我怎样解题/单墫解题研究丛书

1.取棋子  2006堆棋子，各堆的棋子数依次为1，2，…，2006．每次从任意多堆中取走相同的粒数，至少取多少次才能取光?
先从简单的情况做起．
一堆棋子，1次取完．
二堆棋子，一堆1粒，一堆2粒，1次无法取完，2次可以取完．
三堆棋子，粒数为1，2，3．次在第二和第三堆中各取2粒，第二次取走剩下的2堆(每堆1粒)，2次可以取完．
四堆棋子，粒数为1，2，3，4．次无论怎样取，剩下的堆中，总有两堆的棋子不同．从而还需两次才能取完．另一方面，次在每堆中取1粒即化为上面的三堆的情况，所以至少取3次可以取完．
于是，得到下面的表:堆数1234
取完次数1223由这表可以猜到，如果堆数k满足2n-1≤k＜2n．(1)各堆粒数为1，2，…，k，那么取完的少次数是n．
这可以用归纳法证明．
假定(1)对n成立，那么在堆数k满足2n≤k＜2n 1(2)时，次可以在粒数≥2n的堆里取走2n粒．这样，前2n-1堆不变，而第2n堆已经取完，其余各堆粒数为1，2，…，k-2n(＜2n)．
根据归纳假设，n次可以取完前2n-1堆．而每次在粒数为d的堆里取棋时，也在后面的(即原来的第2n 1~第k堆)粒数为d的堆里取走同样多的棋．这样，在前2n-1堆取完时，所有堆均被取完．所以n 1次可以取完所有的棋．
另一方面，设次取走d枚棋．如果d＞2n-1，那么前2n-1堆不变．根据归纳假设，至少还要n次才能取完．如果d≤2n-1，那么原来粒数为d 1，d 2，…，d 2n-1≤2n的堆变成粒数为1，2，…，2n-1的堆，取完它们至少还要n次．因此，至少需要n 1次才能取完．

现在210＜2006＜2n，所以至少11次才能取完．

2.老虎与驴子  平面上给出2005个点，其中任何三点都不共线．每两点均用线连接．老虎与驴子进行游戏:驴子给每条线段标上一个数字(0，1，2，3，4，5，6，7，8，9)，接着老虎给每个点标上一个数字．如果有一条线段与它的两端都是相同的数字，那么驴子获胜．请证明:在正确方法下，驴子必胜．

这是第68届(2005年）莫斯科数学竞赛试题．
过去驴子与老虎比体力，结果“黔驴技穷”，被老虎吃了．新一代的驴子与老虎斗智，驴子却有必胜的方法．
数字，不过是一个符号．10个数字是10个符号．我们可以减少符号的个数，从简单的情况开始．
如果驴、虎都只用1个符号0，那么只要有2个点，驴就一定获胜．
如果用2个符号0与1，那么点数≤3时，驴无法必胜．但点数≥4时，驴就可以必胜.方法是将4个点分成两组，组A1，A2的连线标1，第二组B1，B2的连线也标1，而不同组之间的连线AiBj(1≤i，j≤2)都标0．老虎不能将A1，A2都标1，也不能将B1，B2都标1．但只要A1，A2中有一个标0，且B1，B2中也有1个标0，那么老虎仍然失败．所以老虎必定失败，更多个点当然更是老虎失败．
假定对于2n-1个点，用n-1个符号，驴子可以必胜．我们考虑2n个点的情况．
驴可以将点分为2n-1组，每组两个点用第n种符号n相连．然后，将每一组作为一个点(组的A1，A2作为一个点A;第二组的B1，B2作为一个`点B;…)．这2n-1个点，根据归纳假设，标n-1个符号1，2，…，n-1，驴子有必胜的标法．按照这种标法标AB等线段．而AB标上某个符号k(≤n-1)也就是4条线段AiBj(1≤i，j≤2)都标上k．
这样标好符号后，驴子就稳操胜券了．
因为在上述的每一组中，必有一个点，老虎标的符号不是n(否则老虎失败)．这样，就有2n-1个点，每两点不在同一组中，标的号都小于n．但对这2n-1个点，仅标n-1种符号，驴子的标法已经保证驴子必胜．
因此，对任意自然数n，在点数≥2n时，标n种符号，驴子必胜．
现在2005＞210，所以驴子必胜．
驴子竟然这样聪明，完全可以担任某些部门的领导了!