锥优化的光滑牛顿法研究

作为数学规划领域的一个重要分支,锥优化问题(包括线性规划、线性互补问题、二阶锥规划、二阶锥互补问题、圆锥规划、圆锥互补问题、对称锥规划、对称锥互补问题等)内容新、涵盖面广、理论丰富，且有广泛的应用背景锥优化问题具有以下3个特征：它与组合优化、不确定优化、鲁棒优化、博弈与均衡理论等分支有着密切的联系；与经典的非线性规划问题相比，具有更广泛的应用背景，其研究问题涉及金融、管理、交通、控制、通信、电力等诸多领域；二阶锥具有优美的几何结构和鲜明的代数特征因此锥优化的研究有着非常重要的意义，已经成为当前一个非常活跃和热门的研究方向全书主要介绍了几类锥优化问题的光滑函数和光滑牛顿法，反映了作者及其研究小组多年来在锥优化方面的研究积累本书适合用作运筹学、管理科学、应用数学和工程类专业高年级本科生和研究生的教材或参考书，也可供从事相关研究的教师、科研人员参考
本书的主要内容如下：
(1)探讨一类下层为二阶锥规划的双层规划问题的二阶充分条件当双层规划的下层优化问题存在不确定性时，运用鲁棒优化方法可转化为一类下层为二阶锥规划的双层规划问题(SOCBLP)；证明在适当的假设下，其下层优化问题的Lagrange乘子集值映射是上半连续的，基于此，探讨了二阶锥规划的双层规划问题与其KKT形式之间的相似和关系；推导出在可行点处临界锥的具体形式，并在适当的假设下证明M稳定点处的二阶充分性条件是二阶增长条件成立的充分条件
(2)研究二阶锥互补问题(SOCCP)的几类光滑函数(一类单参数光滑函数、单参数FischerBurmeister光滑函数类和光滑广义FischerBurmeister函数)的雅可比相容性二阶锥(SOC)互补函数及其光滑函数在求解二阶锥互补问题方面得到广泛研究，而光滑函数的雅可比矩阵相容性对于实现牛顿法或牛顿类方法的快速收敛具有重要作用本书研究了几类二阶锥互补函数的方向导数和B次微分，提出其光滑函数，并推导光滑函数的雅可比计算公式基于这些结果，证明了几类光滑函数的雅可比相容性，这将对实现光滑方法的快速收敛起到重要作用此外，本书给出了二阶锥互补函数的次梯度与其光滑函数的梯度之间的距离上界，这将有助于在光滑方法中适当地调整参数
(3)研究二阶锥互补问题的双参数效益函数类基于单参数互补函数类的二阶锥互补问题，提出了一类双参数效益函数通过新的效益函数类，二阶锥互补问题可以转化为无约束极小化问题可以证明新的效益函数类具有一些好的性质特别地，如果函数F和G具有联合一致笛卡儿P性质，则它提供了一个全局误差界而且在比大多数现有条件弱的条件下，它具有有界水平集 二阶锥互补问题的初步数值结果表明，基于新效益函数类的效益函数方法是有效的
(4)提出一种求解二阶锥互补问题的新的非精确光滑方法该方法通过引入一个正则化的ChenHarkerKanzowSmale光滑函数，将二阶锥互补问题转化为一个等价的非线性方程组在每次迭代中，运用牛顿法求解方程组，比运用精确搜索节省计算工作量在较弱条件下，可证得该方法具有全局收敛性和局部二次收敛性
(5)研究欧几里得若尔当代数上的水平线性权互补问题(wHLCP)，给出了一些解的存在性和性结果，并提出求解对称锥权互补问题(wSCCP)的正则化非单调非精确光滑牛顿法对于欧几里得若尔当代数上的一对线性变换，引入R0、R和P性质的概念，讨论wHLCP在非零（拓扑）度条件下的可解性，并给出Rn上的性结果这些结论可以很自然地应用到内点系统然后提出求解对称锥权互补问题的正则化非单调非精确光滑牛顿法算法将正则化参数视为一个独立变量，因此它与许多现有的算法相比，更简单、易实现在每次迭代中，算法只需求得方程组的近似解另外，算法中的非单调线搜索包含了两种常用的非单调形式在单调假设下,证明算法全局收敛且局部二阶收敛一些数值结果表明了算法的有效性
(6)研究圆锥规划问题(CCP)的非退化和严格互补性质，提出求解圆锥规划问题和圆锥互补问题(CCCP)的三种非单调光滑牛顿法圆锥规划问题是指在仿射空间与圆锥的笛卡儿乘积的交集上实现线性函数的极小化或极大化通过运用圆锥与二阶锥之间的代数关系，将圆锥规划问题和圆锥互补问题转化为二阶锥互补问题分别基于求解二阶锥互补问题的单参数光滑函数和正则化FischerBurmeister光滑函数等，并结合新的非单调线搜索，提出了求解圆锥规划问题和圆锥互补问题的三种光滑牛顿法算法对初始点不作要求，在每次迭代中只需求解一个线性方程组并执行一次线搜索在无须严格互补的条件下，证明算法具有全局收敛性和局部二次收敛性后，一些初步的数值结果表明了所提出的非单调光滑牛顿法求解圆锥规划问题和圆锥互补问题的有效性
本书由迟晓妮总体策划、主要编写和统一定稿，其中迟晓妮编写了第1,2，4~13章，万仲平执笔写了第3章此外，刘文丽、杨绮丽和张璐等研究生也做了大量的校对工作本书的完成得益于研究小组全体成员的大力支持，在此一并表示感谢！
本书出版得到了国家自然科学基金(项目编号:11861026)和广西自然科学基金(项目编号:2021GXNSFAA220034)的资助
由于作者水平有限，书中难免存在不足之处，恳请读者批评指正！

