欢乐数学 一本充满"烂插画"的快乐数学启蒙书

这是一本关于数学的书。至少在动笔之前，我真是这么想的。
但在写的过程中，我感觉自己像在地下隧道中穿行，因为失去了信号和导航，全书的故事线就没能完全遵照原本的计划展开，这反倒让我发现了一些意外的风景。走出隧道，重见天日以后，我发现这本书里除了数学，还聊了许多其他的问题：为什么人们要买彩票？一位儿童图书作家是如何改变瑞典选举的？“哥特式”小说又是怎样定义的？电影《星球大战》（Star Wars）中，对于达斯·维德（Darth Vader）和他的银河帝国来说，建造一个巨型的球形空间站真的是明智之举吗？
这就是数学。它连接着生活中看似风马牛不相及的事物，就像超级马里奥四通八达的秘密管道。
如果你觉得数学不可能这么神奇，那也许是因为你在一个叫“学校”的地方学过数学了。如果是这样，我觉得这挺悲哀的。
2009年，我大学毕业，我想我知道为什么数学不受欢迎了：大多数学校都把这门课教得糟透了。数学是一门瑰丽的、充满想象力和逻辑的艺术。而学校里的数学课把这门艺术撕成一大碗碎纸屑，然后给学生布置了一项几乎不可能完成又乏味十足的任务——把这碗碎纸屑拼回去。既然教学方式如此，那就怪不得学生在数学面前一边哀号，一边屡战屡败，也怪不得成年人在回想自己学数学的经历时，会不寒而栗，会恶心作呕。在我看来，解决这个问题的方法显而易见：数学这门艺术，需要更好的解说和更好的解说员。
就这样，我成了一名教师。然而，自负的我并没有接受过系统的师范培训。在讲台上的年让我明白了一个残酷的事实：我会数学，但这不代表我会教数学，更不代表我知道这门学科对我的学生来说意味着什么。
那年9月的一天，我发起了一场令人尴尬的即兴讨论，讨论的主题是“我们为什么要学习几何”。讨论中，这些九年级的学生提出了一连串问题：成年人会分两栏写几何证明吗？工程师会在没有计算器的环境中工作吗？大人们理财的时候会经常使用菱形吗？这些问题的答案当然都是否定的。后，我的学生们得出了结论：“我们之所以要学习数学，就是为了在考大学和找工作的时候证明自己既聪明又勤奋。”但是，在这个证明的过程中，数学本身并不重要，掌握数学和掌握举重特技没什么两样。数学不过是一种毫无意义的智力展示，是为了美化个人简历而进行的长期练习罢了。这个结论使我大受打击，更让我担忧的是，学生们对此都很信服。
那些学生说得没错，从某些角度来看，教育的确关乎竞争，如同一场零和博弈，数学在其中多少发挥了给学生分类和排序的作用。可是，他们忽略了数学更深层次的功能，这也怪我，我没向他们展示这个。
为什么说生活中的一切都以数学为基础呢？它是怎样将那些看上去毫无关联的事物（硬币和基因、骰子和股票、书和棒球）联系起来的？归根结底，数学是一种成体系的思考方式，而世界上的每一件事都得益于思考。
从2013年起，我一直在写有关数学和教育的文章，有些发表在刊物上，比如线上杂志《板岩》（Slate）、《大西洋月刊》（The Atlantic）和《洛杉矶时报》（Los Angeles Times），但大多数还是发表在我的博客“数学和烂插画”（Math with Bad Drawings）里。文章的重点明明是数学，却还是常常有人留言问我为什么不能用心画得更好一些。奇怪了，怎么没人问我为什么不烤一只香橙脆皮鸡当晚餐，却要做那些普通的家常菜呢？还不是因为我的厨艺不达标嘛。我的绘画天赋也一样，非常平庸。比起“说真的，各位，这是我尽努力画出来的数学”，“数学和烂插画”至少听上去没那么可怜，但对我来说，“烂插画”和“我尽努力画”，结果都是一样的。
有一天，为了解释一道题，我在黑板上画了一只小狗，惹得学生们哄堂大笑，正是这片笑声让我在教学上豁然开朗。对于我在绘画技艺上的笨拙表现，学生先是感到意外，然后觉得滑稽可笑，后觉得亲切可爱。数学往往被人视为一场高段位的对决，当学生看到所谓的专家显示出自己在某件事上是全场糟时，就会突然发现原来他也有亲切的、有血有肉的一面。如此一来，这门高高在上的学科也跟着变得可亲起来，不再有距离感。从那以后，我将“老师出糗”列为自创教学方法中的一个要素——你不太可能在任何教师培训项目中找到这个小技巧，但这真的非常管用。
在那之前，我在教室里度过了很长一段备受打击的日子。对我的学生来说，数学就像一个发霉的地下室，一串串没有意义的符号在其中拖着脚步。而孩子们只是耸耸肩，跟着这些步子，跳着没有一丝韵律和美感的舞。
但在那之后，数学课堂活跃起来了，学生们看到了远处的光亮，发现了这个地下室其实是一条秘密隧道，能够把他们所知道的一切关联起来。学生们开始努力，开始创新，开始用数学连接起不同的事物，他们有了飞跃式的进步，获得了学习中只可意会不可言传的秘籍——理解。
和教案不同，本书会跳过那些技术性的细节，也没有几个方程式。别担心，那些天书一般的方程式在这里都是装饰（硬核知识点在书后注中有详细说明）。本书关注的是我眼中数学的真正核心：思维。书中的每一部分都将带领你游览一系列景观，它们互相连通，建筑在一个简单而宏大的观点之上。你将看到，几何规则如何限制了人们对设计的选择，人们如何通过概率获得源源不断的收入，微小的增量如何引发巨变，统计数据如何帮助人们梳理混乱的历史和现实……
写这本书的时候，数学带着我游历了很多让人意想不到的地方。我希望你在读书的时候，也能体会到这种感受。

