逻辑学入门

《逻辑学入门》通过大量现实例证对一众逻辑概念做出了通俗易懂的解释，循序渐进地指导读者运用逻辑工具和逻辑规则独立完成一则棘手的逻辑证明，并带领读者沿着“哲学——数学”的脉络一览逻辑学从三段论、语句逻辑、谓词逻辑到多值逻辑、量子逻辑的两千余年发展历程。任何有志于用逻辑学武装头脑的读者，都会在读完本书后轻松掌握逻辑证明的技能，学会严谨、清晰、周全地推理和思考，并在日常生活中愈发自信地应用自己的逻辑能力。

马克·泽拉雷利（Mark Zegarelli），拥有罗格斯大学数学和英语学士学位，是一位富于教育热情、充满创造力的教育工作者和作者。多年来，马克作为一名数学导师，帮助了许多学生取得学业进步、收获良好的考试成绩，并在主职之外积极参与各类志愿教学活动。教学工作之余，马克出版了十部数学、逻辑学主题的图书，以及七部儿童逻辑趣题绘本。此外，马克还创建了一个在线学习网站，制作了大量数学、英语领域的在线课程资料。

第一部分 逻辑概论

第1章 何为逻辑？

第2章 逻辑学的发展：从亚里士多德到电脑

第3章 为了论证

第二部分 形式语句逻辑（SL）

第4章 形式问题

第5章 命题求值

第6章 运用表格：利用真值表对命题求值

第7章 走捷径：创建快速表

第8章 真理长在树上

第三部分 语句逻辑中的证明、句法和语义

第9章 你究竟要证明什么？

第10章 机会平等：运用等价规则

第11章 运用条件证明和间接证明大胆假设

第12章 综合运用：巧妙解决各类证明

第13章 我为人人，人人为我

第14章 句法方面的技巧和语义方面的考量

第四部分 量词逻辑（QL）

第15章 用质量体现数量：量词逻辑入门

第16章 量词逻辑翻译

第17章 运用量词逻辑进行证明

第18章 良好的关系和积极的同一性

第19章 培育大量树

第五部分 逻辑学的现代发展

第20章 计算机逻辑

第21章 大胆的命题：非古典逻辑

第22章 悖论和公理系统

第六部分 来自作者的“十大”榜单

第23章 十大逻辑学名言

第24章 十大逻辑学家

第25章 逻辑学考试通关的十个提示

《逻辑学入门》通过大量现实例证对一众逻辑概念做出了通俗易懂的解释，循序渐进地指导读者运用逻辑工具和逻辑规则独立完成一则棘手的逻辑证明，并带领读者沿着“哲学——数学”的脉络一览逻辑学从三段论、语句逻辑、谓词逻辑到多值逻辑、量子逻辑的两千余年发展历程。任何有志于用逻辑学武装头脑的读者，都会在读完本书后轻松掌握逻辑证明的技能，学会严谨、清晰、周全地推理和思考，并在日常生活中愈发自信地应用自己的逻辑能力。

马克·泽拉雷利（Mark Zegarelli），拥有罗格斯大学数学和英语学士学位，是一位富于教育热情、充满创造力的教育工作者和作者。多年来，马克作为一名数学导师，帮助了许多学生取得学业进步、收获良好的考试成绩，并在主职之外积极参与各类志愿教学活动。教学工作之余，马克出版了十部数学、逻辑学主题的图书，以及七部儿童逻辑趣题绘本。此外，马克还创建了一个在线学习网站，制作了大量数学、英语领域的在线课程资料。

何为逻辑？

你我都生活在一个不合逻辑的世界。要是不信，你可以看看晚间新闻，或者听听酒吧隔壁桌的人正在讨论的事。当然，更好的方法也有，就是跟你岳父岳母一起过个周末。

很多人的思维和行为都不合逻辑，你又为何要与众不同？跟其他人一样不合逻辑地行事不是更明智吗？

好吧，有意识地不讲逻辑应该不是最好的选择。首先，故意不讲逻辑怎么可能称得上明智？其次，如果你已经打开了这本书，那很可能你天生就不应该不讲逻辑。实话实说，有些人能在混乱中茁壮成长（至少这种人宣称如此），但有些人就做不到。

