线性代数辅导讲义(第2版)

第2版前言

本辅导讲义自出版以来，收到了同行和读者的许多宝贵意见，在此深表谢意.
对第1版的内容加以修订和完善，新增和调整了部分专题、例题和习题，增加了近几年全国硕士研究生入学统一考试的部分试题. 全书包含约180道例题和500道习题.
本版更加注重数学思维方法的培养和训练，细化了解题思路，强调了对解题过程的反思、总结、拓展和延伸，以深化和巩固课程蕴含的理论、思想和方法.
感谢对外经济贸易大学，感谢对外经济贸易大学统计学院线性代数课程组的各位同仁，感谢清华大学出版社刘颖老师，感谢书末参考文献的所有专家作者.
历时两年，完成再版修订，自知错误和不足仍会存在，恳请读者批评指正.

作者
2022年9月
于惠园

第1版前言

学生们要学好线性代数，首先必须要弄清概念、理解定理；其次要掌握分析问题和解决问题的方法，而要实现这两点，好的途径之一就是研读例题和演练习题，因此要学好线性代数，就必须要演练一定数量的习题.
在课堂教学中，课程的讲授是按知识的逻辑顺序展开的，习题则是按章或节编排的，学生们所受到的解题训练是单一的、不完善的，课堂教学的局限之一是缺乏对融会贯通的综合解题能力的训练与培养，再加上受教学时数的限制，许多解题方法与技巧未能在课堂上讲解与演练，当然更谈不上使学生系统掌握这些方法与技巧.
一些基础课程有开设习题课的做法，这对于学生理解能力的培养和训练是非常有帮助的.但由于学时和助课人员短缺方面的问题，许多学校取消了或削减了基础课的习题课学时.
本辅导讲义试图为改善上述各点做出努力.具体的做法是将知识的细致性和系统性通过讲的方式得以落实.所谓知识的细致性是指对概念和定理的多角度分析和讲解，使之细化，并在例题和习题中将这些细化的内容展现出来，实现各个知识点的突破.所谓知识的系统性是指将涉及多个知识点的综合题目归纳为一些专题，对各个专题的解题方法和涉及的技巧进行剥丝抽茧式的分析和讲解，实现各个知识点间线的突破.讲是一个交互的过程，通过交互过程来达成讲解和理解的基点.这在书中是不好实现的，为此，我根据以往辅导学生时的经验，将问题细化，将理解的梯度细化，减少读者在阅读和理解本书内容过程中的障碍或阻力，努力营造出一对一辅导时的细致氛围.这也是书名中“辅导讲义”的一种体现.
本书内容的展开与普通教科书基本平行，每章各节有内容要点与评注、典型例题以及习题，各章专门设立专题讨论一节，每个专题以典型例题解析的方式阐述围绕该专题的解题方法与技巧.每章末附有单元练习题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现.单元练习题包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合分析能力的领会与掌握.
全书包含了176道例题和487道习题.这些题目内容全面，类型多样，涵盖了线性代数教学大纲的全部内容，其中不少例题题型新颖、解法精巧，有些例题选自历届全国硕士研究生入学统一考试数学试题，这些题目都有中等或中等以上的难度.对于例题，大多先给出“分析”，引出解决问题的思路，然后在分析的基础上给出详细的解答过程，其间注重各个步骤的理论依据，努力做到知其然还要知其所以然，细化概念和定理在解决问题过程中的具体体现.之后，将一些要点通过“注”“评”“议”的方式将题目的要点提炼出来.一些题目还配以多种解题方法，以帮助读者从多个角度比较和归纳解题方法与技巧.对于习题，给出了答案和比较具体的提示.
本书的一个特色是对大多数例题都配以“分析”“注”“评”“议”，其中：
分析——意在强调解题思路；
注——意在强调求解过程中的关键点和重要环节；
评——意在评述本例的技巧、方法和结论；
议——意在对本例结论和方法的延伸与拓展.
本书的另一个特色是将知识点分专题(37个)展开，以突出对知识点及解题方法与技巧作系统而深入的阐述，同时对一般教材不予证明的结论等补充了证明.
学生可以把本书作为教辅书与课堂教学同步使用，以帮助弄清概念、理解定理，掌握解题方法与技巧.进一步，本书提供的丰富材料将帮助学生在期末总复习或备考硕士研究生时，作全面而深入的总结性复习或专题性学习. 
本书是笔者多年来从事线性代数教学经验的积累与总结.
感谢对外经济贸易大学，是这片沃土滋养了这枚果实；感谢清华大学出版社刘颖老师；感谢书末参考文献所有的专家们，他们的著作为我的编写工作带来了启发与指导.
历时三年，数度修改，完成此稿，自知错误和不当之处在所难免，恳请专家与读者不吝赐教，万分感激.

