算法的乐趣（第2版）

本书从一系列有趣的生活实例出发，全面介绍了构造算法的基础方法及其广泛应用，生动展现了算法的趣味性和实用性。书中介绍了算法在多个领域的应用，如图像处理、物理实验、计算机图形学、数字音频处理、机器学习等。其中，既有各种大名鼎鼎的算法，如神经网络、遗传算法、离散傅里叶变换算法、KNN、贝叶斯算法，也有不起眼的排序和概率计算算法。本书讲解浅显易懂而不失深度和严谨，对程序员有很大的启发意义。书中所有示例都与生活息息相关，充分地展现了算法解决问题的本质，让你爱上算法，乐在其中。本书在第1版的基础上新增了图像处理算法、游戏开发中检测碰撞常用的分离轴 （SAT）算法、垃圾邮件过滤相关的算法、中文分词算法、限流算法、手写数字识别和变声器等，进一步提升趣味性。

本书适合软件开发人员、编程和算法爱好者以及计算机专业的学生阅读。

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本书适合软件开发人员、编程和算法爱好者以及计算机专业的学生阅读。

王晓华 硕士毕业于华中科技大学，曾任职于中兴通讯上海研发中心，担任软件工程师、开发经理和PON业务软件负责人，目前兼任步威软件技术有限公司CTO和Boolan软件技术首席咨询师。