著者2022年5月

《锥优化的光滑牛顿法研究》系统研究几类锥优化问题的光滑函数和光滑牛顿法。全书共13章，主要内容包括一类下层为二阶锥规划的双层规划问题的二阶充分条件、二阶锥互补问题的一类单参数光滑函数的雅可比相容性、二阶锥互补问题的单参数光滑 Fischer-Burmeister 函数类的雅可比相容性、二阶锥互补问题的光滑广义 Fischer-Burmeister 函数的雅可比相容性、二阶锥互补问题的双参数效益函数类、二阶锥互补问题的新非精确光滑方法、欧几里得若当代数上的水平线性权互补问题、对称锥权互补问题的正则化非单调非精确光滑牛顿法、求解圆锥规划的非单调光滑牛顿法、圆锥规划的非单调线性搜索光滑牛顿法及圆锥互补问题的正则化非精确光滑牛顿法等。《锥优化的光滑牛顿法研究》可以作为数学及化等相关专业高年级本科生、研究生的教材或参考书，也可供相关教师、科研人员参考。

第1章绪论

第2章预备知识
2.1锥的定义
2.2与锥相关的基础知识
2.3相关概念

第3章一类下层为二阶锥规划的双层规划问题的二阶充分条件
3.1问题引入
3.2相关概念及引理
3.3二阶锥规划的双层规划问题的解
3.4二阶充分条件

第4章二阶锥互补问题的一类单参数光滑函数的雅可比相容性
4.1引言
4.2互补函数及其光滑函数
4.3雅可比相容性
4.4另一种证明

第5章二阶锥互补问题单参数光滑Fischer Burmeister函数类的雅可比相容性
5.1引言
5.2光滑函数φτ,μ
5.3φτ,μ的雅可比相容性
5.4应用

第6章二阶锥互补问题的光滑广义Fischer Burmeister函数的雅可比相容性
6.1问题引入
6.2光滑函数
6.3雅可比相容性
6.4

《锥优化的光滑牛顿法研究》系统研究几类锥优化问题的光滑函数和光滑牛顿法。全书共13章，主要内容包括一类下层为二阶锥规划的双层规划问题的二阶充分条件、二阶锥互补问题的一类单参数光滑函数的雅可比相容性、二阶锥互补问题的单参数光滑 Fischer-Burmeister 函数类的雅可比相容性、二阶锥互补问题的光滑广义 Fischer-Burmeister 函数的雅可比相容性、二阶锥互补问题的双参数效益函数类、二阶锥互补问题的新非精确光滑方法、欧几里得若当代数上的水平线性权互补问题、对称锥权互补问题的正则化非单调非精确光滑牛顿法、求解圆锥规划的非单调光滑牛顿法、圆锥规划的非单调线性搜索光滑牛顿法及圆锥互补问题的正则化非精确光滑牛顿法等。《锥优化的光滑牛顿法研究》可以作为数学及化等相关专业高年级本科生、研究生的教材或参考书，也可供相关教师、科研人员参考。

《锥优化的光滑牛顿法研究》主要介绍了几类锥优化问题的光滑函数和光滑牛顿法，反映了作者及其研究小组多年来在锥优化方面的研究积累。《锥优化的光滑牛顿法研究》适合用作运筹学、管理科学、应用数学和工程类专业高年级本科生和研究生的教材或参考书，也可供从事相关研究的教师、科研人员参考