应用数值分析(高等学校规划教材)

本书是为高等学校理工科研究生及数学类和计算机类、信息类专业本科生编写的数值近似计算方法的理论和应用教材。它要求学生已具备微积分、线性代数等高等数学基础。另外，熟悉矩阵论和常微分方程的基础知识对学习数值分析也有所裨益，本教材对这些内容有适当的介绍。

数值分析教材众多，有些强调各种近似方法的数学推导和论证，而不是方法的本身，不利于在实际问题中应用这些算法。有些强调方法本身，而缺少必要的算法数学思想的介绍，不利于利用算法的思想去针对新的问题构造新的算法。我们致力于使本书适应那些想掌握数值分析思想和方法去解决理论研究和工程实践中需要进行科学计算的读者。我们在介绍数值近似方法时，力图解释何时、为什么和如何运用这些方法，为进一步学习数值分析和科学计算打下坚实的基础。

通过本书的学习，学生应该能够掌握判别需要用数值方法求解问题的类型，理解运用数值方法时所发生的误差传播现象，清楚相应的这些数值方法的算法各输入参数的含义。学生能逼近不能准确求解问题的近似解，学习估计近似解误差界的方法，熟悉算法的计算复杂性和稳定性等概念，了解克服数值不稳定的思想，懂得选择算法和相应参数的原则。事实上，在本书的叙述方式上，我们进行了新的尝试：加强了概念的介绍和用例，因为这些概念是所有数值方法的基本原则；强调介绍算法的过程“自封闭性”，即完整地介绍算法实现过程的每一个环节，例如求解非线性方程（组）迭代法的初始值的选取及所需迭代次数的估计等，在求解线性代数方程组时，讨论如何应对坏条件方程组等；此外，考虑到时代特征，现有很多的软件包可进行符号计算及科学计算，所以一些冗长乏味的公式推导已不再重要，一些算法实现过程的细节，如Gauss消元法，也不需要详细地介绍；将介绍的重点放在数值方法的概念、算法的思想和实现过程的参数获取上。

本教材的主要内容包括：数值计算基础（第1章）、解非线性方程的数值方法（第2章）、解线性方程组的直接方法（第3章）、多项式逼近和插值法（第4章）、逼近理论与小二乘法（第5章）、解线性方程组的迭代法（第6章）、数值微分与数值积分（第7章）、解非线性方程组的数值方法（第8章）、矩阵特征值与特征向量的近似计算（第9章）、常微分方程数值解法（第10章）、Matlab与科学计算（第11章）。为了便于读者们系统复习，我们还在教材的后部分给出了一定量的综合练习题，这些练习题是我们多年教学过程中用于检验读者学习状况的考题集锦。

下面的流程图说明了学习各章之间的关系，便于读者根据具体需求（时间）合理安排学习次序。 本书配套有课件及部分习题参考答案供采用本书作为教材的学校使用，如有需要，可发邮件至cipedu@163.com索取。

本书的第1、4、5、9章由刘国庆撰写，第2、6、8章由王天荆撰写，第3章由刘国庆与王天荆共同撰写，第7章和第10章由石玮撰写，第11章由程浩撰写。后，所有章节的统稿和修改由刘国庆完成。 

我们还希望本书对于那些希望运用数值方法解决实际问题的科技工作者有所帮助。但受限于我们的能力和水平，书中难免会存在不足之处，恳请广大读者不吝赐教。

编著者

2020.7

本书系统地介绍了数值分析的基本概念、基础理论、基本数值方法和具有实际应用背景的数值方法的实现过程。主要包括：数值计算基础、解非线性方程的数值方法、解线性方程组的直接方法、多项式逼近和插值法、逼近理论与*小二乘法、解线性方程组的迭代法、数值微分与数值积分、解非线性方程组的数值方法、矩阵特征值与特征向量的近似计算、常微分方程数值解法、Matlab与科学计算。

本书可作为高等学校理工科研究生数学类基础课程“数值分析”及数学、计算机类、信息类专业本科生算法类课程“数值分析”的课程用书，亦可供相关科研人员参考。

第1章数值计算基础1

1.1数值方法1

1.2误差分类3

1.3误差和相对误差4

1.4舍入误差和有效数字5

1.5数据误差在算术运算中的传播6

1.6误差的影响10

1.7算法的衡量指标10

1.8算法的稳定性12

习题114

第2章解非线性方程的数值方法16

2.1迭代法的基本概念16

2.2二分法17

2.3不动点迭代和加速迭代收敛19

2.4Newton-Raphson方法23

2.5割线法26

2.6多项式求根28

2.7迭代初始值的选择33

习题234

第3章解线性方程组的直接方法37

3.1解线性方程组的Gauss消去法37

3.2直接三角分解法47

3.3向量和矩阵的范数56

3.4条件数和摄动理论初步63

3.5坏条件方程组求解65

3.6条件数的应用案例69

习题372

第4章多项式逼近和插值法75

4.1函数空间75

4.2插值法和Lagrange多项式77

4.3Hermite插值85

4.4三次样条插值88

习题490

第5章逼近理论与小二乘法93

5.1平方逼近和正交多项式93

5.2三角多项式逼近96

5.3离散的小二乘逼近97

习题5106

第6章解线性方程组的迭代法108

6.1迭代法的基本理论108

6.2Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法111

6.3逐次超松弛迭代法（SOR方法）116

6.4共轭斜量法119

6.5条件预优方法125

习题6127

第7章数值微分与数值积分130

7.1数值微分130

7.2数值积分基础137

7.3复合数值积分143

7.4Romberg积分147

7.5自适应求积方法150

7.6Gauss求积155

习题7159

第8章解非线性方程组的数值方法162

8.1多变元微分162

8.2不动点迭代164

8.3Newton法168

8.4割线法171

8.5拟Newton法174

8.6下降算法178

8.7延拓法179

习题8181

第9章矩阵特征值与特征向量的近似计算184

9.1乘幂法184

9.2求模数次大特征值的降阶法188

9.3逆迭代法（反乘幂法）189

9.4特征值的大致估计190

习题9192

第10章常微分方程数值解法193

10.1引言193

10.2简单的数值方法194

10.3龙格-库塔方法199

10.4单步法的收敛性与稳定性204

10.5线性多步法209

10.6线性多步法的收敛性与稳定性215

10.7一阶方程组与刚性方程组218

10.8边值问题的数值方法222

习题10226

第11章Matlab与科学计算228

11.1多项式及其运算228

11.2插值与拟合234

11.3非线性方程237

11.4线性方程组239

11.5矩阵的特征值与特征向量240

11.6常微分方程241

综合练习244

参考文献251

本书系统地介绍了数值分析的基本概念、基础理论、基本数值方法和具有实际应用背景的数值方法的实现过程。主要包括：数值计算基础、解非线性方程的数值方法、解线性方程组的直接方法、多项式逼近和插值法、逼近理论与*小二乘法、解线性方程组的迭代法、数值微分与数值积分、解非线性方程组的数值方法、矩阵特征值与特征向量的近似计算、常微分方程数值解法、Matlab与科学计算。

本书可作为高等学校理工科研究生数学类基础课程“数值分析”及数学、计算机类、信息类专业本科生算法类课程“数值分析”的课程用书，亦可供相关科研人员参考。