前言 iii

致谢 vi

第 1章 图像处理的几个简单算法 1

1.1 灰度（灰阶）算法 1

1.1.1 平均值法 2

1.1.2 值法 2

1.1.3 （经验）权重法 2

1.2 二值化（阈值）算法 3

1.2.1 Wellner 1993算法原理 4

1.2.2 Wellner 1993算法实现 6

1.2.3 Bradley & Roth算法原理 8

1.2.4 Bradley & Roth算法实现 10

1.3 考眼力游戏与图像求差 12

1.4 梯度算法与图像清晰度 13

1.4.1 Brenner梯度函数 14

1.4.2 EVA梯度函数 15

1.4.3 Tenengrad梯度函数 16

1.4.4 Laplacian梯度函数 17

1.5 边缘检测与落雪效果 18

1.5.1 梯度函数与边缘检测 19

1.5.2 研究积雪的效果 20

第 2章 分离轴算法与碰撞检测 23

2.1 计算几何基础 23

2.1.1 向量的加法和减法 23

2.1.2 向量的点积 24

2.1.3 法向量 24

2.1.4 投影 25

2.2 分离轴定理 25

2.2.1 算法原理 26

2.2.2 基本数据模型 26

2.2.3 如何找分离轴 27

2.2.4 计算投影 29

2.2.5 后，碰撞检测 30

2.3 总结 31

2.4 参考资料 31

第3章 垃圾邮件过滤与贝叶斯分类算法 32

3.1 贝叶斯定理 32

3.1.1 概率和条件概率 33

3.1.2 有多个条件时的条件概率 33

*.* 贝叶斯理论 33

*.*.1 贝叶斯理论原理 34

*.*.2 贝叶斯分类器原理 34

*.*.3 贝叶斯理论的应用示例 34

*.*.4 贝叶斯理论的使用方法 35

3.3 垃圾邮件分类器原理 36

3.3.1 第 一步：准备工作 36

3.*.* 第二步：训练分类器 38

3.3.3 第三步：应用分类器 40

3.4 总结 42

3.5 参考资料 42

第4章 匹配算法——简单的中文分词算法 43

4.1 匹配算法 43

4.1.1 正向匹配算法 43

4.1.2 逆向匹配算法 45

4.1.3 算法分析 46

4.2 算法实现 46

4.2.1 词典及词典匹配 46

4.2.2 正向匹配算法实现 47

4.2.3 逆向匹配算法实现 48

4.3 总结 50

4.4 参考资料 50

第5章 3个水桶等分8升水的问题 51

5.1 问题与求解思路 52

5.2 建立数学模型 53

5.2.1 状态的数学模型与状态树 53

5.2.2 倒水动作的数学模型 54

5.3 搜索算法 55

5.3.1 状态树的遍历 55

5.*.* 剪枝和重复状态判断 56

5.4 算法实现 57

5.5 总结 59

5.6 参考资料 59

第6章 妖怪与和尚过河问题 60

6.1 问题与求解思路 61

6.2 建立数学模型 61

6.2.1 状态的数学模型与状态树 62

6.2.2 过河动作的数学模型 62

6.3 搜索算法 64

6.3.1 状态树的遍历 65

6.*.* 剪枝和重复状态判断 66

6.4 算法实现 66

6.5 总结 68

6.6 参考资料 68

第7章 稳定匹配与舞伴问题 69

7.1 稳定匹配问题 69

7.1.1 什么是稳定匹配 69

7.1.2 Gale-Shapley 算法原理 70

7.2 Gale-Shapley 算法的应用实例 72

7.2.1 算法实现 72

7.2.2 改进优化：空间换时间 75

7.3 有多少稳定匹配 76

7.3.1 穷举所有的完美匹配 77

7.*.* 不稳定因素的判断算法 78

7.3.3 穷举的结果 79

7.4 二部图与二分匹配 80

7.4.1 匹配与匈牙利算法 81

7.4.2 带权匹配与Kuhn-Munkres算法 84

7.5 总结 89

7.6 参考资料 90

第8章 爱因斯坦的思考题 91

8.1 问题的答案 92

8.2 分析问题的数学模型 92

8.2.1 基本模型定义 92

8.2.2 线索模型定义 94

8.3 算法设计 95

8.3.1 穷举所有的组合结果 95

8.*.* 利用线索判定结果的正确性 97

8.4 总结 99

8.5 参考资料 100

第9章 项目管理与图的拓扑排序 101

9.1 AOV网和AOE网 103

9.2 拓扑排序 104

9.2.1 拓扑排序的基本过程 104

9.2.2 按照活动开始时间排序 104

9.3 关键路径算法 107

9.3.1 什么是关键路径 108

9.*.* 计算关键路径的算法 109

9.4 总结 112

9.5 参考资料 113

第 10章 限流算法与两个桶 114

10.1 漏桶算法 114

10.2 令牌桶算法 117

10.2.1 原理 117

10.2.2 算法细节 117

10.2.3 CRateLimiter类 119

10.2.4 测试CRateLimiter类 120

10.3 总结 122

10.4 参考资料 122

第 11章 算法与历法 123

11.1 格里历（公历）生成算法 123

11.1.1 格里历的历法规则 123

11.1.2 今天星期几 124

11.1.3 生成日历的算法 129

11.1.4 日历变更那点事儿 130

11.2 二十四节气的天文学计算 132

11.2.1 二十四节气的起源 132

11.2.2 二十四节气的天文学定义 132

11.2.3 VSOP-82/87行星理论 135

11.2.4 误差修正——章动 138

11.2.5 误差修正——光行差 140

11.2.6 用牛顿迭代法计算二十四节气 141

11.3 农历朔日（新月）的天文学计算 144

11.3.1 日月合朔的天文学定义 144

11.*.* ELP-2000/82月球理论 145

11.3.3 误差修正——地球轨道离心率修正 146

11.3.4 误差修正——黄经摄动 147

11.3.5 月球地心视黄经和后的修正——地球章动 148

11.3.6 用牛顿迭代法计算日月合朔 149

11.4 农历的生成算法 150

11.4.1 中国农历的起源与历法规则 151

11.4.2 中国农历的推算 156

11.4.3 一个简单的“年历” 164

11.5 总结 164

11.6 参考资料 165

第 12章 实验数据与曲线拟合 166

12.1 曲线拟合 166

12.1.1 曲线拟合的定义 166

12.1.2 简单线性数据拟合的例子 166

12.2 小二乘法曲线拟合 167

