复变函数与积分变换

　　复变函数与积分变换是理工科相关专业重要的数学基础课程之一，教学内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、共形映射、傅里叶变换和拉普拉斯变换。复变函数论主要研究复数域上的解析函数，包括解析函数理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数、共形映射等内容。积分变换是以复变函数与微积分为基础，通过积分运算将微分、积分等分析运算转换为代数运算。复变函数与积分变换的理论体系已经渗透到代数学、微分方程等数学分支，在电气工程、信号分析与图像处理、通信与控制、量子力学、理论物理、地质勘探与地震预报等领域中有着广泛的应用。
　　本教材由六名辽宁省教学名师联合编写，围绕新工科建设人才培养目标，在复变函数与积分变换传统精髓内容的基础上，融入课程思政，结构严谨、深入浅出、重点突出。复变函数与积分变换教材包括严谨优美的数学理论体系、数学物理及工程技术中的常用方法，与工程实践紧密结合，是适合高等学校理工科专业学生及从事自然科学、工程技术人员的教材。
　　2020年沈阳理工大学复变函数与积分变换课程在“中国大学MOOC”平台上线，该课程以本教材为蓝本讲授。结合已上线的MOOC，本教材包括教学视频资源、电子教案、试题库等电子资源。本教材将纸质教材内容与电子资源紧密配合，丰富了知识的呈现形式，实现线上线下的有机结合与资源共享。读者可扫描书中二维码获取电子资源，这样有利于学生进行个性化学习。
　　本书中带星号(*)的为某些相关专业选用的内容，可根据各专业的不同需要选用，也可以跳过带星号的内容。
　　本书由沈阳理工大学理学院组织编写并负责后的统稿和审定。全书分为两部分，共7章，部分为复变函数论，共5章，第二部分为积分变换，共两章。具体分工如下：宫华负责第2～4章、第6～7章；袁朴玉负责第1章和第5章；郭宇负责本书的MATLAB实验及复习思考题。全书由沈阳理工大学的宫华教授、辽宁工程技术大学的高雷阜教授、沈阳建筑大学的靖新教授和辽宁科技大学的郭良栋教授负责整体审阅，感谢他们从写作理念、数学思想方面提出的宝贵意见和建议。
　　本书在编写过程中，参考了很多同类著作和期刊等，限于篇幅，恕不一一列出，特此说明并致谢。
　　由于编者水平有限，书中难免存在一些不足之处，敬请读者和同行不吝赐教。
　　
　　编  者  

深度挖掘复变函数与积分变换传统精髓内容,突出应用数学思想、概念和方法分析和解决工程实践中的复杂问题的教学理念。本教材主要内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、 数、留数及其应用、共形映射、Fourier变换、 Laplace变换及 其应用。每章配有MATLAB在《复变函数与积分变换》课程中的基本使用方法。

本教材配备了相应的视频资源、电子课件、习题集、试题库等网络课程资源,可供学生线上学习。本书可作为高等院校理I科各专业使用教材,也可作为科研学者及有关教师的参考书。

宫华，沈阳理工大学理学院院长，教授，博士生导师，享受国务院政府特殊津贴专家，辽宁省教学名师。入选辽宁省“百千万人才工程”百层次，入选“兴辽英才计划”、辽宁省高等学校优秀人才支持计划、沈阳市中青年科技创新人才支持计划。辽宁省普通高等学校数学类专业教学指导委员会委员、沈阳市数学会副理事长。辽宁省一流课程负责人、精品资源共享课程负责人，辽宁省大学生校外实践教育基地负责人。

