集合与对应（升级版）

这本《集合与对应》分为两个部分，部分为集合，第二部分为对应，由以前写的两本小册子《集合及其子集》与《对应》合并后经适当修订而成。 
集合论，是全部数学的基础。 
数学大师康托尔（Ｃａｎｔｏｒ）建立了基数、序型等重要概念，将研究从有限集推进到无限集，创立了集合论这一数学分支。
近３０年来，随着组合数学的蓬勃发展，关于有限集及其子集族，又有很多的研究，得出了很多重要而且优美的结果。 
“对应”也是一个极基本的数学概念。 
人类在上古时代就已经知道把自己的手指或石子与货物（牛、羊等等）对应 起来，进行计数。随着时间的推移，对应的作用越来越大，地位越来越重要。 
几何中的各种变换，数学分析中的各种函数，都是对应的例子。 
现代数学中，同态、同构、同伦、同胚、……，无一不是具有某种性质的对应。各种各样的“表示”，实质上也就是各种各样的对应。 
为了计算一个集合的元素个数，在组合数学中，常常利用这个集合与另一个 集合之间的对应关系，这种方法称为“对应原理”。 
数学证明中，也常常出现“对应”这个幽灵。 
法尔廷斯（Ｇ．Ｆａｌｔｉｎｇｓ）解决莫德尔猜想，怀尔斯（Ａ．Ｊ．Ｗｉｌｅｓ）证明费马大定理，其中都运用了一系列的对应。 
这本小册子通过许多初等问题介绍了集合与对应，希望能起到抛砖引玉的作用。
特别说明，本书中所谓自然数及符号犖均指正整数，不包括“０”。

本书是“数学奥林匹克命题人讲座”（升级版）中的一本，主要讲述集合与对应的内容。各章节从高考难题、全国联赛一试试题的难度入手，充分考虑了参加数学竞赛的高中学生的实际需要。
升级版书稿保留了版中具有典型性的问题，在此基础上删减了部分老题目，并将近年来的高校自招、全国联赛、冬令营、IMO、中国女子数学奥林匹克、中国西部数学邀请赛及国外的数学竞赛中的新题好题充实进来，既有一定的新鲜度，又充分考虑到合理性。

本书是“数学奥林匹克命题人讲座”（升级版）中的一本，主要讲述集合与对应的内容。各章节从高考难题、全国联赛一试试题的难度入手，充分考虑了参加数学竞赛的高中学生的实际需要。
升级版书稿保留了版中具有典型性的问题，在此基础上删减了部分老题目，并将近年来的高校自招、全国联赛、冬令营、IMO、中国女子数学奥林匹克、中国西部数学邀请赛及国外的数学竞赛中的新题好题充实进来，既有一定的新鲜度，又充分考虑到合理性。

单墫  我国著名数学传播、普及和数学竞赛专家。曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家*理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分，为我国数学竞赛事业作出很大贡献。

部分 集合
讲 集合/1 
1.1 集合/1
 1.2 从属关系/3 
1.3 包含/ 5 
1.4 并与交/6 
1.5 差与补 /8 
1.6 维恩图/ 9
1.7 有关集合的等式（Ⅱ）/11 
1.8 对称差/14
1.9 有关集合的等式（Ⅱ）/17 
1.10 有关集合的等式（Ⅲ）/21 
1.11 容斥原理（Ⅰ）/ 24 
1.12 容斥原理（Ⅱ）/ 28
第二讲 映射 / 31
2.1 映射/ 31 
2.2 复合映射/ 33
2.3 有限集到自身的映射/ 35 
2.4 构造映射（Ⅰ）/ 36 
2.5 构造映射（Ⅱ）/ 39 
2.6 函数方程（I）/42 
2.7 函数方程（Ⅱ）/46
2.8 函数方程（Ⅲ）/51
2.9 链/ 54 2.10 图/58
第三讲 有限集的子集 / 61
3.1 子集的个数 / 61 
3.2 两两相交的子集 / 63 
3.3 奇偶子集 /64 
3.4 另一种奇偶子集 /66 
3.5 格雷厄姆的一个问题/ 68 
3.6 三元子集族（I）/ 72 
3.7 三元子集族（Ⅱ）/75
3.8 施泰纳三元系 / 79
3.9 构造/ 83 
3.10 分拆（I）/ 87 
3.11 分拆（Ⅱ）/ 90 
3.12 覆盖 / 94 
3.13 斯特林数 / 96 
3.14 Mf./ 101
第四讲 各种子集族 /105
4.1 S族/ 105 
4.2 链 / 109
4.3 迪尔沃思定理/114
4.4 李特尔伍德-奥福德问题 /117 
4.5 I族 /121
4.6 EKR定理的推广 /126 
4.7 影/ 130
4.8 米尔纳定理 /134 
4.9 上族与下族/137 
4.10 四函数定理 /141 
4.11 H族 /146
4.12 相距合理的族 /151
第五讲 无限集 /156
5.1 无限集 / 156
5.2 可数集/ 159 
5.3 连续统的基数/163 
5.4 基数的比较 / 166 
5.5 直线上的开集与闭集/171
5.6 康托尔的完备集/174 
5.7 库拉托夫斯基定理 /177

本书是“数学奥林匹克命题人讲座”（升级版）中的一本，主要讲述集合与对应的内容。各章节从高考难题、全国联赛一试试题的难度入手，充分考虑了参加数学竞赛的高中学生的实际需要。
升级版书稿保留了版中具有典型性的问题，在此基础上删减了部分老题目，并将近年来的高校自招、全国联赛、冬令营、IMO、中国女子数学奥林匹克、中国西部数学邀请赛及国外的数学竞赛中的新题好题充实进来，既有一定的新鲜度，又充分考虑到合理性。

单墫  我国著名数学传播、普及和数学竞赛专家。曾任南京师范大学数学系主任，中国数学奥林匹克委员会委员、教练组组长，国家*理科试验班专家组组长，南京数学学会理事长。主要从事数论与组合方面的研究，很多成果达到国际先进水平。1989年作为中国数学奥林匹克代表队副领队、主教练，1990年作为领队，率队参赛IMO均获总分，为我国数学竞赛事业作出很大贡献。

命题人写书，富于原创性，且因为充分了解问题的背景，写来能够深入浅出，“百炼钢化为绕指柔”。