爸爸教的数学

从孩子思维发展的认知规律出发，在自己的童年趣事和成长经历中追根溯源，结合多年数学任教经验，提炼出数学思维开发的精髓和工具，让每位爸爸都能找到适合自己孩子的数学思维培养方式。

孙路弘

从初中起就表现出优秀的数学能力，并立志当数学老师。

如愿考入北京师范大学数学系。四年后的1985年，响应国家号召，回到母校北京师范大学附属实验中学教书。中国的教师节也是从那年开始的。

   不仅在课堂上授业解惑，也通过文字的形式来传播思想，把图书当作介绍数学学习方法的工具。在新时代与时俱进，利用互联网提供数学教育心得，运用微信跨国际沟通，教授加州、伦敦以及悉尼的学生。

    在将数学中的方法论运用到教育方面也颇有心得。

引言

父亲影响我一生的思考习惯

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音符里藏着数学规律

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每个有规律的音符连在一起都是动听的和弦，在不同的数字组合间来回跳跃，旋律就不断地变换和流淌。体会到这些，才真正体会到艺术的表现力，数学的美。数学思维需要准确、灵活和严谨，这三个思维层面的耕耘，都来自爸爸。

数字间的故事

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儿童认知心理学揭示，10岁左右，孩子开始对一些神秘的事物产生好奇，尤其是有规律的、能够猜测到的，比如数字的变化。数学思维也是对数字的不断加工。在加工的过程中，很多数字中的规律、窍门，以及数字之间的关系，都渐渐熟悉了。

钥匙去哪儿了

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9岁以后，孩子开始从触觉学习转向视觉学习，开始通过文字的形式来探索外界。因此，学习的形式也要开始变化，不是先行动，而是先充分思考，把要采取的行动写下来，或者把采取过的行动写下来。

数学思维开窍的过程

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数学思维的酝酿过程有三个核心特点：一是要慢，二是要借助图形，三是要持续想。着迷是开窍的前奏，着迷现象背后的大脑原理是吸引力、好奇和尝试，它们可以让孩子在相当长的时间里不厌其烦地做那件事情。

画图是重要的解题方法

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遇到难题不要慌，试着画出来，要用纸、笔，要沉思。图形能让人一目了然，题目中蕴含的逻辑制约关系，在图上也很容易看出来。画图是解题的关键环节，很多时候，图画出来了，解也就出来了。

天平两端的数学

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看起来玩的是天平，实际上是通过不断地配比和调试，让天平达到平衡，从而在脑海中建立等式。等式是一个抽象的数学概念，这个概念初就来自天平。

井字游戏玩转加减乘除

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把数学教育的内容打扮成游戏的样子，这一点非常重要。让孩子情不自禁地喜欢玩、愿意玩、可以没完没了地玩。玩的过程中，什么加减乘除的规则啊，等式运算的结果啊，进位、补位、借位啊，就都运用自如了。

谈天说地中蕴含大智慧

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孩子成长过程中的心理建设、精神发育、性格形成、智力基础等，都源自父母与孩子的对话，对话是环境影响中能占到50%以上的重要环节。其中，父亲的作用不能缺少，自信、勇敢、坚强、执着等重要的人格品质，都是来自父亲的影响。

猜谜游戏孕育抽象思维

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数学学习要培养的是思考能力，而思考能力再进一步就是抽象思维。数学是思维的体操，是在思考过程中解决一个又一个不同的问题并享受乐趣，不是100道大同小异的四则运算题，而是这样的简单操作，结果有趣，又能引发思考。

家庭数学辅导的12个疑惑

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积极的态度、热情地参与并不等于能让孩子学会正确的方法和思路。中国的孩子并不是输在了起跑线上，而是输在了起跑姿势上。学习的方法不对、内容不对、思路不对都会让孩子养成错误的习惯、形成错误的认识，甚至记下错误的概念。

后记

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附录算吧！

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妈妈说

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测试题答案

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从孩子思维发展的认知规律出发，在自己的童年趣事和成长经历中追根溯源，结合多年数学任教经验，提炼出数学思维开发的精髓和工具，让每位爸爸都能找到适合自己孩子的数学思维培养方式。

