”学习资源，截至2023年4月，已经分享2000多页PDF、2000多幅矢量图、约1000个代码文件，全球读者数以万计。

绪论 1

第1章   万物皆数 7

1.1 数字和运算：人类思想的伟大飞跃 9
1.2 数字分类：从复数到自然数 11
1.3 加减：基本的数学运算 15
1.4 向量：数字排成行、列 18
1.5 矩阵：数字排列成长方形 19
1.6 矩阵：一组列向量，或一组行向量 23
1.7 矩阵形状：每种形状都有特殊性质和用途 25
1.8 矩阵加减：形状相同，对应位置，批量加减 26

第2章   乘除 29

2.1 算术乘除：先乘除，后加减，括号内先算 31
2.2 向量乘法：标量乘法、向量内积、逐项积 34
2.3 矩阵乘法：重要的线性代数运算规则 36
2.4 矩阵乘法视角 40
2.5 矩阵乘法第二视角 43
2.6 矩阵除法：计算逆矩阵 46

第3章   几何 49

3.1 几何缘起：根植大地，求索星空 51
3.2 点动成线，线动成面，面动成体 54
3.3 角度和弧度 60
3.4 勾股定理到三角函数 62
3.5 圆周率估算初赛：割圆术 64

第4章   代数 69

4.1 代数的前世今生：薪火相传 71
4.2 集合：确定的一堆东西 72
4.3 从代数式到函数 75
4.4 杨辉三角：代数和几何的完美合体 79
4.5 排列组合让二项式系数更具意义 82
4.6 杨辉三角隐藏的数字规律 85
4.7 方程组：求解鸡兔同笼问题 86

第5章   笛卡儿坐标系 91

5.1 笛卡儿：我思故我在 93
5.2 坐标系：代数可视化，几何参数化 94
5.3 图解“鸡兔同笼”问题 100
5.4 极坐标：距离和夹角 102
5.5 参数方程：引入一个参数 103
5.6 坐标系必须是“横平竖直的方格”？ 104

第6章   三维坐标系 107

6.1 三维直角坐标系 109
6.2 空间平面：三元一次方程 110
6.3 空间直线：三元一次方程组 114
6.4 不等式：划定区域 117
6.5 三大类不等式：约束条件 120
6.6 三维极坐标 126

第7章   距离 131

7.1 距离：未必是两点间短线段 132
7.2 欧氏距离：两点间短线段 134
7.3 点到直线的距离 140
7.4 等距线：换个视角看距离 144
7.5 距离间的量化关系 146

第8章   圆锥曲线 149

8.1 圆锥曲线外传 150
8.2 圆锥曲线：对顶圆锥和截面相交 152
8.3 正圆：特殊的椭圆 155
8.4 椭圆：机器学习的多面手 157
8.5 旋转椭圆：几何变换的结果 160
8.6 抛物线：不止是函数 164
8.7 双曲线：引力弹弓的轨迹 166

第9章   深入圆锥曲线 169

9.1 圆锥曲线：探索星辰大海 171
9.2 离心率：联系不同类型圆锥曲线 172
9.3 一组有趣的圆锥曲线 173
9.4 特殊椭圆：和给定矩形相切 175
9.5 超椭圆：和范数有关 179
9.6 双曲函数：基于单位双曲线 184
9.7 圆锥曲线的一般形式 186

第10章   函数 191

10.1 当代数式遇到坐标系 193
10.2 一元函数：一个自变量 194
10.3 一元函数性质 197
10.4 二元函数：两个自变量 202
10.5 降维：二元函数切一刀得到一元函数 205
10.6 等高线：由函数值相等点连成 208

第11章   代数函数 211

11.1 初等函数：数学模型的基础 212
11.2 一次函数：一条斜线 214
11.3 二次函数：一条抛物线 218
11.4 多项式函数：从叠加角度来看 221
11.5 幂函数：底数为自变量 224
11.6 分段函数：不连续函数 228

第12章   超越函数 231

12.1 指数函数：指数为自变量 233
12.2 对数函数：把连乘变成连加 235
12.3 高斯函数：高斯分布之基础 238
12.4 逻辑函数：在0和1之间取值 240
12.5 三角函数：周期函数的代表 243
12.6 函数变换：平移、缩放、对称 246

第13章   二元函数 251

13.1 二元一次函数：平面 253
13.2 正圆抛物面：等高线为正圆 257
13.3 椭圆抛物面：等高线为椭圆 260
13.4 双曲抛物面：马鞍面 264
13.5 山谷和山脊：无数极值点 265
13.6 锥面：正圆抛物面开方 267
13.7 值函数：与超椭圆有关 269
13.8 逻辑函数：从一元到二元 272
13.9 高斯函数：机器学习的多面手 274

第14章   数列 277

14.1 芝诺悖论：阿基里斯追不上乌龟 279
14.2 数列分类 281
14.3 等差数列：相邻两项差相等 282
14.4 等比数列：相邻两项比值相等 284
14.5 斐波那契数列 287
14.6 累加：大写西格玛 288
14.7 数列极限：微积分的一块基石 299
14.8 数列极限估算圆周率 301

第15章   极限和导数 305

15.1 牛顿小传 307
15.2 极限：研究微积分的重要数学工具 308
15.3 左极限、右极限 310
15.4 几何视角看导数：切线斜率 312
15.5 导数也是函数 315

第16章   偏导数 323

16.1 几何角度看偏导数 325
16.2 偏导也是函数 329
16.3 二阶偏导：一阶偏导函数的一阶偏导 330
16.4 二元曲面的驻点：一阶偏导为0 333

第17章   微分 337

17.1 几何角度看微分：线性近似 338
17.2 泰勒级数：多项式函数近似 340
17.3 多项式近似和误差 343
17.4 二元泰勒展开：用多项式曲面近似 348
17.5 数值微分：估算一阶导数 352