高等数学（第三版）

根据我国的科教兴国战略,强化现代化建设人才支撑,必须加强基础学科、新兴学科、交叉学科建设,材建设是加强各学科建设的基础。本书第三版是在一版、第二版的基础上,按照高等教育普及化背景下工科类专业对本课程的要求,结合我校近几年使用教材的教学实践和学生使用情况修订而成的新形态教材。在修订中,我们保持了原教材结构严谨、逻辑清晰的风格,也保留了原教材通俗易懂、例题丰富、便于自学等特点。本次修订主要做了以下几个方面的工作:(1)新增加二维码扫码学习的功能,并精选二维码对应的知识点,配以丰富的教学视频和文档资料。(2)调整了对教材中部分内容的叙述方式,使条理更加清晰。(3)甄选了部分节、目为选学内容,以便使用者依据自己的学习需求进行选择。(4)修订了第二版中的部分印刷错误。本版教材修订工作由赵丹君、邓燕、柴惠文完成。修订中也广泛听取并采纳了其他编者和同行的宝贵意见。新版教材中错误之处在所难免,恳请使用本教材的广大师生批评指正。

本书是按照高等教育普及化背景下工科类专业对高等数学的基本要求,并结合教学实践修订而成的新形态教材,具有结构严谨、逻辑清晰、通俗易懂、例题丰富、便于自学等特点.全书共10章,包括函数、极限与连续、导数与微分、中值定理及导数应用、不定积分、定积分、多元函数微分学、二重积分、无穷级数、常微分方程.书中以二维码形式链接相关知识的精讲或扩展.本书可作为高等院校工科类专业的教材或教学参考书.

1 函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 1

1.1.3 区间和邻域 2

习题1.1 3

1.2 函数 3

1.2.1 函数的概念 3

1.2.2 反函数 4

习题1.2 5

1.3 函数的基本性质 6

1.3.1 函数的奇偶性 6

1.3.2 函数的周期性 6

1.3.3 函数的单调性 7

1.3.4 函数的有界性 7

习题1.3 8

1.4 初等函数 8

1.4.1 基本初等函数 8

1.4.2 复合函数 12

1.4.3 初等函数 13

习题1.4 13

1.5 函数关系的建立 双曲函数 14

1.5.1 函数关系的建立 14

1.5.2 双曲函数 15

习题1.5 16

总习题一 16

2 极限与连续 18

2.1 数列的极限 18

2.1.1 数列的概念与性质 18

2.1.2 数列的极限 19

2.1.3 数列极限的性质 21

习题2.1 22

2.2 函数的极限 22

2.2.1 函数极限的定义 22

2.2.2 函数极限的性质 25

习题2.2 26

2.3 无穷小与无穷大 26

2.3.1 无穷小 26

2.3.2 无穷大 28

习题2.3 29

2.4 极限的运算法则 30

2.4.1 极限的四则运算法则 30

2.4.2 复合函数的极限运算法则 32

习题2.4 32

2.5 极限存在准则 两个重要极限 33

2.5.1 夹逼准则 33

2.5.2 重要极限lim x→0sinxx =1 34

2.5.3 单调有界准则 35

2.5.4 重要极限lim x→∞ 1 1x x=e 36

2.5.5 连续复利 38

习题2.5 38

2.6 无穷小的比较 39

习题2.6 40

2.7 函数的连续性 40

2.7.1 函数的连续性 40

2.7.2 函数的间断点 42

2.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 44

习题2.7 46

高等数学(第三版)