孙路弘

从初中起就表现出优秀的数学能力，并立志当数学老师。

如愿考入北京师范大学数学系。四年后的1985年，响应国家号召，回到母校北京师范大学附属实验中学教书。中国的教师节也是从那年开始的。

   不仅在课堂上授业解惑，也通过文字的形式来传播思想，把图书当作介绍数学学习方法的工具。在新时代与时俱进，利用互联网提供数学教育心得，运用微信跨国际沟通，教授加州、伦敦以及悉尼的学生。

    在将数学中的方法论运用到教育方面也颇有心得。

 钥匙去哪儿了 /

钥匙去哪儿了

◎很多孩子做题的时候喜欢跳跃步骤，这其实是思维的瑕疵，这样，孩子便不再关注每一个环节和动作本身所带来的变化和影响了。

◎要注重思考，把思考的内容写下来；要注重环节，一个步骤得出结果后，要重新修订之前的思考。

1975年9月15日星期一晴

我的钥匙又丢了，已经丢了好几次了。妈妈不高兴，我也不高兴。我不是故意的，是真的不记得了。妈妈让我马上去找，是不是有可能丢在学校了。爸爸让我不用着急，他给我画了一个格子，我好好想了想。

1975年9月18日星期四晴

找到钥匙了，掉到书包里了，夹在书包底下的缝儿里。这是爸爸指导的找法。丢的那天，我找过书包，而且把书包都翻了过来，没有找到。我还找了衣服dōu，还有我的书桌抽屉，都没有。用爸爸教的方法，还是在书包里找，就找到了。

以上摘自我的日记。

我的日记中没有画出那个表格，但那个表格印刻在我的记忆中，是永恒的，磨灭不了的，它是这样的，如表3-1所示。

这个表格显示了我当时猜测的三个地方。爸爸告诉我不要急着去找，而是先想。把想的事情写下来：可能在书包里，可能在衣服兜里，可能在书桌抽屉里。这样列一个表格，然后自己想想情况。

妈妈说，我一年丢一次钥匙，这刚开学就丢钥匙，总是长不大。爸爸说，长大不是个子长得高，而是想的事情多；想的事情多是要看写出来的，就是写成这个表格的样子。

想过去找到钥匙的地方，不过就这三个，有可能的就是在书包里。出门时，妈妈总是习惯性地将钥匙塞到我的书包里，上小学三年级后，我就不挂钥匙链了，挂在脖子上挺傻的，妈妈就把钥匙塞到我的书包里。我到家开门后，有时会顺手把钥匙揣到衣服兜里，有时会先到我的书桌那里，然后把钥匙放到抽屉里。

反正，我觉得钥匙在书包里的可能性。爸爸教我的是，可能性必须是100里的，三个可能性，加起来必须是100。上面的表格就是我给的可能性分数。可能性分数越高，就越有可能在那个地方。

列出表格后，再动手寻找，当然，先找书包。实际上，我已经把书包翻遍了，书本都拿出来了，铅笔盒也拿出来了，都没有看到钥匙。我开始翻衣服，衣服被妈妈放到一个大盆里了，是要洗的。爸爸说，别着急去翻衣服，想想看，书包里都找遍了吗？然后，把自己脑海中想的事情写出来，如果可能，就清楚地列出表格。接着，爸爸示范给我上面那个表格。

这是我童年时期学到的重要的课程，那就是采取任何行动前，都要充分地思考。爸爸就是这么要求我的。

爸爸和妈妈不同，他们俩下棋，总是爸爸赢，我一直觉得爸爸一定是比妈妈聪明。实际上，并不是因为聪不聪明，而是做事的方法不同——一个是行动在先，一个是思维在先。所以，下棋的时候，妈妈总是想悔棋，爸爸从来没有尝试过悔棋。在找钥匙的事情中，妈妈让我立刻去找，结果还是找不到，爸爸就让我想彻底了再行动。

