实用线性代数

　　线性代数作为代数学的一个分支，主要处理线性关系问题，即线性空间、线性变换和有限维的线性方程组等内容．由于线性关系是变量之间相对简单的一种关系，而且线性问题广泛存在于科学技术的各个领域中，再加上一些非线性问题在一定条件下可以转化为或近似为线性问题，因此线性代数所介绍的思想、方法已成为科学研究和工程应用中必不可少的工具．尤其在计算机高速发展和日益普及的今天，线性代数作为高等学校理工科各专业的一门重要的基础理论课，其地位和作用显得尤为重要．
　　无论是实体书还是电子书，线性代数书籍几乎是汗牛充栋．既然如此，我们为什么还要编写这本书呢？根据多年的经验，线性代数是在工作中使用多的数学工具．在和其他人的交流中，也能发现在电气、计算机、控制、电子工程及经济学等学科中，线性代数都有很广泛的应用．这么有用的数学工具，多学一点、多了解一点总是有益的．
　　线性代数主要研究三种对象：矩阵、线性方程组和向量．概念多、定理多、符号多、运算规律多，内容纵横交错，知识前后联系紧密是线性代数课程的特点，也是给学生学习带来困难的所在．线性代数中矩阵、线性方程组和向量这三个对象的理论之间密切相关，大部分问题在这三种理论中都有等价说法．因此，熟练地从一种理论的叙述转换到另一种，是学习线性代数应养成的重要习惯和素质．如果说与实际计算结合多的是矩阵，那么向量则着眼于从整体性和结构性考虑问题，因而可以更深刻、更透彻地揭示线性代数中各种问题的内在联系和本质属性．线性代数所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化学生的数学训练、增益科学智能是非常有用的．鉴于此，本书由向量入手，逐步引入线性方程组和矩阵，将重点抽象内容分散讲解，使学生更容易理解和掌握矩阵、线性方程组和向量的内在联系，遇到问题能够举一反三、化难为易．
　　本书系统地介绍了线性代数的基本内容和方法，有针对性地介绍了一些线性代数在工程学科、经济管理中的应用．全书共分5章，第1章由魏军强编写，第2章由侯居跃编写，第3章由郑宏文编写，第4章由何书松编写，第5章由周继泉编写，后由魏军强统稿．本书注重经典理论内容的讲解，反映了现代数学思想，加强了实际应用，增加了核心概念的英文词汇，有利于学生充分理解概念，掌握定理的条件、结论、应用，熟悉符号意义，掌握各种运算规律、计算方法．
　　本书在编写过程中得到了华北电力大学教务处和数理学院有关领导和专家的大力支持，在出版过程中得到了学校公共核心课程建设和“双一流”建设相关经费的资助，在此一并表示感谢．
　　限于水平，书中难免出现疏漏和不妥，望广大读者不吝赐教．
　　
　　
　　编  者
　　2021年6月

《实用线性代数》共分5章，内容主要包括向量空间、线性方程组、矩阵及其运算、行列式、相似矩阵与二次型等。 《实用线性代数》可作为高等学校理工科各专业以及经管、金融等相关专业的教材或教学参考书。 《生物特征识别数据安全与隐私保护研究》前3章重点介绍生物特征数据保护的宏观理论与方法，后4章主要阐述构建具有隐私保护特性的指纹、声纹、掌纹和虹膜特征模板保护方案的一些具体实践。 本书适合从事生物特征识别保护理论研究和工程应用的专业技术人员参考，也可供对该领域感兴趣的高校本科高年级学生和研究生学习参考。

《实用线性代数》共分5章，内容主要包括向量空间、线性方程组、矩阵及其运算、行列式、相似矩阵与二次型等。 《实用线性代数》可作为高等学校理工科各专业以及经管、金融等相关专业的教材或教学参考书。 《生物特征识别数据安全与隐私保护研究》前3章重点介绍生物特征数据保护的宏观理论与方法，后4章主要阐述构建具有隐私保护特性的指纹、声纹、掌纹和虹膜特征模板保护方案的一些具体实践。 本书适合从事生物特征识别保护理论研究和工程应用的专业技术人员参考，也可供对该领域感兴趣的高校本科高年级学生和研究生学习参考。

魏军强，男，中共党员，博士，副教授，硕士生导师。主持或参与完成国家自然科学基金项目两项，中央高校基本科研业务费项目和横向项目多项，发表论文近20篇。

第1章  向量空间 1
1.1  n维向量空间 2
 1.1.1  n维向量 2
 1.1.2  向量的线性运算 3
 1.1.3  向量空间的定义 5
 1.1.4  线性组合 6
1.2  向量的非线性运算 9
 1.2.1  向量的内积 9
 1.2.2  向量的投影 12
 1.2.3  3维向量的叉积 13
1.3  线性相关性 14
 1.3.1  线性相关与线性无关 14
 1.3.2  无关组 18
 1.3.3  向量组的秩 18
1.4  基和维数 19
习题1 23
第2章  线性方程组 27
2.1  引例 27
2.2  高斯消元法 30
2.3  矩阵与行简型矩阵 37
2.4  线性方程组的解 41
习题2 47
第3章  矩阵及其运算 51
3.1  矩阵的线性运算 52
3.2  矩阵乘法 54
3.3  逆矩阵 61
3.4  初等变换与初等矩阵 64
3.5  矩阵的秩 73
3.6  分块矩阵 77
3.7  线性方程组的解续论 80
 3.7.1  线性方程组解的判定 80
 3.7.2  线性方程组解的结构 84
习题3 89
第4章  行列式 95
4.1  方阵的行列式 95
4.2  行列式的性质 101
4.3  克拉默法则 108
 4.3.1  伴随矩阵 108
 4.3.2  克拉默法则及其应用 109
4.4  行列式的应用 111
 4.4.1  矩阵秩的等价定义 111
 4.4.2  行列式的几何意义 114
 4.4.3  矩阵与行列式在信息编码中的应用 116
习题4 117
第5章  相似矩阵与二次型 122
5.1  特征值与特征向量 123
5.2  相似矩阵与矩阵的对角化 127
5.3  正交变换与正交矩阵 131
5.4  二次型 134
 5.4.1  二次型的概念 134
 5.4.2  二次型化标准型 135
 5.4.3  正定二次型 141
习题5 143
参考文献 148

《实用线性代数》共分5章，内容主要包括向量空间、线性方程组、矩阵及其运算、行列式、相似矩阵与二次型等。 《实用线性代数》可作为高等学校理工科各专业以及经管、金融等相关专业的教材或教学参考书。 《生物特征识别数据安全与隐私保护研究》前3章重点介绍生物特征数据保护的宏观理论与方法，后4章主要阐述构建具有隐私保护特性的指纹、声纹、掌纹和虹膜特征模板保护方案的一些具体实践。 本书适合从事生物特征识别保护理论研究和工程应用的专业技术人员参考，也可供对该领域感兴趣的高校本科高年级学生和研究生学习参考。

魏军强，男，中共党员，博士，副教授，硕士生导师。主持或参与完成国家自然科学基金项目两项，中央高校基本科研业务费项目和横向项目多项，发表论文近20篇。