工程数值计算

在我国高等教育全面开展“新工科建设”的背景下，需要以专业领域的工程问题为核心，引导学生应用计算机语言编写程序，对方程、微分和积分等复杂数学模型进行数值求解，对测试与计算数据进行综合处理，培养学生分析和解决复杂工程问题的能力。此外，按照“工程教育专业认证”的相关要求，对于机械、车辆等工科类专业，要求将数值计算领域知识作为必修课程内容覆盖全体学生，成为通识教育的重要组成部分,以培养大学生的计算思维和能力为目标。

现有参考教材和教辅材料多侧重于“数学”与“算法”层面，或数学性太强，或计算机语言性太强，缺乏实际的工程案例。本书面向工科类本科生、研究生及需要用数值方法解决计算问题的工程技术人员，主要有以下几个特点。

(1) 突出机械、车辆及其他工科类专业的工程应用实际案例(如凸轮设计、材料本构关系、梁的设计与校核、受力与做功、振动问题等)，以培养学生分析和解决复杂工程问题为导向。 (2) 增加“知识链接”，一方面强调与已学方法(微积分、微分方程、线性代数)的联系、区别与衔接，突出为什么要学习数值方法，正是用于解决以前所学解析方法没有办法求解的问题；另一方面介绍一些数学家和算法发展的背景故事，强化学生对于数值计算方法发展的驱动力与继承性。

(3) 在涵盖传统教学内容的基础上，根据工程经验与科学前沿需求，对知识结构进行更加合理的组织和编排，贯彻“数学-力学-工程”的研究型课程主线，将各部分基础理论知识与重要的工程应用相关联，更有利于学生对于由工程系统到力学描述，再到数学模型的抽象过程的理解和应用。

(4) 基于MATLAB开发相应算法的参考程序，一方面通过程序设计更加深刻地理解现象和“是什么”的问题，另一方面学生可以根据实际问题在基本程序基础上进行二次设计开发，培养学生解决问题的能力。

(5) 针对若干典型的工程问题，从问题描述、问题分析、问题求解及程序代码四个方面呈现了完整的“分析与解决复杂工程问题”的技术路径，能够引领学生在面对具体工程问题时如何思考和着手解决。

本书分为7章，第1章是绪论，对工程问题进行概述，并介绍基于物理实验和数学模型的工程问题分析路线；第2章是数值计算的误差分析，这部分内容未列入绪论而单独成章，涵盖的内容包括误差的来源、表示、传播及影响；第3章是数据的插值与回归，无论是物理实验数据、数学模拟数据还是工业大数据，都需要通过恰当的插值与回归算法找到因素间的内在变化规律，为解释工程现象和解决工程问题提供有价值的参考，本章运用比较学的方法对各种不同算法的构造与特点进行比较，可以方便读者根据具体问题的需求选择合适的插值与回归算法；第4章是数值积分与数值微分，同样循序渐近地介绍各类数值积分与数值微分方法的算法思路来源及特点；第5章是代数方程与方程组的数值求解，主要针对解析方法无法求解的复杂非线性方程、方程组及高维线性方程组等描述和表征工程问题的数学模型，提供合适有效的数值解法；第6章是微分方程的数值求解，包括高阶非线性常微分方程、常微分方程组及偏微分方程的求解；第7章是数值计算在工程问题中的典型应用。以上各章内容都提供相关的MATLAB程序实现代码供读者参考。

本书由郜志英建立框架、编写并统稿，李瑞和张立元审核校稿。其中，张杰参与了第1章的编写；孔宁和张勃洋参与了第3章的编写；李瑞和曾新喜参与了第4章的编写；张立元参与了第5章的编写；廖茂林参与了第6章的编写。同时感谢研究生董展翔、樊轲和田波等同学对习题部分的整理工作。

本书的编著工作得到北京科技大学教育教学改革基金项目的资助，属于“北京科技大学校级规划立项教材”，在此深表感谢。本书在编写过程中参考了很多国内外专家和同行的著作，尤其是《工程数值方法》(第6版，Steven CChapra，Raymond P.Canale著，于艳华等译，清华大学出版社)的部分习题与工程引例，以及《计算方法及MATLAB实现》(郑勋烨编著，国防工业出版社)的部分算例，特此致谢。

受作者水平与能力所限，不足之处在所难免，恳请读者指正。

编者

2020年3月

《工程数值计算》面向工科类本科生、研究生及需要用数值方法解决计算问题的工程技术人员，以分析和解决复杂工程问题为目标。在教材内容上，既涵盖对测试与计算数据进行综合处理的误差分析、插值、回归、积分和微分等数值计算方法，也包括对代数方程和方程组、常微分方程和偏微分方程等复杂数学模型进行求解的数值计算方法。在教材组织上，通过工程引例与实际工程案例，从问题描述、问题分析、问题求解及程序代码四个方面呈现了完整的“工程数值计算”技术路径，是一本贯彻“数学-力学-工程”的研究型课程主线，侧重于工程性与应用性，具有鲜明特色的教材。

