数学建模33讲 数学与缤纷的世界

本书利用数学建模方法讨论了人类社会和自然界中的33个话题，既包括对经典话题的全新阐释，也包含对若干全新话题的原创研磨，不仅解答了大众对于数学的常见疑问：“数学有什么用？”更是以高中知识为主要工具、以数学建模为主要载体、以中学生能够理解的方式，展现了数学研究的基本过程和思维方式。33个话题充分体现了数学与生活的密切联系，讲解了数学建模如何有效地解决跨学科问题，如何为生活中的现实需求建立合理有效的模型，如何在设计制造、生物医学、机器学习，甚至在解决社会问题方面大显身手。作者力求将抽象且严密的数学阐述得通透而有趣，凸显数学的“形式之美”“逻辑之妙”与“大道至简”。本书是为高中生、大学低年级本科生和爱好数学的大众读者开启的一场妙趣横生的数学思维之旅。

朱浩楠，高中数学教师，毕业于北京大学数学系，著有《面向建模的数学》（清华大学出版社，2020年）。

序 iii

自序 v

话题1：日常生活中的等差数列和等比数列 1

话题2：二次和三次函数样条与数据的插值 9

话题3：指数函数与对数函数的普适价值 18

话题4：三角函数与极小曲面 27

话题5：概率的加法与乘法原理、加权平均的递推 33

话题6：解析几何与带标签数据的模糊线性分类 43

话题7：进制观点下的分类、距离与解析 52

话题8：迭代预测的测不准原理与熵距 62

话题9：数据直径、凸集及荣格定理 71

话题10：欧式几何与离散几何的桥梁——皮克定理及其应用 77

话题11：暗室与艺廊——平面几何与照明 87

话题12：纽结与琼斯多项式 93

话题13：同余、解析几何与随机数生成器 107

话题14：井盖、滚木与等宽图形 117

话题15：自平衡支架的设计与星形线 126

话题16：连分式、计算的自动修正和超越数 137

话题17：黑暗森林法则与社会契约 145

话题18：太空牵引飞船的行驶守则 156

话题19：弓形面积计算的几何方法与“弦切定比”曲线 166

话题20：直方图均衡化与图片去雾霾 173

话题21：曲线的受控形变、贝塞尔曲线与贝塞尔变换 180

话题22：沃罗诺伊图与狄利克雷自由变形 189

话题23：动力系统的周期解与生态循环 195

话题24：带有地域迁徙的传染病模型 204

话题25：相似三角形与城墙长度估测 213

话题26：水面映字与半球映射 220

话题27：复数的几何意义、共形变换与图片扫描 226

话题28：再谈艺廊摄像头问题——二重监控 239

话题29：Sigmoid函数与万有逼近定理 246

话题30：流方法、曲线和曲面的镶嵌 260

话题31：社会发展与二八定律 273

话题32：墨菲定律与行业创新的推动策略 281

话题33：概率对决策的影响——确定性的丧失与均衡的建立 292

参考文献及延伸阅读 307

本书利用数学建模方法讨论了人类社会和自然界中的33个话题，既包括对经典话题的全新阐释，也包含对若干全新话题的原创研磨，不仅解答了大众对于数学的常见疑问：“数学有什么用？”更是以高中知识为主要工具、以数学建模为主要载体、以中学生能够理解的方式，展现了数学研究的基本过程和思维方式。33个话题充分体现了数学与生活的密切联系，讲解了数学建模如何有效地解决跨学科问题，如何为生活中的现实需求建立合理有效的模型，如何在设计制造、生物医学、机器学习，甚至在解决社会问题方面大显身手。作者力求将抽象且严密的数学阐述得通透而有趣，凸显数学的“形式之美”“逻辑之妙”与“大道至简”。本书是为高中生、大学低年级本科生和爱好数学的大众读者开启的一场妙趣横生的数学思维之旅。

朱浩楠，高中数学教师，毕业于北京大学数学系，著有《面向建模的数学》（清华大学出版社，2020年）。

实践证明，数学建模是提升学生基本科学素养和综合创新能力的有效方法，也是科技创新教育的题中应有之义。

——张平文 中国科学院院士

这本书别开生面地呈现了选材、内容和风格各异的33个话题，这些话题中的很多来自学生日常生活中看得见摸得着的现象，使用不超越高中知识范围过多的数学方法予以描述、分析和解决，并在解决过程中渗透了若干现代数学重要思想。通过阅读这本书，学生可以获得用数学解决问题的美妙体验，获得用数学眼光观察世界的重要启发，激发学习数学的兴趣。

——王尚志 《普通高中数学课程标准》修订组