2.8 闭区间上连续函数的性质 47

2.8.1 大值和小值定理与有界性定理 47

2.8.2 零点定理与介值定理 47

习题2.8 49

总习题二 49

3 导数与微分 52

3.1 导数的概念 52

3.1.1 两个引例 52

3.1.2 导数的定义 53

3.1.3 函数的连续性与可导性的关系 57

3.1.4 导数的几何意义 57

习题3.1 58

3.2 函数的求导法则与求导公式 59

3.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 59

3.2.2 反函数的求导法则 61

3.2.3 复合函数的求导法则 62

3.2.4 基本求导公式与导数法则 63

习题3.2 65

3.3 高阶导数 66

习题3.3 69

3.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 69

3.4.1 隐函数的导数 69

3.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 71

习题3.4 73

3.5 函数的微分 74

3.5.1 微分的定义 74

3.5.2 微分的几何意义 76

3.5.3 基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 76

3.5.4 微分在近似计算中的应用

 78

习题3.5 79

总习题三 81

4 中值定理及导数应用 83

4.1 中值定理 83

4.1.1 罗尔定理 83

4.1.2 拉格朗日中值定理 84

4.1.3 柯西中值定理 87

习题4.1 88

4.2 洛必达法则 89

4.2.1 00和∞∞未定式的极限 89

4.2.2 其他未定式的极限 91

习题4.2 93

4.3 函数的单调性与极值 93

4.3.1 函数单调性的判别法 93

4.3.2 函数的极值 95

习题4.3 99

4.4 函数的大值与小值 100

习题4.4 101

4.5 曲线的凹凸性及函数图形的描绘 102

4.5.1 曲线的凹凸性及拐点 102

4.5.2 曲线的渐近线 105

4.5.3 函数图形的描绘 106

习题4.5 108

4.6 泰勒公式 109

习题4.6 112

4.7 弧微分 曲率 112

4.7.1 弧微分 112

4.7.2 曲率 114

习题4.7 117

总习题四 117

5 不定积分 120

5.1 不定积分的概念和性质 120

5.1.1 原函数与不定积分的概念 120

5.1.2 不定积分的几何意义 121

5.1.3 基本积分表 121

5.1.4 不定积分的性质 122

习题5.1 124

5.2 换元积分法 124

5.2.1 换元积分法(凑微分法) 124

5.2.2 第二换元积分法 128

习题5.2 132

5.3 分部积分法 132

习题5.3 135

5.4 有理函数的不定积分 136

5.4.1 有理函数与有理函数的不定积分 136

5.4.2 三角函数有理式的不定

积分 138

习题5.4 139

总习题五 139

6 定积分 141

6.1 定积分的概念与性质 141

6.1.1 定积分概念产生的背景 141

6.1.2 定积分的定义 142

6.1.3 定积分的几何意义 144

6.1.4 定积分的性质 144

习题6.1 147

6.2 微积分基本公式 147

6.2.1 积分上限的函数及其导数 147

6.2.2 微积分基本公式 149

习题6.2 150

6.3 定积分的换元积分法与分部积分法 151

6.3.1 定积分的换元积分法 151

6.3.2 定积分的分部积分法 154

习题6.3 156

6.4 广义积分与Γ函数 156

6.4.1 无限区间的广义积分 156

6.4.2 无界函数的广义积分 158

6.4.3 Γ函数 159

习题6.4 160

6.5 定积分的应用 161

6.5.1 定积分的元素法 161

6.5.2 平面图形的面积 162

6.5.3 平面曲线的弧长 165

6.5.4 旋转体的体积与侧面积 166

6.5.5 平行截面的面积为已知的立体的体积 167

6.5.6 定积分在物理上的应用 168

习题6.5 170

总习题六 171

7 多元函数微分学 174

7.1 空间解析几何简介 174

7.1.1 空间直角坐标系 174

7.1.2 空间两点间的距离 175

7.1.3 n维空间 175

7.1.4 空间曲面及其方程 176

习题7.1 179

7.2 多元函数的基本概念 179

7.2.1 平面点集 179

7.2.2 二元函数的概念 180

7.2.3 二元函数的极限与连续 181

7.2.4 n元函数的概念 183

习题7.2 183

7.3 偏导数 184

7.3.1 偏导数的定义 184

7.3.2 偏导数的几何意义及函数连续性与可偏导性的关系 185

7.3.3 高阶偏导数 186

习题7.3 187

7.4 全微分 187

7.4.1 全微分的定义 187

7.4.2 函数可微分的条件 188

7.4.3 全微分在近似计算中的应用 189

习题7.4 190

7.5 复合函数与隐函数微分法 190

7.5.1 复合函数的微分法 190

7.5.2 隐函数的微分法 193

习题7.5 194

7.6 多元函数的极值问题 195

7.6.1 多元函数极值 195

7.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法 198

习题7.6 201

总习题七 201

8 二重积分 204

8.1 二重积分的概念与性质 204

8.1.1 二重积分的概念 204

8.1.2 二重积分的性质 206

习题8.1 207

8.2 二重积分的计算 207

8.2.1 在直角坐标系下计算二重积分 207

8.2.2 在极坐标系下计算二重积分 211

8.2.3 广义二重积分 214

习题8.2 215

总习题八 216

9 无穷级数 219

9.1 常数项级数的概念和性质 219

9.1.1 常数项级数的概念 219

9.1.2 级数的基本性质 222

习题9.1 225

9.2 正项级数的审敛法 225

习题9.2 231

9.3 任意项级数及其审敛法 231

9.3.1 交错级数的收敛性 231

9.3.2 任意项级数的收敛与条件收敛 233

习题9.3 234

9.4 幂级数 235

9.4.1 函数项级数的一般概念 235

9.4.2 幂级数及其收敛性 236

9.4.3 幂级数的运算性质 240

习题9.4 242

9.5 函数展开成幂级数 243

9.5.1 泰勒级数 243

9.5.2 函数展开成幂级数的方法 245

习题9.5 250

9.6 函数的幂级数展开式的应用 250

9.6.1 函数值的近似计算 250

9.6.2 欧拉公式 252

习题9.6 253

总习题九 253

10 常微分方程 256

10.1 常微分方程的基本概念 256

习题10.1 258

10.2 一阶微分方程 258

10.2.1 可分离变量的微分方程 259

10.2.2 齐次方程 260

10.2.3 一阶线性微分方程 262

10.2.4 伯努利方程 264

习题10.2 265

10.3 可降阶的二阶微分方程 266

10.3.1 y″=f(x)型的微分方程 266

10.3.2 y″=f(x,y')型的微分方程 266

10.3.3 y″=f(y,y')型的微分方程 267

习题10.3 268

10.4 二阶线性微分方程解的结构 268

习题10.4 271

10.5 二阶常系数线性微分方程 271

10.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法 271

10.5.2 二阶常系数非齐次线性微分方程及其解法 274

习题10.5 279

10.6 微分方程的应用举例 279

习题10.6 283

总习题十 283

参考文献 286

本书是按照高等教育普及化背景下工科类专业对高等数学的基本要求,并结合教学实践修订而成的新形态教材,具有结构严谨、逻辑清晰、通俗易懂、例题丰富、便于自学等特点.全书共10章,包括函数、极限与连续、导数与微分、中值定理及导数应用、不定积分、定积分、多元函数微分学、二重积分、无穷级数、常微分方程.书中以二维码形式链接相关知识的精讲或扩展.本书可作为高等院校工科类专业的教材或教学参考书.

本书为第三版，前两版得到使用院校师生的广泛好评。在修订中,作者保持原教材结构严谨、逻辑清晰的风格,以及原教材通俗易懂、例题丰富、便于自学等特点，加入了视频二维码供师生学习参考。