几何原本 学生版

欧几里得的《几何原本》被广泛认为是成功的教科书。徐光启曾盛赞：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”爱因斯坦也说过：“次看到这本书就惊为天人。” 《几何原本》全书共13卷465个命题，学生版精选了其中的精华部分，节选内容或与现代初等数学密切相关的，或是十分重要且富有启发性的，原著的公理和公设自然全部选入本学生版。各卷的定义对理解相应的基本概念十分重要，而且也常常被引用，因此除第试卷外，几乎所有的定义全部选入学生版。书中附有《节选内容说明》，解释了精选原则和选入的73个命题。上篇为阅读指导，介绍了欧几里得和《几何原本》的历史和传说，《几何原本》的三大特点和主要内容以及对现代中小学数学的影响，并进行了翻译说明。在中篇的每一卷开篇处增加了内容提要，以便于读者理解原文。下篇为学习资源，含扩展阅读、数字课程、思考题等。

欧几里得（Euclid，约公元前330-公元前275年），古希腊著名数学家， 被称为“几何之父”，
凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院 教授。

弁　言 / i
上篇　阅读指导
一、 欧几里得与《几何原本》的传说 / 3
二、 《几何原本》的三大特点 / 9
三、 《几何原本》的主要内容 / 15
四、 《几何原本》对现代中小学数学的影响 / 22
五、 《几何原本》翻译说明 / 26
中篇　几何原本（节选）
节选内容说明 / 31
卷　平面几何基础 / 39
第二卷　矩形的几何学，几何代数基础 / 80
第三卷　圆的几何学 / 88
第四卷　圆的内接与外切三角形及正多边形 / 107
第五卷　成比例量的一般理论 / 115
第六卷　相似图形的平面几何学 / 132
第七卷　初等数论 / 146
第八卷　连比例中的数 / 156
第九卷　连比例中的数；奇偶数与完全数理论 / 163
第十卷　不可公度线段 / 169
第十一卷　立体几何基础 / 180
第十二卷　面积与体积；欧多克斯穷举法 / 210
第十三卷　柏拉图多面体 / 219
下篇　学习资源
扩展阅读 / 229
数字课程 / 230
思考题 / 231
阅读笔记 / 233

欧几里得的《几何原本》被广泛认为是成功的教科书。徐光启曾盛赞：“能精此书者，无一事不可精；好学此书者，无一事不可学。”爱因斯坦也说过：“次看到这本书就惊为天人。” 《几何原本》全书共13卷465个命题，学生版精选了其中的精华部分，节选内容或与现代初等数学密切相关的，或是十分重要且富有启发性的，原著的公理和公设自然全部选入本学生版。各卷的定义对理解相应的基本概念十分重要，而且也常常被引用，因此除第试卷外，几乎所有的定义全部选入学生版。书中附有《节选内容说明》，解释了精选原则和选入的73个命题。上篇为阅读指导，介绍了欧几里得和《几何原本》的历史和传说，《几何原本》的三大特点和主要内容以及对现代中小学数学的影响，并进行了翻译说明。在中篇的每一卷开篇处增加了内容提要，以便于读者理解原文。下篇为学习资源，含扩展阅读、数字课程、思考题等。

欧几里得（Euclid，约公元前330-公元前275年），古希腊著名数学家， 被称为“几何之父”，
凌复华，上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院 教授。

 欧几里得与《几何原本》的历史和传说

凌复华

(上海交通大学、美国史蒂文斯理工学院 教授)

《几何原本》的作者欧几里得，可以说是历为人知的数学家，他的名字早就成为经典几何学的代名词。但是，与之形成巨大反差的是，他的生平却不为人知。下面，我们以几个“数字”为线索，看看与他有关的史料和有一定可信度的传言。

一： “一”指的是，《几何原本》是有史以来成功、发行量、有影响力的一部教科书。

二： “二”指的是“两段传说”。个传说，公元5世纪，有一位生于拜占庭的数学家，名字叫普罗克洛斯（Proclus，约公元410年—485年），他是新柏拉图学派的代表人物，曾为欧几里得《几何原本》做过注解。据普罗克洛斯记载，当时的埃及托勒密王曾经问欧几里得，除了他的《几何原本》之外，还有没有其他学习几何的捷径。欧几里得回答说：“几何无王者之路。”意思是说，在几何学里，没有专为国王铺设的大道。这句话后来成为传诵千古的箴言。