儿童发展心理学中有一个重要的变化阶段，就是从9岁到12岁这一时期，孩子不再是以行动的方式模仿周边世界了，比如走路、跑步、踢球、爬树，都是以触觉行为先导的，孩子从行动中体会到与外界事物之间的互动，并学到互动的方式、作用的方式，以及外界事物反应的规律。到了9岁以后，孩子开始通过视觉学习，也就是通过文字的形式来探索外界，那么，形式就要开始变化，不是先行动，而是先书写，把要采取的行动写下来，或者把采取过的行动写下来。

写日记就是这样的。这样做符合这个阶段的大脑发育节奏。儿童心理学中特别指出，大脑形成的过程有四个阶段：

阶段：接受运动性信息，并模仿；

第二阶段：接受规律性信息，并自我解释；

第三阶段：接受结构性信息，即课本上的知识，并尝试使用；

第四阶段：加工一切信息，并形成见解。

孩子从9岁开始进入第三阶段，会一直延续发育到18岁。这个时期，重要的做法就是训练孩子使用文字，描述看到的事情。写出自己的行动，并尝试用文字的形式把所想的事情写出来，看到写的字时，大脑还会再过一遍，也就是初级加工。

我找了书包没有找到，打算去翻衣服兜的时候，爸爸说等一下，然后问我，如果在书包里，你找了，找到的可能性是多大？啊，学过认知心理学、从事教师工作的我，在回顾这样的关键对话时，简直就是找到了宝藏。这个问题一下子打开了我思维的表层：如果钥匙在书包里，我找了，也有找不到的可能。对啊，是的，比如找的过程太潦草，找的过程中被一本五颜六色的书吸引了，都有可能啊。不过，我还是比较细致的，如果真的就在书包里，还是找到的可能性大。

爸爸继续追问我，可能性大是什么意思？我说了个数，60，就是说可能性是60%。那么，钥匙在书包里，找不到的可能性就是40%。这个时候，那层思维的表层就被撬开了，找过一遍以后，钥匙仍然在书包里的可能性还是存在的：

钥匙在书包里的可能性是70%；

我没有找到的可能性是40%；

那么找过一遍，钥匙仍然在书包里的可能性就是28%（70%×40%），意思是说，我有40%的可能没有找到有70%可能存在的东西。

到此，一节学校中从来没有教过的重要操作实践课就呈现了出来。每采取一个动作后，都有这个动作导致的结果，这个结果影响着整个事情的终结果。找书包这个动作，对找到钥匙这整件事情的终结果是有影响的，那么，找书包这个动作的结果，也应该被当作一个因素记录下来，并纳入下一步的行动中作为参考。

很多孩子在做题的时候喜欢跳跃步骤，觉得步骤已经非常熟悉了，于是列出一个算式，然后省略了中间四五个环节，就跳出了结果。其实，这是思维的瑕疵，是老师、父母过度追求速度、追求结果、强化练习速算的后果，这样，孩子便不再关注每一个环节、动作本身带来的对事情的变化和影响了。

找钥匙这件事，奠定了我日后做事细致的风格。做题要一遍做对，不追求快，而是追求做过的题一定是对的，每道题都有具体的步骤。爸爸的指导给我的印象太深刻了，找了一遍书包，没有找到，这是一个环节的结果，这个结果同样影响下一步的行为。

找过一遍，钥匙仍然在书包里的可能性是28%。当时还没有找衣服兜，也没有找抽屉，那么，钥匙在衣服兜中的可能性仍然是20%，在抽屉里的可能性仍然是10%。要把三种可能性的总和变成100%，这是一个放大的过程，这个过程当时我不会，是爸爸帮我完成的，当然，对于今天的我来说，那是易如反掌了。

三个可能性分别是28、20、10，同比放大为三个数，总和是100，放大的方式是，三个数相加，即28 20 10，总和是58，按照28÷58的比例放大28，得到4828，意思就是，28占58的4828%；然后按照20÷58的比例放大20，得到3448；按照10÷58的比例放大10，得到1724。重新整理的格子就是这样的，见表3-2所示除法除不尽，四舍五入，保留小数点后两位。为计算方便，本段数值不加“%”。。

