故事背后的数学逻辑(砺智石丛书)

说我们的关系势不两立，那是夸大其词；我活着，我让我自己活着，因而博尔赫斯能够编织他的文学，文学证实了我的存在..我不知道我们中还有谁在写这样的一页。
—豪尔赫·路易斯·博尔赫斯
（Jorge Luis Borges）1

正当胖子黯然地嘿嘿苦笑时，她转身面向这位她钟爱过的叔叔。随着他神经质地逐步退向宾馆客房的门口，她肆无忌惮地撕毁了从他的夏威夷衬衫口袋中掏出来的文件。她对他的脂肪和口是心非都毫不掩饰地厌恶，斥骂道：“1995年7月到1997年6月之间的所有破产记录中，有22.8%可归因于错误的法律咨询，而超过9.2%是近两年发生的。”

“我已经尽力而为了，”273磅重的胖子哭丧着回答。他尽量不进一步激怒他的侄女，而她已气得不顾她柔弱的体形、113磅的体重和天使般的脸庞能否承受这样严重的打击。然而，当他在过道中站稳后，又振作起来辩白：“多项研究的综合分析指出，少于40%的1法律上的渎职案例是出于恶意，失控是因为力不能及。”这时她扑向他，在他臃肿的背后用她有力的尖手指掐他的厚脖子，撕他的衬衣。

正如在这个小品中那样，我们在日常生活中讲述故事时，经常会不合时宜地融入一些自以为有关的统计，即使在表面上两者并不互相冲突。我们的故事总是充满一些出于欲望、恐惧以及可能对通心粉的偏爱而做事的人们。每一种特殊的环境和局面在每一种描述中都被夸大其词。然而在统计中，很少有当事人，只有图表和数字、一般规律、运算过程。特殊性和细节通常都被当作无关紧要的因素而舍弃。

叙述与数字之间的胡乱联结，从凡人琐事—把相关误认为一种因果联系一直到至理名言中都会发生。近的一个例子是圣经密码现象，它体现了我们对故事的渴望与被非主观统计吸引之间的冲突。这种狂热起始于埃利亚胡·里普斯（Eliyahu Rips）和另外两位以色列数学家在一份统计学杂志上发表的一篇论文，该论文似乎暗示，《律书》（Torah）—圣经旧约的第五卷包含许多所谓等距字母序列，或称ELS（equidistant letter sequences），它们揭示了许多人物、事件和日期之间意味深长的关系。

一个ELS是一个字母序列（这里是希伯来文字母），其中每一个字母与前一个字母之间被一个固定长度的字母串隔开。原文中的词都被考虑在内，而它们之间的间隙被忽略。这样，英语词generalization（一般化）就包含一个“Nazi（纳粹）”的ELS—geNerAliZatIon—其中固定的字母间隔只有3个字母（通常，ELS的字母间隔要2长得多，从某个开始的字母算起，诸如第23、46、69、92个字母等）。论文发现，生活在圣经时代以后的几个世纪中的著名犹太法师的名字和他们的生日的ELS（及其变种）经常一起隐藏在《律书》的正文中，而发生这样的事情的概率是微乎其微的。

这篇论文的发表被杂志的编辑们看作一种数学之谜：在那些可以被认为是低概率的事件中，实际上究竟如何？然而，这并不是论文被接受的原因。各种团体都扑向这一“证据”，因为他们已经有过以前的基督教和伊斯兰教的数字命理学的发现，并且他们声称，这是《律书》中神的灵感的证明。迈克尔·德罗斯宁（Michael Drosnin）的国际畅销书《圣经密码》（The Bible Code）甚至更进一步地宣称，在《律书》中发现伊扎克·拉宾（Itzhak Rabin）2被刺杀和另一些现代事件的预言。毫不令人惊奇的是，也有人找出与长年不衰的肯尼迪（J. Kennedy）3事件的联系，一个对于Kennedy的ELS的不远处是对于Dallas（达拉斯）的ELS。虽然我将在本书的后面讨论这一问题的解答，以及圣经密码背后的简单数学，这里我先要提出的是：我们对破解故事、当事人和动机的渴望是如此强烈，使得无上下文的字母序列都会被许多人看作含义无穷。