第二个传说，公元6世纪时的一位叫斯托贝乌斯的数学家，记述了另一则故事，说一个学生才开始学个命题，就问欧几里得：“老师，我学了几何学之后将得到些什么？”欧几里得想了想，转头对下属说：“给他三个钱币，让他走人，因为他想在学习几何学中获取实利。”的确，当时学习几何学确实不能立竿见影给人带来实际利益。但是，我们现在知道，几何学后来对科学大厦的建立起到了巨大的作用。

三： “三”指的是“三个史实”。学术界一般认为，以下这三个史实是可信的。，欧几里得出生在雅典，并曾在柏拉图的“学园”学习。第二，欧几里得于公元前300年左右活跃于埃及亚历山大城，很可能是在亚历山大图书馆教授数学。第三，欧几里得大约生活于公元前325年至公元前270年；也有一种说法，他生活于公元前330年至公元前275年，大约活了55岁。

四： “四”指的是《几何原本》一书实际上有“四位作者”。除了欧几里得之外，其他三位作者分别是毕达哥拉斯（Pythagoras），欧多克斯（Eudoxus of Cnidus），特埃特图斯（Theaetetus of Athens）。

《几何原本》一共十三卷。现在学术界认为，这十三卷并不是欧几里得一个人的著作，书中大部分的内容直接取材于他之前的其他数学家。一般认为，卷至第三卷，以及第七卷至第九卷的许多内容，出自毕达哥拉斯学派，这个学派认为，“数”是万物本原，为人所知的成就是毕达哥拉斯定理，在我们中国称之为勾股定理，这在《几何原本》卷中就有明确表述。

《几何原本》第五卷中的比例理论和第十卷中的穷举法，出自欧多克斯；欧多克斯与柏拉图是同时代人，曾求学于柏拉图学园，之后返校执教。

《几何原本》第十卷和第十三卷，出自特埃特图斯，他是柏拉图学园的一位数学家，对柏拉图的影响很大，柏拉图曾将他作为《对话录》的标题人物和讨论对象。

当然，在《几何原本》中，欧几里得本人也有不少精彩手笔，如用几何图形，寥寥数笔就证明了勾股定理，证明了不存在素数的欧几里得定理，给出因式分解定理等。

一千： “一千”指的是《几何原本》的各种版本，总数不下“一千多种”。《几何原本》的原稿早已失传，在很长时间里，流行的是赛翁（Theon，约公元335年—405年）的希腊语修订本，直到1808年，在梵蒂冈发现了更早的手抄本。海贝格（Heiberg）根据这个手抄本于1883年—1888年编纂的希腊语版本，是当今的权威版本。

在欧洲的中世纪黑暗年代，希腊文明由阿拉伯人传承。《几何原本》的个阿拉伯语译本出现于公元9世纪。1120年左右出现转译自阿拉伯语的个拉丁语译本，它于1482年在威尼斯首次印刷出版。1505年，译自赛翁希腊语文本的拉丁语译本，也在威尼斯印刷出版。《几何原本》早的完整英语译本，出现于1570年；而流行的英语译本，是1908年和1926年出版的希思（Heath）的注释本。

《几何原本》的汉语翻译其实也开始得很早。1607年，由意大利人天主教耶稣会传教士利玛窦，和我国明代科学家徐光启合译出版了前六卷，但直到250年以后的1857年，才由两名英国人完成，共出版15卷。不过，后两卷现在一般认为是后人添加进去的，此后的版本不再收入。明清两朝的这两个汉译本都是文言文，术语和现在也不一样。难以想象的是，此后130年间，《几何原本》的新译本竟然又是空白，直到1990年才出版了兰纪正、朱恩宽的现代汉语译本。近年来又出现了十余种汉译本，但良莠不一，总的说来未见有什么超越。

从古代希腊语手抄本到阿拉伯语和拉丁语译文的手抄本，再到近现代几十种语言译本的印刷版本，《几何原本》各种版本总数不下一千多种。

二千三百： “二千三百”指的是《几何原本》成书于大约2300年前，这本书的面世起到了承上启下的作用。所谓“承上”，指的是欧几里得总结了在他以前古希腊几何学中的所有重要成果，如上面提到的毕达哥拉斯、欧多克斯、特埃特图斯，还有希波克拉底（Hippocrates of Chios）和泰乌迪乌斯（Theudius）。所谓“启下”，是指《几何原本》对世界数学的深远影响。它直接影响了其后阿基米德和阿波罗尼奥斯分别开创的计算几何学和形式与状态几何学，古典几何学在那时已经成熟。

现在常把古典几何学称为欧几里得几何学，简称欧氏几何。近代以来发展出来的解析几何、罗巴切夫斯基几何、黎曼几何等，也都可以溯源于此。许多伟人如开普勒、牛顿、爱因斯坦等，都称自己受到《几何原本》的极大影响。