在本章中，我会介绍逻辑的基本知识，说明逻辑如何应用于日常生活。此外，我还会讲到一些对学习逻辑学非常关键的词汇和观点。最后，我会简明扼要地介绍逻辑学与数学之间的关联。

发现逻辑视角

就算没有意识到，其实你也已经掌握了不少关于逻辑学的知识。实际上，你心里早就有了逻辑探测装置。不相信吗？那就用这个快速测试看看你是不是个有逻辑的人：

问：用瓦片搭狗窝需要多少煎饼？

答：23个，因为香蕉里面没骨头。

如果你觉得上面的回答不太符合逻辑，这可是个好兆头，说明你最起码走在通往逻辑的大路上。为什么？因为如果你能发现不合逻辑的内容，就说明你肯定对逻辑是什么有一定的认识。

在这一部分，我会从你已经了解的逻辑学相关内容开始（尽管你可能并没有意识到），为你之后学习逻辑学打好基础。

弥合从这里到那里的距离

大多数孩子天生就有好奇心。他们总想知道每一件事情为什么如此，而每得到一个“因为”，他们就又会想到一个“为什么”。举例来说，以下是孩子们常问的问题：

为什么太阳在早上升起？

为什么我必须去上学？

为什么你一转钥匙汽车就发动了？

为什么人们明知道可能会被关进监狱还要犯法？

仔细思考一下，其中有一个巨大的谜团：即使听上去确实不合理，但给人的感觉却是好像应该如此。

孩子们自小就能感觉到，自己不明白的事情，背后必然有答案。而且，他们会想：“如果我在这里，答案在那里，那我怎样才能到达那里？”（通常，他们的方法是缠着父母解答更多的问题。）

从这里到那里——从一无所知到有所理解——是逻辑学出现的主要原因之一。逻辑学源于人类理解世界的内在需求，而且人们希望尽可能多地理解世界，进而掌控世界。

理解因果关系

理解世界的方法之一是留心原因与结果之间的联系。

从孩子成长为成年人的过程中，你会逐渐拼凑出一个事件如何会引起另一个事件。通常，原因与结果之间的联系会通过如果语句表达。请看以下举例：

如果我任由最喜欢的球滚到沙发底下，那么我就够不着它了。

如果我在爸爸回家之前写完了所有作业，那么他就会在晚餐之前跟我玩接球游戏。

如果我这个夏天自己练习，那么到了秋天，教练就会选我进足球队。

如果我一直耐心地、有信心地邀请她一起出去，那么她最终会答应的。

理解如果语句的作用方式是学习逻辑学的重要一环。

分析如果语句

每个如果语句都由两个被称为子语句的较短语句组成：前述语句，由“如果”引起；后述语句，由“那么”引起。以下是如果语句的例子：

如果现在是下午五点，那么该回家了。

在上述语句中，作为前述语句的子语句为：

现在是下午五点

作为后述语句的子语句是：

该回家了

请注意，子语句本身也是完整的语句。

将如果语句串联起来

在很多情况下，一个如果语句的后述语句是另一个如果语句的前述语句。在这种情况下，你会得到一连串的结果，也就是希腊人所谓的“Sorites”，即“连锁结构”。请看下例：

在这种情况下，你可以把如果语句联系起来，组成新的如果语句：

如果现在是下午五点，那么我需要打电话给丈夫提醒他向餐厅订位。

更复杂的情况

随着生活经验的积累，你可能会发现，因果关系变得越来越复杂：

如果我让最喜欢的球滚到了沙发底下，那么我就够不着它，除非我大喊大叫引来奶奶帮我拿出来，不过如果我第二次这样的话，那么她就会生气，把我抱回高脚椅上。

如果我夏天自己练习，但是没有刻苦到膝盖剧痛，那么到了秋天，教练就只会在如果有位置的情况下选我进足球队，但是如果我没有练习，那么教练就不会选我。

不止如此

当你开始理解这个世界，你会逐渐对它有很多一般性判断。例如：

所有的马都很温驯。

所有男生都很蠢。

学校里的每个老师都出来抓我了。

电话铃声每次响起，都是找我姐姐的。

有了“所有”和“每”这类词，你可以将事物归类，组成集合（物体的组）以及子集合（某个组内的小组）。举例来说，你说“所有的马都很温驯”时，你的意思是“所有的马”这个集合包含在“所有温驯的事物”这个集合之中。