本·奥尔林

这是一本充满欢乐的数学书。作者本·奥尔林在做数学老师的十几年里发现，大多数学校都把数学这门课教得乏味透顶，他自己开始也是这样。有一天他在解释一道题时画了一条滑稽的小狗，惹得学生们哄堂大笑，这让他豁然开朗：孩子们看到一向聪明、专业的老师画的画这么“烂”，突然觉得数学不再高高在上，而是变得可亲起来。从此，他的数学课充满了欢声笑语，学生有了飞跃的进步，并且获得了数学学习的秘籍——理解。
这本书就是奥尔林老师课堂的延续，书中融入了400多幅他标志性的“烂插画”、火柴人形象、幽默的笑话，书里没有几个方程式（有也是装饰），也不讲解题细节。这本书告诉所有人，数学在生活中无处不在：城市建设要用到几何学，A4纸的尺寸为什么是合理的，蚂蚁从高处掉下来为什么摔不死……从烤蛋糕、看球赛、玩桌游到买彩票、考试、遗传基因，你会发现一切问题都是数学问题。
通过所有这些有趣的例子，奥尔林老师*关注的是让所有人认识到数学真正的核心：思维。他告诉孩子和所有人，学数学不是为了无聊地秀智商，而是可以学会用数学思维看待这个世界的运行，发现数学的魅力。

本·奥尔林

一个不太擅长画画但擅长讲课的数学老师，毕业于耶鲁大学数学系，教过12～18岁各种层次的数学，偶尔也讲讲心理学、生物学、英语、认识论甚至地球科学。
他是“数学和烂插画”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同时也为《大西洋月刊》、线上杂志Slate 、《洛杉矶时报》和《芝加哥论坛报》撰写与数学相关的文章。
已出版作品《欢乐数学》，《变化是的不变》（中文版亦将由未读·探索家出版）。

前言
部分 如何像数学家一样思考？
第1章　终极井字棋：什么是数学 
第2章　学生眼中的数学什么样？ 
第3章　数学家眼中的数学什么样？ 
第4章　科学和数学眼中的彼此什么样？ 
第5章　优秀的数学家和伟大的数学家 
第二部分 设计：必须遵循的几何学
第6章　三角形建造的城市 
第7章　怎样才是合理的纸张尺寸？ 
第8章　立方体背后的寓言 
第9章　骰子的游戏 
第10章　口述：死星的历史  
第三部分 概率：描述可能性的数学
第11章　排队买彩票时遇到的10种人 
第12章　用硬币抛出的孩子  
第13章　概率在不同职业中的角色  
第14章　千奇百怪的保险  
第15章　如何用一枚骰子击溃全球经济  
第四部分 统计学：诚实说谎的艺术
第16章　为什么不要相信统计数据 
第17章　后一位打击率0.400的传奇球员  
第18章　兵临城下：科学殿堂的危机 
第19章　记分牌争夺战 
第20章　碎纸机的故事  
第五部分 转折点：一步的力量
第21章　后一粒钻石粉末 
第22章　纳税等级的学问 
第23章　一个州、两个州，红色州、蓝色州 
第24章　混沌的历史 
尾注 
致谢 