第1章  绪论 / 1

1.1  典型工程案例 / 2

1.1.1  典型工程问题一：凸轮机构设计 / 2

1.1.2  典型工程问题二：典型材料本构关系 / 3

1.1.3  典型工程问题三：做功计算 / 4

1.1.4  典型工程问题四：梁的设计与校核 / 4

1.1.5  典型工程问题五：质量-弹簧-阻尼系统的振动 / 5

1.2  工程问题的分析方法 / 6

1.2.1  基于物理实验的工程分析方法 / 6

1.2.2  基于数学模型的工程分析方法 / 6

1.2.3  物理实验与数学模型相结合的工程分析方法 / 7

1.3  基于MATLAB的程序设计基础 / 9

1.3.1  MATLAB语言环境 / 10

1.3.2  MATLAB操作方式 / 11

1.3.3  MATLAB语言基础 / 12

1.3.4  MATLAB流程控制 / 14

1.3.5  MATLAB图形绘制 / 16

1.4  课程任务与目标 / 18

第2章  数值计算的误差分析 / 19

2.1  误差的来源 / 20

2.2  误差的表示 / 23

2.3  误差的传播 / 23

2.4  误差的影响 / 24

2.4.1  病态问题 / 24

2.4.2  条件数 / 25

2.4.3  数值稳定性 / 25

2.4.4  误差影响的防治 / 26

2.5  误差分析的MATLAB程序实现 / 29

习题 / 30

第3章  数据的插值与回归 / 33

3.1  数据的插值 / 35

3.1.1  待定系数法 / 38

3.1.2  拉格朗日插值法 / 41

3.1.3  牛顿插值法 / 48

3.1.4  分段线性插值法 / 53

3.1.5  分段3次厄米特插值法 / 55

3.1.6  分段3次样条插值法 / 57

3.2  数据的回归 / 63

3.2.1  小二乘回归准则 / 64

3.2.2  回归函数的选取 / 66

3.2.3  线性回归 / 67

3.2.4  多项式回归 / 70

3.2.5  非线性回归 / 71

3.3  插值与回归的MATLAB程序实现 / 76

3.3.1  数据插值的MATLAB程序实现 / 76

3.3.2  数据回归的MATLAB程序实现 / 83

习题 / 87

第4章  数值积分与数值微分 / 93

4.1  数值积分 / 93

4.1.1  机械求积公式 / 96

4.1.2  求积公式的代数精度 / 98

4.1.3  插值求积公式 / 104

4.1.4  复化求积公式 / 108

4.1.5  变步长求积公式 / 109

4.2  数值微分 / 112

4.2.1  差商求导公式 / 114

4.2.2  插值求导公式 / 116

4.2.3  带误差数据的求导问题 / 117

4.3  数值积分与数值微分的MATLAB程序实现 / 119

4.3.1  数值积分的MATLAB程序实现 / 119

4.3.2  数值微分的MATLAB程序实现 / 121

习题 / 124

第5章  代数方程与方程组的数值求解 / 128

5.1  线性方程组 / 128

5.1.1  Gauss消元法 / 130

5.1.2  数值迭代法 / 133

5.2  非线性方程 / 137

5.2.1  搜索法 / 138

5.2.2  数值迭代法 / 140

5.3  非线性方程组的求解 / 145

5.3.1  定点迭代法 / 146

5.3.2  牛顿-瑞普逊法 / 148

5.4  非线性方程(组)的MATLAB求解函数 / 149

5.4.1  多项式方程的求解函数 / 149

5.4.2  一般非线性方程的求解函数 / 150

5.4.3  非线性方程(组)的求解函数 / 151

5.5  方程与方程组求解的MATLAB程序实现 / 152

习题 / 156

第6章  微分方程的数值求解 / 159

6.1  常微分方程的数值求解 / 161

6.1.1  一阶常微分方程的求解 / 161

6.1.2  高阶常微分方程的求解 / 169

6.1.3  常微分方程组的求解 / 171

6.2  常见偏微分方程的数值求解 / 176

6.2.1  椭圆型方程 / 177

6.2.2  抛物型方程 / 180

6.2.3  双曲型方程 / 182

6.3  微分方程数值求解的MATLAB程序实现 / 183

习题 / 187

第7章  数值计算在工程问题中的典型应用 / 190

7.1  管道流量的回归计算 / 190

7.2  加工硬化过程变形抗力的回归计算 / 192

7.3  做功问题的数值积分计算 / 195

7.4  多自由度系统的固有特性分析 / 197

7.5  管道中流体阻力摩擦因子计算 / 201

7.6  范德波尔振子系统的动态响应分析 / 204

参考文献 / 209

《工程数值计算》面向工科类本科生、研究生及需要用数值方法解决计算问题的工程技术人员，以分析和解决复杂工程问题为目标。在教材内容上，既涵盖对测试与计算数据进行综合处理的误差分析、插值、回归、积分和微分等数值计算方法，也包括对代数方程和方程组、常微分方程和偏微分方程等复杂数学模型进行求解的数值计算方法。在教材组织上，通过工程引例与实际工程案例，从问题描述、问题分析、问题求解及程序代码四个方面呈现了完整的“工程数值计算”技术路径，是一本贯彻“数学-力学-工程”的研究型课程主线，侧重于工程性与应用性，具有鲜明特色的教材。

(1) 突出机械、车辆等其他工科类专业的工程应用实际案例（如凸轮设计、齿轮参数优化、杆和梁的挠度校核、电路设计、受力与做功、振动问题等），以培养学生分析和解决复杂工程为题为导向；
(2) 增加“知识链接”，一方面强调与已学方法（微积分、微分方程、线性代数）的联系、区别与衔接，突出为什么要学习数值方法，正是用于解决以前所学解析方法没有办法求解的问题；另一方面介绍一些数学家和算法发展的背景故事，强化学生对于数值计算方法发展的驱动力与继承性；
(3) 在涵盖传统教学内容的基础上，根据工程经验与前沿领域知识，对知识结构进行更加合理的组织和编排，贯彻“数学-力学-工程”的研究型课程主线，将各部分基础理论知识与重要的工程应用相关联，更有利于学生对于由工程系统到力学描述，再到数学模型的抽象过程的理解和应用；
(4) 基于MATLAB开发相应算法的参考程序，一方面通过程序设计更加深刻地理解现象和“是什么”的问题，另一方面学生可以根据实际问题在基本程序基础上进行二次设计开发，培养学生解决问题的能力。