存在本身

你也会通过弄清楚什么存在和不存在来认识世界。比如：

我的老师里，有些非常好。

学校里至少有一个女孩喜欢我。

象棋俱乐部里没有人可以赢我。

根本就没有火星人。

像“有些”“有”以及“这里有”等词语表达的是集合的重合，也就是交集。举例来说，你说“我的老师里，有些非常好”时，你要表达的是“你的老师”这个集合与“好的事物”这个集合有交叉重合的部分。

同样，像“没有”“无”以及“根本没有”这类词表达的是集合之间没有重合。比如，你说“象棋俱乐部里没有人可以赢我”时，你要表达的是在“象棋俱乐部所有成员”这个集合以及“所有能赢你的象棋棋手”这个集合之间没有重合之处。

一些逻辑关联词

如你所见，当你开始连接逻辑时，有些词语会经常出现。常见的词语包括：

如果……那么…… 而且 但是 或者

不 除非 虽然 每

所有 每次 每一个 有

存在 一些 没有 无

仔细研究这些词语是逻辑学的重要工作之一，因为当你这样做，就会逐渐理解这些词如何让你通过不同方式对世界进行分类（从而更好地理解它）。

建立合乎逻辑的论证

遇到某种情况或问题，要是人们说“讲逻辑吧”，那他们的意思通常是“让我们按照下列步骤操作”：

1.厘清已知的真实情况。

2.思考一段时间。

3.找到最佳行动方案。

用逻辑学术语表达，以上就是构建逻辑论证的三个步骤。论证包括首先提出的一组前提，以及最后得到的一个结论。很多时候，前提和结论会通过一系列中间步骤联系在一起。在之后的几个小节中，我会按照你遇到上述内容的顺序逐一讲解。

生成前提

前提是关于事物的事实：是你已知（或坚信）为真实的陈述。在很多情况下，写下一组前提，就相当于向解决问题迈出了第一大步。

举例而言，假设你是学校董事会成员，现在需要你决定的是，是否赞成建造将在九月启用的新教学楼。大家对这个项目都充满期待，但打了几个电话后，你拼凑出以下事实，也就是前提，即：

该项目资金三月才能到位。

工程公司收到款项后才会开工。

整个工程需要至少八个月才能完工。

目前，你只有一组前提。但将它们综合在一起考虑，你就会更接近最终成果——你的逻辑论证。在下一部分，我会讲解如何将前提结合在一起。

用中间步骤弥合差距

有时候，论证只是一组前提加上之后的一个结论。不过，在很多情况下，论证也包括几个中间步骤，用于说明如何从前提逐渐推导出结论。

还是用上一小节建造教学楼的例子，你应该已经知道了以下内容：

根据前提，我们三月才能向建筑公司付款，所以他们至少要到八个月后，也就是十一月才能完工。但是，学校要在九月开学。因此……

“因此”这个词就是结论的引导词，标记着最后一个步骤的起点。我们将在下一小节讨论。

形成结论

结论是你论证的结果。如果你把中间步骤写得很清晰，那么结论肯定也会非常明显。之前建学校的例子就是如此，即：

教学楼在开学前无法完工。

如果结论不够明显或者说结论不合理，那么可能是论证出现了问题：或许是论证无效，或许是你遗漏了某些需要补充的前提。

判断论证是否有效

构建论证之后，你需要判断论证是否有效，也就是说它是否是好的论证。

要想验证论证的有效性，我们可以假设所有前提均为真，然后看看能否自然而然地从中得出结论。如果可以自动得出结论，那么你就能确定这是有效的论证。反之，论证就是无效的。

认识省略推理

建造教学楼的例子中，论证或许是有效的，但你可能会有一些疑问。比如，如果有新的可用的资金来源，那建筑公司可能会提前开工，或许教学楼就能在九月前完工。这样一来，我们可以说这个论证有一个隐藏的前提，也就是省略推理（enthymemes）：

该项目没有其他资金来源。

关于现实情况的逻辑论证（与数学或科学论证相比），几乎总有省略推理存在。因此，对论证中省略推理的认识越清晰，就越有可能保证论证的有效性。

发现现实世界论证中的隐藏前提或许更需要借助修辞学的内容。修辞学研究的是如何让论证更清晰、更有信服力。我会在第三章讲解修辞学以及其他论证结构的细节。