这是一本充满欢乐的数学书。作者本·奥尔林在做数学老师的十几年里发现，大多数学校都把数学这门课教得乏味透顶，他自己开始也是这样。有一天他在解释一道题时画了一条滑稽的小狗，惹得学生们哄堂大笑，这让他豁然开朗：孩子们看到一向聪明、专业的老师画的画这么“烂”，突然觉得数学不再高高在上，而是变得可亲起来。从此，他的数学课充满了欢声笑语，学生有了飞跃的进步，并且获得了数学学习的秘籍——理解。
这本书就是奥尔林老师课堂的延续，书中融入了400多幅他标志性的“烂插画”、火柴人形象、幽默的笑话，书里没有几个方程式（有也是装饰），也不讲解题细节。这本书告诉所有人，数学在生活中无处不在：城市建设要用到几何学，A4纸的尺寸为什么是合理的，蚂蚁从高处掉下来为什么摔不死……从烤蛋糕、看球赛、玩桌游到买彩票、考试、遗传基因，你会发现一切问题都是数学问题。
通过所有这些有趣的例子，奥尔林老师*关注的是让所有人认识到数学真正的核心：思维。他告诉孩子和所有人，学数学不是为了无聊地秀智商，而是可以学会用数学思维看待这个世界的运行，发现数学的魅力。

本·奥尔林

一个不太擅长画画但擅长讲课的数学老师，毕业于耶鲁大学数学系，教过12～18岁各种层次的数学，偶尔也讲讲心理学、生物学、英语、认识论甚至地球科学。
他是“数学和烂插画”（mathwithbaddrawings.com）博客的作者，同时也为《大西洋月刊》、线上杂志Slate 、《洛杉矶时报》和《芝加哥论坛报》撰写与数学相关的文章。
已出版作品《欢乐数学》，《变化是的不变》（中文版亦将由未读·探索家出版）。

概率在不同职业中的角色
说人类对概率的理解太“差”未免有些刻薄，而且这种说法把问题简单化了。概率是现代数学一个精妙的分支，概率的世界中布满了悖论陷阱，即使是一个非常基础的问题也可能让专家陷入困境。嘲笑普通人不懂概率就像念叨他们不善于飞行、不能在海里生活或者防火性能不佳一样滑稽。
毕竟，公平地说，人类在概率问题上简直一无是处。
丹尼尔·卡尼曼和阿莫斯·特沃斯基在心理学研究中发现，人们对事件的不确定性缺乏准确的认知，他们常常高估那些小到可以忽略的概率，又低估大到接近必然的概率。
感觉这也没什么大不了的，对吧？你可能会想，概率真的会影响现实生活吗？我们并没有用一生去追求知识性的工具，这些工具可能会让我们在每一刻都要面对的不确定性旋涡中获得一丝丝安稳。
好吧，保险起见，本章是一篇关于不同的人如何看待不确定性的便携指南。概率很难，但这并不代表我们不能从中得到乐趣。

人类
哈喽，人类！你有眼睛、鼻子等各种感觉器官。你会做梦、会笑、会撒尿，当然你不一定是按这个顺序习得这些技能的。
此外，你生活在一个一切都无法确定的世界里。
举个简单的例子：请问你所在的太阳系中有多少颗行星？现在，你会回答说“八个”；在1930年到2006年年初，你的回答会是“九个”（包括冥王星），但如果是在19世纪50年代，你可能会写12本书，分别详细地介绍水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星、谷神星、智神星、婚神星和灶神星（现在你会将后面四颗称作“小行星”）；如果是在公元前360年，你可能会说出七颗行星：水星、金星、火星、木星、土星、月球和太阳（现在你不会把后两颗称作行星）。
随着新数据和新理论的出现，你的想法会不断改变。这就是典型的人类行为：当学习和探索知识时，你有很多好想法，但不能保证这些想法会永远正确。你知道，老师、科学家、政治家，甚至你的感觉器官……都可能欺骗你。
概率是不确定性的语言。它会量化你知道的、你怀疑的、你怀疑你知道的和你知道你怀疑的，它用一种清晰、定量的语言表达这些信心的细微差别。至少，我是这么想的……