第1章  复变函数与解析函数 1
1.1  复数 1
1.1.1  复数的基本概念 1
1.1.2  复平面 1
1.1.3  复数的乘幂与方根 5
1.1.4  复球面 8
1.1.5  区域 9
1.2  复变函数 12
1.2.1.  复变函数的概念 12
1.2.2  映射 13
1.2.3  复变函数的极限 14
1.2.4  复变函数的连续性 16
1.3  解析函数的概念及充要条件 17
1.3.1  复变函数的导数 17
1.3.2  解析函数的概念 19
1.3.3  函数解析的充要条件 20
1.4  初等函数 24
1.4.1  指数函数 24
1.4.2  对数函数 25
1.4.3  乘幂和幂函数 27
1.4.4  三角函数 28
1.4.5  反三角函数 30
1.4.6  双曲函数与反双曲函数 30
1.5  MATLAB实验 31
1.5.1  复数与复矩阵的生成 31
1.5.2  复数的运算 32
1.5.3  复变函数的极限和导数 34
本章小结 35
复习思考题 36
第2章  复变函数的积分 39
2.1  复变函数积分的概念 39
2.1.1  有向曲线 39
2.1.2  复积分的定义 40
2.1.3  复积分的性质 41
2.1.4  复积分存在的条件与基本
计算方法 41
2.2　复变函数积分的基本定理 45
2.2.1  柯西-古萨基本定理 45
2.2.2  基本定理的推广——复合
闭路定理 46
2.3  原函数与不定积分 48
2.3.1  变上限积分 48
2.3.2  不定积分 50
2.4  复变函数积分的基本公式 51
2.4.1  柯西积分公式 51
2.4.2  解析函数的高阶导数 54
2.5  解析函数与调和函数的关系 57
2.5.1  调和函数与共轭调和函数的
概念 57
2.5.2  利用调和函数构造解析
函数 58
2.6  MATLAB实验 60
本章小结 61
复习思考题 62
第3章  级数 65
3.1  复变函数项级数 65
3.1.1  复数列的极限 65
3.1.2  复数项级数及其审敛法 67
3.1.3  复变函数项级数的基本
概念 68
3.1.4  幂级数及其收敛性 69
3.1.5  幂级数的运算性质 73
3.2  泰勒级数 75
3.2.1  泰勒展开定理 75
3.2.2  函数的泰勒展开式 77
3.3  洛朗级数 79
3.3.1  双边幂级数 80
3.3.2  洛朗展开定理 81
3.3.3  函数的洛朗展开式 84
3.4  MATLAB实验 89
3.4.1  复数项无穷级数敛散性的
判定 89
3.4.2  泰勒级数展开式 90
本章小结 91
复习思考题 92
第4章  留数 94
4.1  孤立奇点 94
4.1.1  可去奇点 95
4.1.2  极点 96
4.1.3  本性奇点 97
4.1.4  解析函数中零点与极点的
关系 97
4.1.5  函数在无穷远点的性态 99
4.2  留数的定义及计算 101
4.2.1  留数的概念及定理 101
4.2.2  留数的计算规则 103
4.2.3  在无穷远点留数的计算 105
4.3  留数在定积分计算中的应用 108
4.3.1  形如的
积分 108
4.3.2  形如的积分 109
4.3.3  形如的
积分 110
4.4  MATLAB实验 112
4.4.1  复变函数为有理分式函数 112
4.4.2  其他类型函数 113
本章小结 114
复习思考题 115
第5章  共形映射 117
5.1  共形映射概述 117
5.1.1  两曲线的夹角 117
5.1.2  解析函数导数的几何意义 118
5.1.3  共形映射的概念 120
5.2　分式线性映射 121
5.2.1  分式线性映射的概念 121
5.2.2  分式线性映射的性质 124
5.3  确定分式线性映射的条件 128
5.4  上半平面与单位圆域的分式线性
映射 130
5.5  幂函数与指数函数所构成的映射 134
5.5.1  幂函数(且为
整数) 134
5.5.2  指数函数 135
5.6  MATLAB实验 136
5.6.1  MATLAB在分式线性映射
中的应用 136
5.6.2  MATLAB在共形映射图形
中的应用 137
本章小结 138
复习思考题 139
第6章  傅里叶变换 140
6.1  傅里叶积分 140
6.1.1  傅里叶级数 140
6.1.2  傅里叶积分定理 142
6.2　傅里叶变换 145
6.2.1  傅里叶变换与傅里叶
逆变换的概念 145
6.2.2  单位脉冲函数的概念
与性质 148
6.2.3  单位脉冲函数的傅里叶
变换 151
6.3  傅里叶变换的性质 153
6.3.1  线性性质 153
6.3.2  位移性质 154
6.3.3  相似性质 155
6.3.4  对称性质 156
6.3.5  微分性质 156
6.3.6  积分性质 157
6.3.7  帕塞瓦尔(Parserval)等式 158
6.4  卷积 159
6.4.1  卷积的概念 159
6.4.2  卷积定理 162
6.5  傅里叶变换的应用 164
6.6  MATLAB实验 166
6.6.1  傅里叶变换 166
6.6.2  傅里叶逆变换 167
6.6.3  卷积 167
本章小结 167
复习思考题 168
第7章  拉普拉斯变换 171
7.1  拉普拉斯变换的概念 171
7.1.1  拉普拉斯变换的定义 171
7.1.2  拉普拉斯变换的存在定理 173
7.1.3  周期函数的拉普拉斯变换 176
7.2　拉普拉斯变换的性质 178
7.2.1  线性性质 178
7.2.2  微分性质 178
7.2.3  积分性质 180
7.2.4  位移性质 181
7.2.5  延迟性质 182
7.2.6  相似性质 185
7.2.7*  初值定理与终值定理 185
7.3  卷积 187
7.3.1  卷积的概念 187
7.3.2  卷积定理 188
7.4　拉普拉斯逆变换 191
7.4.1  反演积分公式 191
7.4.2  利用留数计算反演积分 191
7.5  拉普拉斯变换的应用 197
7.5.1  解线性常微分方程 197
7.5.2  解积分微分方程 201
7.5.3  解线性常微分方程组 203
7.5.4*  解常系数线性偏微分
方程 204
7.5.5*  线性系统的传递函数 207
7.6  MATLAB实验 209
7.6.1  拉普拉斯变换 209
7.6.2  拉普拉斯逆变换 210
7.6.3  卷积 211
本章小结 211
复习思考题 212
附录Ⅰ  傅里叶变换简表 215
附录Ⅱ  拉普拉斯变换简表 218
参考文献 222
　　

深度挖掘复变函数与积分变换传统精髓内容,突出应用数学思想、概念和方法分析和解决工程实践中的复杂问题的教学理念。本教材主要内容包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、 数、留数及其应用、共形映射、Fourier变换、 Laplace变换及 其应用。每章配有MATLAB在《复变函数与积分变换》课程中的基本使用方法。

本教材配备了相应的视频资源、电子课件、习题集、试题库等网络课程资源,可供学生线上学习。本书可作为高等院校理I科各专业使用教材,也可作为科研学者及有关教师的参考书。

宫华，沈阳理工大学理学院院长，教授，博士生导师，享受国务院政府特殊津贴专家，辽宁省教学名师。入选辽宁省“百千万人才工程”百层次，入选“兴辽英才计划”、辽宁省高等学校优秀人才支持计划、沈阳市中青年科技创新人才支持计划。辽宁省普通高等学校数学类专业教学指导委员会委员、沈阳市数学会副理事长。辽宁省一流课程负责人、精品资源共享课程负责人，辽宁省大学生校外实践教育基地负责人。