现在是不是有点明白了？第二次寻找不该去找衣服兜和书桌抽屉，还是要在书包里再找一遍。这次找得更加彻底一些，如果还是没有找到，那么，疏忽的可能性下降到10%以下，这时：

钥匙仍然在书包中的可能性是4828%；

因疏忽而没有找到的可能性不到10%；

那么，找过两遍，钥匙仍然在书包里的可能性就不到5%（4828%×10%）了。

然后，才应该寻找下一个可能的地方。

让我们都回归到自己的实际生活中去思考一下。比如，你找不到自己的手机了，你推测了一下，在书房的可能性，在厨房的可能性第二，在卧室的可能性第三。这样的想法都是头脑中直接闪现出来的，然后，采取行动，先找了可能性的书房，没有找到；继续行动，找了第二大可能性的厨房，也没有找到；然后立刻寻找卧室，还是没有找到。后，你定了一下神，重新去书房找，果然，你找到了。

以上是很现实的情况，多数人都是这样的。我爸爸给我的大脑植入了与此不同的模式，后来影响了我一生。与众不同的思考模式才会导向与众不同的思考结果，也就必然出现与众不同的行为。人与人之间的境遇不同，本质上都是行为不同导致的。行为的不同，本质上又是思维的不同导致的。比如寻找钥匙这件事，爸爸留给我的就是注重思考，把思考的内容写下来；注重环节，一个环节出结果后，要重新修订之前的思考。

让我们再回顾总结一下。我钥匙找不到了，有可能在书包里，妈妈催促我赶紧去找；爸爸说不着急，想一下可能在哪里，然后写下来，列出表格，到表格中显示的可能性的地方去找。找了，却没有找到，不要接着行动，而是把这个环节的结果当作重要信息重新输入思考的过程，重新评估初的判断，再根据判断来付诸行动。这是一套完整的思维理性化过程：写成书面形式→阶段性输入→再次评估→再次决策→付诸行动。

我是在这样的环境中长大的，长大以后，也就特别反感什么都没有想好就立刻行动的人。这种人行动之后，要不就后悔，要不就得意忘形。就算失败，没有可以检讨的步骤；哪怕成功，也不知道成功的真正原因，导致根本无法复制成功。我的思维习惯也就导致我行动慢，但只要出手，必达目标。

我的职业是顾问，能够冷静、理性、客观、尽量全面地收集信息，书写下来，然后慎重地得出结论，并重视步落实后的情况，根据反馈重新评估初的决策，进行优化调整。我对自己的职业非常满意，从职业角度，我看到很多企业号召执行、落实、行动力，这些都是简单的、过眼云烟般的体力劳动模式，不能应对复杂的商业模式，也无法适应多变的时代、多变的信息。

对人的一生重要的，其实是少年时期思维模式的熏陶，我爸爸能够塑造出我，我也成功地塑造了我儿子。我们同样都是理性、冷静地评估后再行动的人。

儿童发展心理学的特点是儿童的身体发育规律、心理发展规律、精神形成规律以及智力成长的阶段规律。儿童认知心理学强调的是认识事物、熟悉事物、掌握事物、操作事物的过程。

在我家里，爸爸与妈妈的分工是自然而然且截然不同的。妈妈负责的是操作性的方面，带我玩的都是动手的内容，摘扁豆、包饺子、摆放饺子、数楼梯台阶级数等。爸爸给我的更多的是规律化、模式化的东西。妈妈落实了发展心理学的内容，扶助成长；爸爸落实了认知心理学的内容，就是动脑的过程、用脑的方式，从写日记到找钥匙时的列表格，都是思想的输出方式，通过输出强化我自己再次加工，并按照每个环节的结果，对原始思维进行修正。