政治新闻记者
哈喽，政治新闻记者！你的工作是报道即将到来和刚刚落幕的大选。在没有选举的日子里，你也会写些关于“政策”和“治理”之类的文章。
不过，你看起来似乎很困惑——一些几乎不可能发生的事情竟然也能发生。
这个世界以前不是这样的。曾几何时，你会把选举看作充满无限可能的神奇时刻。你故意淡化有可能的结果，以便制造悬念，让人们觉得每场选举都是靠后半天的冲刺赢得的。2004年大选之夜，乔治·W. 布什以10万张选票的优势在俄亥俄州选区中领先，这时明明只剩下不到10万张选票没有计数，你却说这场选举依然“难分伯仲”。当概率模型算出巴拉克·奥巴马在2012年赢得大选的机会高达90% 时，你仍说这场竞选“胜负难料”。
可是后来，在2016年的大选中，唐纳德·特朗普击败了希拉里·克林顿，你的世界观被颠覆了。第二天醒来时，你觉得自己经历了一个量子奇点，就像看到了一只凭空出现的兔子。但对于概率学家内特·西尔弗（Nate Silver）和他的同道中人来说，这只是一个中等程度的意外，一个发生概率为三分之一的事件，就像掷骰子掷到了5个点或6个点一样，没什么稀奇的。

投资银行家
哈喽，投资银行家！你把资产存入银行，也为银行投入资产，你的西装比我的车还值钱。
直到20世纪70年代，你的工作还相当无聊。你就是个资金的漏斗，把钱投进“股票”或“债券”。股票惊险刺激，债券平淡无味，而你是人类与它们之间的纽带。
而到了现在，你的工作就和没经过安全检查的过山车一样刺激。从20 世纪70、80年代起，你开始发明复杂的、大家都不太理解的金融工具，尤其不理解的是政府的监管机构。这些金融工具有时会为你带来巨额的利润，但有时又会让你的百年企业轰然倒闭，如同导致了恐龙灭绝的行星一般，给整个经济体留下巨大的创伤。真是惊心动魄！
公平地说，资本配置在资本主义中是一项非常重要的工作，有创造大量价值的潜力。如果你为刻薄的数学老师看不起你的专业而生气，花点时间算算你的工资超过那些刻薄的数学老师的可能性，我想你会发现自己的心情一下子就好起来了。

地方新闻主播
哈喽，新闻主播！你有一头漂亮的头发，发音标准，经常需要和搭档开些做作的玩笑。
你也会被一些几乎不可能发生的事情所困扰。
你报道的通常是危险的寒潮、当地的谋杀案、空气中的致癌物，还有会像电影《异形》里的怪物一样粘在宝宝小胖脸上的劣质玩具。表面上，你报道这些是为了向听众提供资讯，但事实上，你这样做不过是为了引起他们的注意。如果你真的希望人们能够提高警惕，关注统计数据中对儿童成长的威胁，就应该提醒人们注意枪支和游泳池造成的家庭事故。可你非但没这么做，反而生动地描绘了绑架和鳄鱼攻击这类概率小而又小的事件。你知道，我们无法把注意力从这些可怕的事情中移开——尤其是当它们被人为发酵的时候。

天气预报员
哈喽，天气预报员！作为电视上的天气预言家，你带着坚定的手势播报天气情况，每次播报的结束语都是“现在，我们把现场交回直播间”。不过，为了避免人们因天气不如意而迁怒于你，你有时候会在概率上做点小手脚。
当然，你是希望实话实说的。当你说有80% 的可能性下雨时，你说的就是事实：根据以往的统计，80% 的这种日子都会下雨。但当下雨的可能性降低时，你就会把这个数字放大，毕竟你会担心有人在忘带雨伞后将天气的变化归咎于你，甚至在网上吐槽和谩骂。所以当你说有20% 的可能性下雨时，其实下雨的概率只有10%，你提高了下雨的概率，从而降低自己遭受网络暴力的概率。
或许有一天，人们能更好地理解概率，你也不再害怕说出真相。人们似乎认为“10%”的意思就是“不会发生”。如果他们接受了它的真正含义（每十次中会发生一次），你就不必对真实的概率守口如瓶，可以诚实地说出实际的概率了。而在那之前，你的天气预报还是只能半真半假。
现在，我们把现场交回读者。