上面提到的小片断只是以两种不良方式来说明故事与统计之间是可以沟通的。本书旨在以更聪明的方式来弥补和探测它们间的缺口，还讨论了如何把故事和统计都纳入我们生活的非技术问题；我们怎样回答也有助于定义我们是谁。

几乎每一个人都见过纽约市中心（或者某个其他城市）的海报，它用该市的全景显示其地区魅力，3而世界的其余部分在海报的遥远背景中退化为一个点。与此类似，我们的心理世界也是以自我为中心，其他人形成我们生活的背景，以及烦人的是，我们也形成了他们的背景。怎样才能使这些地区海报和自我观念，与精确的地图、外部复杂性和无实体的视角相互协调？

问题还在于，在怎样的范围内，故事与统计之间的逻辑和心理缺口，以致主观视角与非主观概率之间、无形式聊天与形式逻辑之间以及含义与信息之间的缺口，被弥补或至少被澄清？在文学和科学之间存在类似的不太稳定的互补性。个人的视角、可能的情景、惯用的原型和奇异的怪僻之类的文学讨论，难以与客观的对象、确定的结局、宇宙的真理和一般的案例之类科学报告结对。沿着稍有不同的路线，诸如幸运和奇迹那样的词与机会和巧合那样的术语相提并论，也会使人感到别扭。

我们能否成功地在那些只用好人坏人来看世界的人与那些用机会和数字来看世界的人之间，“文学”文化与“科学”文化之间，以及阴谋论者与“无处可去的人”之间的鸿沟上架桥？在一个日益网络化的世界中，不低估科学客观性的纯个人观察和姿态是否能赢得受尊重的地位？如果是，那么怎样把几乎每个人都感受到被侵犯、却几乎没有一个人认为自己侵犯别人的事实弄清楚？4

例如，我们怎样来画出一张既包含人性意义、又包含零七碎八的信息，并将它们融会贯通的图？以什么方式来使故事（比如，女人和她的胖叔叔）和统计（比如，法律上渎职的统计）恰到好处地融为一体？统计概念是否使耳熟能详的故事和事件所提出的观念更为细化和升华？复杂性和“自由秩序”的数学概念的叙事含义是什么？在公众中运用统计的文学解释是什么？文学批评应该与密码学联系起来做些什么？

在下列互相关联的随笔中，我希望对这些问题提出一孔之见，但也希望它能入木三分。与故事和统计之间明显的鸿沟（诸如误把奇闻当作统计证据，或者相反，取平均水平来描述个别情形）相联系的某些怪事和问题，是把在一个领域中合适的逻辑用到另一个迥然不同的领域中去的结果。不像数学或物理科学的逻辑，无形式的、日常逻辑的真值至关紧要地依赖于上下文，以及在任意情况下独特的、不可替换的方面。把一场游戏或活动的特定条件，或者说，对于特殊宗教信念的特定条件，放大到物理宇宙中去—或者相反，从物理定律中得出此类游戏、活动或个人宗教信仰的策略—仅仅是诸领域间这种混淆的一个例子。对圣经密码赋予含义也是如此，只是方式上略有不同。

个人与客体之间的关系经常是微妙的。我们怎样定义问题会影响问题的解决；例如，当个人选择的彩票号码似乎比机器取出的号码更有希望中彩（即使被机器选中与被5任何别的人选中的是一样的任意号码集）时，这样的事就会发生。更为一般的是，我们的公共知识和隐含理解将我们密不可分地联系在一起的方式指向了标准数学实践的某种有趣扩展。

在小品与寓言之间，我将讨论相替代的逻辑、来自概率和统计的观念、编码和信息论、科学哲学，以及一丁点文学理论，并且用它们来描绘触及我们世界的两种基本方式—叙述和数字之间的内在联系。为它们之间的缺口架桥，曾经是我以前所有的书中以这样那样的方式所予以的关注所在。我想，这也是我们中63.21%的人的关注所在。