从事数学教学工作不仅让我回味并感激自己成长过程中的那些细节，也让我从自己教的学生身上，多次看到数学思维欠缺的表现。

我们用惊叹号表示一种运算的方式。比如，3！的意思就是1×2×3，那么，8！就是1×2×3×4×5×6×7×8。

请找出下面这个算式结果的个位数是多少：2017！-2016！ 2015！-2014！ 2013！-2012！…-6！ 5！-4！ 3！-2！ 1！

很多孩子遇到这道题时，就是“纸上留空”，完全没有思路。

这个情况表现的就是大脑跳跃。跳跃到答案上，想知道答案，却没有思路。我辅导学生时，重要的做法是，步：先把题目的意思说出来，并写下来。像我爸爸要求我的那样，不要着急找到钥匙，而是做好步，想好可能在哪里。

有的学生开始做步，把1！写出来。原题都告诉你了，这个步骤会不会？多数学生都会。为什么不做？因为脑海中跳跃到如果都这么做，是算不完的。可是，谁说让你算完了？不要小看这个思路，这是战胜一切难题的入手点，无论你做过还是没做过，都无所谓，一道题，肯定能让你弄懂题目的意思，肯定会有入手的点。比如，1！做出来，是几。然后，把2！做出来，写出来。继续写3！，然后4！，继续，5！、6！都写出来。

数学思维是一种踏实的、一次一小步的风格，“严谨”这个词，就是用在这里的。如果你认真、严肃、踏实，就是不在乎要用多长时间，能够做一个就先做一个，结果呢？规律就蹦蹦跳跳地跑到你的眼前，急于告诉你，我在这儿呢！我在这儿呢！看啊，这是答案，我就在这里。

步：把想的事情写下来；

第二步：哪怕想的是一件小事，也写下来，然后继续；

第三步：每完成一个步骤，都重新看一下初的想法。

学生常见的数学思维缺陷是：这道题没有讲过，没有思路，索性放弃。缺陷是被结果吓住了，看不出结果，要找的东西完全不知道在哪里，索性就放弃能够做到的事情。比如，至少可以把题目中理解了的部分写出来，写出来以后，事情就如同洋葱一样，皮掉了，露出来一部分；然后继续剥一点，就露出来更多的部分。这才是正常的思维。人类能够走到今天的文明程度，都是一代人又一代人积累出来的，一步一个脚印，对每个人遇到的每道题、每件事，都是一样。

如果每个孩子的成功都需要一把钥匙，你就需要知道这把钥匙在哪里。一个人是否能取得人生的成就，至少要到30岁才能够有一个感觉。那就不要计较孩子在10岁的时候考试成绩如何，应该计较的是做过的题目是否真正懂了，每个题目的解出过程是不是都有严谨的步骤，每一个步骤是不是都能够揭示出信息，这些信息是否能够进一步与初的想法核对上。这些才是钥匙。

家庭生活中，妈妈与我在一起的时间多，爸爸与我在一起的时间少。妈妈更多的是管理我的吃喝拉撒睡，《妈妈教的数学》中揭示了我妈妈擅长的事情，那就是激发我的兴趣，培养我的好奇心，提示我关注周围的数字。而爸爸说的那些数字都不是生活中的，都需要花很长的时间去想。

森林里的动物们要开会，时间到了，发现大象没到。猴子说，天气太热，大象到冰箱里去了。斑马说，我去叫吧。兔子说，步，打开冰箱门。斑马说，知道了。

大象终于来了，会也开完了。长颈鹿问，冰箱里舒服吗？大象说，挺舒服的。斑马说，好，我帮你进冰箱吧。兔子问，步是什么？

第三题

采取行动后没有达到效果，并不是立刻换一个方式再行动，而是先进行反思。这是一个重要的思维方式，具备这种思维方式的人在生活和工作中多数会有如下哪种表现：

A：工作积极努力

B：想充分了再落实于行动

C：不断尝试，直到取得成功

D：积极读书，写读书笔记

（参考答案见本书末尾）

 数学思维开窍的过程 /

数学思维开窍的过程

◎老师、家长讲给孩子听，孩子能够懂，却不是自己去认识；不自己去认识，终究会遗忘掉。只有孩子自己想透彻，才会真正明白。

◎持续想就是大脑不断在思索，神经元之间开始进行各种连接，不停尝试多种情况、多种组合方式。