12.2.1 小二乘法原理 168

12.2.2 高斯消元法求解方程组 169

12.2.3 小二乘法解决“速度与加速度”实验 170

12.3 三次样条曲线拟合 171

12.3.1 插值函数 172

12.*.* 样条函数的定义 172

12.3.3 边界条件 173

12.3.4 推导三次样条函数 174

12.3.5 追赶法求解方程组 177

12.3.6 三次样条曲线拟合算法实现 179

12.3.7 三次样条曲线拟合的效果 181

12.4 总结 183

12.5 参考资料 183

第 13章 非线性方程与牛顿迭代法 184

13.1 非线性方程求解的常用方法 184

13.1.1 公式法 184

13.1.2 二分逼近法 185

1*.* 牛顿迭代法的数学原理 186

13.3 用牛顿迭代法求解非线性方程的实例 187

13.3.1 导函数的求解与近似公式 187

13.*.* 算法实现 188

13.4 参考资料 188

第 14章 计算几何与计算机图形学 189

14.1 计算几何的基本算法 189

14.1.1 点与矩形的关系 190

14.1.2 点与圆的关系 190

14.1.3 矢量的基础知识 191

14.1.4 点与直线的关系 193

14.1.5 直线与直线的关系 194

14.1.6 点与多边形的关系 196

14.2 直线生成算法 199

14.2.1 什么是光栅扫描转换 200

14.2.2 数值微分法 200

14.2.3 Bresenham算法 202

14.2.4 对称直线生成算法 204

14.2.5 两步算法 205

14.2.6 其他直线生成算法 207

14.3 圆生成算法 208

14.3.1 圆的八分对称性 208

14.*.* 中点画圆算法 209

14.3.3 改进的中点画圆算法——Bresenham算法 210

14.3.4 正负判定画圆法 211

14.4 椭圆生成算法 212

14.4.1 中点画椭圆算法 213

14.4.2 Bresenham椭圆生成算法 216

14.5 多边形区域填充算法 218

14.5.1 种子填充算法 219

14.5.2 扫描线填充算法 224

14.5.3 改进的扫描线填充算法 231

14.5.4 边界标志填充算法 235

14.6 总结 238

14.7 参考资料 238

第 15章 音频频谱和均衡器与傅里叶变换算法 239

15.1 实时频谱显示的原理 239

15.2 离散傅里叶变换 240

15.2.1 什么是傅里叶变换 241

15.2.2 傅里叶变换原理 241

15.2.3 快速傅里叶变换算法的实现 245

15.3 傅里叶变换与音频播放的实时频谱显示 247

15.3.1 频域数值的特点分析 247

15.*.* 从音频数据到功率频谱 248

15.3.3 音频播放时实时频谱显示的例子 251

15.4 破解电话号码的小把戏 253

15.4.1 拨号音的频谱分析 253

15.4.2 根据频谱数据反推电话号码 255

15.5 离散傅里叶逆变换 256

15.5.1 快速傅里叶逆变换的推导 256

15.5.2 快速傅里叶逆变换的算法实现 257

15.6 利用傅里叶变换实现频域均衡器 257

15.6.1 频域均衡器的实现原理 258

15.6.2 频域信号的增益与衰减 258

15.6.3 均衡器的实现——仿 Foobar的18段均衡器 260

15.7 总结 261

15.8 参考资料 262

第 16章 全局解与遗传算法 263

16.1 遗传算法的原理 263

16.1.1 遗传算法的基本概念 264

16.1.2 遗传算法的处理流程 265

16.2 遗传算法求解0-1背包问题 270

16.2.1 基因编码和种群初始化 270

16.2.2 适应度函数 271

16.2.3 选择算子设计与轮盘赌算法 272

16.2.4 交叉算子设计 273

16.2.5 变异算子设计 274

16.2.6 这就是遗传算法 275

16.3 总结 276

16.4 参考资料 276

第 17章 计算器程序与大整数计算 277

17.1 哦，溢出了，出洋相的计算器程序 277

17.2 大整数计算的原理 278

17.2.1 大整数加法 279

17.2.2 大整数减法 281

17.2.3 大整数乘法 283

17.2.4 大整数除法与模 284

17.2.5 大整数乘方运算 286

17.3 大整数类的使用 287

17.3.1 与 Windows的计算器程序一决高下 287

17.*.* 公约数和小公倍数 287

17.3.3 用扩展欧几里得算法求模的逆元 290

17.4 总结 292

17.5 参考资料 292

第 18章 RSA算法——加密与签名 293

18.1 RSA 算法的开胃菜 293

18.1.1 将模幂运算转化为模乘运算 294

18.1.2 模乘运算与蒙哥马利算法 295

18.1.3 模幂算法 296

18.1.4 素数检验与米勒 拉宾算法 296

18.2 RSA算法原理 299

18.2.1 RSA算法的数学理论 300

18.2.2 加密和解密算法 300

18.2.3 RSA 算法的安全性 301

18.3 数据块分组加密 302

18.3.1 字节流与大整数的转换 302

18.*.* PCKS与OAEP加密填充模式 303

18.3.3 数据加密算法实现 305

18.3.4 数据解密算法实现 305

18.4 RSA 签名与身份验证 306

18.4.1 RSASSA-PKCS与RSASSA-PSS签名填充模式 307

18.4.2 签名算法实现 309

18.4.3 验证签名算法实现 309

18.5 总结 310

18.6 参考资料 311

第 19章 数独游戏 312

19.1 数独游戏的规则与技巧 312

19.1.1 数独游戏的规则 312

19.1.2 数独游戏的常用技巧 313

19.2 计算机求解数独问题 314

19.2.1 建立问题的数学模型 315

19.2.2 算法实现 316

19.2.3 与传统穷举方法的结果对比 318

19.3 关于数独的趣味话题 318

19.3.1 数独游戏有多少终盘 318

19.*.* 难的数独游戏 319

19.4 总结 320

19.5 参考资料 320

第 20章 华容道游戏 321

20.1 华容道游戏介绍 321

20.2 自动求解的算法原理 322

20.2.1 定义棋盘的局面 323

20.2.2 算法思路 324

20.3 自