译者注：

1. 博尔赫斯（1899—1986），阿根廷作家。

2. 拉宾（1922—1995），以色列总理。1995年被右翼分子刺杀。

3. 肯尼迪（1917—1963），1960年当选为美国总统。1963年在达拉斯被刺身亡。对他的被刺调查了二十几年，始终没有定论。至今仍有各种新的说法问世。

通常人们总把数字想象得抽象、确定、永恒、枯燥无味，而好的故事则充满生气、精细微妙、回味无穷，但不太严格。而本书指出，故事与数字之间并非如你想象的那么不同，它们之间有令人惊奇、引人入胜的联系。事实上，数学史上逻辑和概率等重要概念，都是从故事演变的直观想法中发展起来的，新近的突变理论和复杂性理论亦是如此。为此，作者在全书中穿插了许多具有一定层次、发人深省的笑话、寓言、宗教轶事及有趣的对话，来帮助读者理解这些出色的观点。

通常人们总把数字想象得抽象、确定、永恒、枯燥无味，而好的故事则充满生气、精细微妙、回味无穷，但不太严格。而本书指出，故事与数字之间并非如你想象的那么不同，它们之间有令人惊奇、引人入胜的联系。事实上，数学史上逻辑和概率等重要概念，都是从故事演变的直观想法中发展起来的，新近的突变理论和复杂性理论亦是如此。为此，作者在全书中穿插了许多具有一定层次、发人深省的笑话、寓言、宗教轶事及有趣的对话，来帮助读者理解这些出色的观点。

约翰·阿伦·保罗斯（John Allen Paulos），美国坦普尔大学数学教授，在威斯康星大学获得博士学位。保罗斯也是一位广受赞誉的作家、演说家，曾任《科学美国人》《卫报》等的专栏作家。他的著作包括荣登《纽约时报》畅销书18周的《数盲》（Innumeracy）、兰登书屋现代图书馆编撰的“20世纪100本非小说类图书”之一的《一位数学家读报》（A Mathematician Reads the Newspaper）、《故事背后的数学逻辑》（年度图书之一）等。2003年，保罗斯因促进公众对科学的理解而获美国退休人员协会奖（AARP Award），2013年获数学联合政策委员会颁发的数学传播奖（Mathematics Communication Award）。

引言 001

章 故事与统计之间 006

第二章 主观视角与非主观概率之间 028

第三章 无形式聊天与形式逻辑之间 059

第四章 含义与信息之间 107

第五章 为缺口架桥 139

文献精选 157

索引 159

通常人们总把数字想象得抽象、确定、永恒、枯燥无味，而好的故事则充满生气、精细微妙、回味无穷，但不太严格。而本书指出，故事与数字之间并非如你想象的那么不同，它们之间有令人惊奇、引人入胜的联系。事实上，数学史上逻辑和概率等重要概念，都是从故事演变的直观想法中发展起来的，新近的突变理论和复杂性理论亦是如此。为此，作者在全书中穿插了许多具有一定层次、发人深省的笑话、寓言、宗教轶事及有趣的对话，来帮助读者理解这些出色的观点。

约翰·阿伦·保罗斯（John Allen Paulos），美国坦普尔大学数学教授，在威斯康星大学获得博士学位。保罗斯也是一位广受赞誉的作家、演说家，曾任《科学美国人》《卫报》等的专栏作家。他的著作包括荣登《纽约时报》畅销书18周的《数盲》（Innumeracy）、兰登书屋现代图书馆编撰的“20世纪100本非小说类图书”之一的《一位数学家读报》（A Mathematician Reads the Newspaper）、《故事背后的数学逻辑》（年度图书之一）等。2003年，保罗斯因促进公众对科学的理解而获美国退休人员协会奖（AARP Award），2013年获数学联合政策委员会颁发的数学传播奖（Mathematics Communication Award）。