哲学家
哈喽，哲学家！你是个怪人，读的书奇怪，写的书更奇怪，和你一块儿混迹于酒吧的朋友中既有基督教牧师，也有犹太教教士。
特立独行的你，自然不会被概率吓唬住。
你喜欢把“很可能”留给经验主义者，转而挖掘其他人认为“几乎不可能”的想法，你问的问题和思考的观点都与常人不同，因为这些想法深奥又晦涩，而且还很可能是错的。但这就是你对这个世界的意义所在！在哲学发展的时期，哲学家带领着人类发现了诸多全新的领域。比如，从亚里士多德到威廉·詹姆斯，心理学发源于哲学。即使在哲学糟糕的阶段，哲学家的思考和质疑也能激发和鼓舞我们，这是其他学科都无法望其项背的。

《碟中谍》电影中的特工
哈喽，《碟中谍》（Mission : Impossible）特工！你要完成“不可能的任务”。你是个传奇人物，悬吊在天花板上潜入上锁的金库，戴着吸盘手套攀爬摩天大楼的外墙，向双面间谍解释自己三重间谍的真实身份。
不过，你似乎也不明白“不可能”到底意味着什么。
“不可能”既不代表“像季度收益报告那样规整而无趣”，也不代表“非常罕见”“相当困难”或“哟，幸好刀锋停在了离汤姆·克鲁斯眼睛一毫米远的地方”。它的意思是“一丝可能性都不存在”。然而，这种“不可能”却一直在发生。《碟中谍》系列电影的标题有多不诚实，电影主题曲的旋律就有多动听。
不过，你不是犯这类错误的人。这种似是而非的问题在小说界十分常见。《胜利之光》（Friday Night Lights）是我喜欢的电视剧之一，这部剧描绘了得克萨斯州一个小镇的平凡生活，探索了普通人的人性挣扎。然而，即便是在这个看起来可信度很高的故事里，千载难逢的戏码也在每场橄榄球比赛中屡屡上演：长达80米的触地传球、球门线上低级失误，或者本该进门的球被横梁弹飞。这不禁让我陷入了思考：到底是我们把不可能的幻想投射到了电视屏幕上呢，还是电视屏幕把这些幻想植入了我们的内心？

“千年隼号”船长
哈喽，“千年隼号”的船长！你是一方恶霸，却心地善良。你的生活伴侣是一只2.43 米高、身披弹药袋的太空狗。
还有，你完全拒绝谈概率。
你不是深思熟虑的人。作为一个走私犯，一个帝国杀手，拼的就是速度和蛮勇。你杀害格里多（Greedo）时果断地一击致命，而对手正是死于自己的犹豫不决。你的一生都在枪林弹雨中度过，战场上没有概率学家。对你来说，花费力气去计算概率是一种拖累人的行为，就像允许旁边有个神经质的金色机器人不停地絮叨：“天哪！不能这样！”“主人，有句话我不知该不该说……”
我想，每个人心中都有你的影子。有条件冷静而仔细地进行评估时，概率对我们很有用，但有时候我们也需要必胜的信念，哪怕这种信念并没有坚实的、可以定量的事实支撑。在需要依靠本能行动的时刻，如果总是受缚于看似可信的概率，我们的灵魂将永远在需要冒险时裹足不前。在这种时候，我们要做的其实是忘掉数字，坚信自己。

《欢乐数学》将数学融入生活之中、故事之中、游戏之中、思辨之中，好玩有趣。在书中数学不再高大、冰冷和形式化，而是一朵一朵美丽的浪花，充满着火热的思考，充满着智慧、理性和生机。
——魏韧，高级教师、中国数学奥林匹克一级教练、北京市第十八中学党委书记 

与大多数人对数学书籍固有的刻板印象不同，这是一本“绘声绘色”的好书，从中我们可以发现原来数学就在我们身边，无处不在且充满着乐趣。更重要的是，本书从纷繁复杂的数学公式中抽离出来，专注于数学思维的探讨，让我在阅读过程中得到了很多意外的惊喜和收获。
——孙云志，中国数学会《数学学报》编辑部主任

才华横溢、学识广博却不故作严肃，这本书让你在恍然大悟的“啊哈”中也能开心地“哈哈”，让你发笑也让你更加聪明。
——史蒂芬·斯托加茨，康奈尔大学数学系教授、世界上备受推崇的数学家之一

虽然本·奥尔林的绘画很滑稽，但他本人非常聪明迷人。他的才能造就了这本愉快、温暖、风趣的数学图文指南，使数学充满不可抗拒的吸引力。
——汉娜·弗莱，伦敦大学学院数学家、BBC节目主持人