作者
2016年10月
于对外经济贸易大学

本书章节安排与“线性代数”普通教科书中的章节安排基本平行.书中每章的各节有内容要点与评注、典型例题以及习题；各章都设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧，每章末附有单元练习题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现，它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合运用能力与掌握.对典型例题的讲解处理得非常细致，试图营造一对一辅导的氛围，以帮助读者理解和掌握.对专题的处理，力图理清知识点之间的脉络与联系，实现对知识的系统理解。

本书章节安排与“线性代数”普通教科书中的章节安排基本平行.书中每章的各节有内容要点与评注、典型例题以及习题；各章都设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧，每章末附有单元练习题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现，它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合运用能力与掌握.对典型例题的讲解处理得非常细致，试图营造一对一辅导的氛围，以帮助读者理解和掌握.对专题的处理，力图理清知识点之间的脉络与联系，实现对知识的系统理解。

张立卓:女，硕士，对外经济贸易大学统计学院副教授。长期从事线性代数、高等代数、概率论、概率论与数理统计、高等数学、复变函数等教学工作。1. 2018年荣获校教学名师称号，曾编写多本教材及教学辅导用书。

第1章  行列式

1.1二阶、三阶行列式

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.1

1.2n元排列

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.2

1.3n阶行列式的定义

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.3

1.4行列式的性质

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.4

1.5行列式按一行（列）展开

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.5

1.6行列式按k行(列)展开

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.6

1.7克莱姆法则

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.7

1.8数域

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题1.8

1.9专题讨论

1. 利用数学归纳法和递推法计算(或证明)行列式

2. 关于行列式计算方法的综合运用

习题1.9

单元练习题1

第2章  线性方程组

2.1线性方程组解的情况及其判别

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.1

2.2n维向量空间

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.2

2.3线性相关与线性无关的向量组

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.3

2.4向量组的秩

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.4

2.5矩阵的秩

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.5

2.6线性方程组有解的充分必要条件

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.6

2.7齐次线性方程组解集的结构

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.7

2.8非齐次线性方程组解集的结构

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题2.8

2.9专题讨论

1. 利用向量间的线性相关性求解线性方程组

2. 关于线性方程组的公共解

3. 基于克莱姆法则讨论线性方程组的解

习题2.9

单元练习题2

第3章  矩阵及其运算

3.1矩阵的运算

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题3.1

3.2几种特殊矩阵

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题3.2

3.3可逆矩阵

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题3.3

3.4矩阵的分块

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题3.4

3.5矩阵的相抵

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题3.5

3.6专题讨论

1. 利用线性方程组解矩阵方程

2. 利用矩阵间的关系解线性方程组

3. 利用向量组的线性相关性讨论矩阵方程

4. 利用矩阵的结构特点解矩阵方程

习题3.6

单元练习题3

第4章  线性空间

4.1线性空间的结构

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题4.1

4.2线性子空间

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题4.2

4.3正交矩阵、欧几里得空间

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题4.3

4.4专题讨论

1. 关于齐次线性方程组的解空间

*2. 线性子空间的交与和

3. 关于正交矩阵的元素

4. 基于正交性讨论向量组的线性相关性

习题4.4

单元练习题4

第5章  特征值与特征向量·矩阵的对角化1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题5.1

5.2矩阵的特征值与特征向量

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题5.2

5.3矩阵可对角化的条件

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题5.3

5.4实对称矩阵的对角化

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题5.4 

5.5专题讨论

1. 特征值、特征向量与线性方程组的解

2. 依相似矩阵求特征值

3. 一类特殊矩阵的对角化

习题5.5

单元练习题5

第6章  二次型·矩阵的合同

6.1二次型及其标准形

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题6.1

6.2实二次型的规范形

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题6.2

6.3正定二次型与正定矩阵

1. 内容要点与评注

2. 典型例题

习题6.3

6.4专题讨论

1. 利用正交替换讨论二次型的值问题

2. 基于可交换讨论矩阵的正定性

3. 基于合同关系讨论矩阵的正定性

4. 关于正定矩阵的分解

习题6.4

单元练习题6

习题答案与提示

第1章  行列式

第2章  线性方程组

第3章  矩阵及其运算

第4章  线性空间

第5章  特征值与特征向量·矩阵的对角化

第6章  二次型·矩阵的合同

参考文献

本书章节安排与“线性代数”普通教科书中的章节安排基本平行.书中每章的各节有内容要点与评注、典型例题以及习题；各章都设有专题讨论，每个专题以典型例题解析的方式阐述了围绕该专题的解题方法与技巧，每章末附有单元练习题，是在前面各专题的引领下，对知识点融会贯通、综合运用的体现，它包含客观题和主观题，客观题的设置意在考查对该章知识点全面而深入的理解，主观题的设置意在考查对该章知识点的综合运用能力与掌握.对典型例题的讲解处理得非常细致，试图营造一对一辅导的氛围，以帮助读者理解和掌握.对专题的处理，力图理清知识点之间的脉络与联系，实现对知识的系统理解。

张立卓:女，硕士，对外经济贸易大学统计学院副教授。长期从事线性代数、高等代数、概率论、概率论与数理统计、高等数学、复变函数等教学工作。1. 2018年荣获校教学名师称号，曾编写多本教材及教学辅导用书。