有趣的数学

“你会做那种带帆的小船吗？”

“虽然我没有小船。但我的罐子里既有蝾螈[2]……又有婆罗洲的，冰岛的……各种各样罕见的邮票，收集了足足一本集邮册。”

出乎意料的是，这本集邮册竟帮我达到了目的，并且很顺利。菲利克斯居然是一个狂热的集邮爱好者。一听到我说集邮册，他的双眼立刻放出了光芒。

他走到我面前，问：“你有很多邮票吗？”

“是啊，我的那些邮票特别少见：有尼加拉瓜的，有阿根廷的……来我家吧！今天晩上就过来！看这套房子，到时候你按一下门铃就可以了，我们就住这里，我自己单独住一个房间。并且今天我们老师基本上没有布置多少作业……”这是我们次单独见面，菲利克斯应邀明天到我家里来做客。他来的时候已经是第二天傍晩时分了。我迫不及待地把他领到房间里，开始让他欣赏我的那些宝贝：60只蝴蝶标本是我用了两个夏天的时间收集的，令伙伴们羡慕不已、我自己也引以为傲的电机，是我用啤酒瓶做成的；放在一个玻璃罐里的4只北螈是去年夏天捕捉的；那毛茸茸的一只小狗似的玩弄着自己的爪子的是玩具猫谢尔科；再就是那本集邮册，在班上我可是的拥有者。菲利克斯感兴趣的只有邮票。他所拥有的邮票还不足我的十分之一。他告诉了我他收集邮票困难的原因：尽管邮票可以在商店里买到，但舅舅不给他钱（其实他的舅舅就是那个魔术师，菲利克斯的父母很早就去世了，他是个孤儿）；因为他不认识别的人了，所以也不会有和他交换邮票的；也从来没有人给他写过信；他们没有固定的住所，不像其他人一样能在一个地方常住，总是不停地从一个城市搬到另一个城市，漂泊无依。

“你怎么会没有认识的人呢？”我不解地问。

“肯定不会有啊！在这才跟某个人认识了，不久又要搬到陌生的城市，自然而然就失去联系了。同一个城市我们不会再去第二次。再者，舅舅也不允许我跟别人联系。我就是瞒着舅舅偷偷来你这儿的，他不知道我出来了，当时他出去了。”

“你的舅舅怎么不愿意让你交朋友呢？”

“他怕我会把秘密泄露给别人。”

“什么秘密啊？”

“有关魔术的秘密。一旦泄露就不会有人来看我们的表演了，也没什么值得看的。”

“如此说来，那些都是魔术表演？”

菲利克斯并未作答。

“你和舅舅真的是表演的魔术，是吗？快说啊？”我不停地追问着。

他头也不抬、一声不吭地翻阅着我的集邮册。想从菲利克斯那得到问题的答案可不是件易事。

“你有没有阿拉伯的邮票？”他到底开口说话了，却依然认真地翻看着集邮册，仿佛完全没听到我的问话一样。

我明白，想要从他嘴里获得答案不大可能，所以我就让他尽情欣赏我的宝贝。那天黄昏，从菲利克斯那里我没有得到任何信息来解释《世纪奇迹》。

非凡的记忆力的秘密

我还是实现了自己的愿望！第二天菲利克斯对我揭晓了有关非凡记忆力秘密的答案。至于我是怎么赢得他的信任，使他直言不讳的，我便不详解了。我只得忍痛割爱——12枚稀有的邮票。

菲利克斯终还是没能经受住诱惑。

这发生在菲利克斯的家中。我如期而来，菲利克斯的舅舅会出门，他在前一天晩上就知道了。

在揭晓答案之前，菲利克斯再三让我谨慎发誓：“不管在什么情况下，我永远不会把这个秘密透露给别人。”然后他取出一张纸来，在上面画出了一个表格：

我糊里糊涂地一会儿看图纸，一会儿看菲利克斯，期望着他能详细地说明。

“看到没有？”菲利克斯降低音调，诡秘地说道，“看见了吧，我们的数字是用字母来代替的。用字母H来代表0，因为0的首字母就是H；也可用M表示。”

“为什么能用M来代表0呢？”

“由于二者发音类似。用字母г来代表1，因为它们的形状极为相似。”“那么ж和1又有何相同之处呢？”

“一般发生音变的时候，г就变成了ж。”

“我知道了。数字2可以用字母д来代表，由于2的首字母是д。而T和д发音类似，也可以用д来代表数字2。那为什么3用K来代表呢？”

“因为K由三画组成，且х与K发音类似，因而也可以用х来代表3。”

“居然是这样。和4对应的是ч或者和它发音类似的щ [3]；和数字5对应的却是字母п或者与其发音类似的б [4]；数字6对应的字母是III [5]。但为什么6也可以用п来代表呢？”

“没有什么原因，只要记住用п来代表6就行了。”

“至于为什么与7对应的是C和З[6]，8对应的是B和Ф[7]，这都容易明白。”

“不错。但为什么与9对应的是P呢？”

“因为在镜子中P和9极像。”

“那为什么9可以用ц来代表呢？”

“因为字母ц与数字9有一个共同点，下面都有一个小尾巴。”

“要想牢记这个表格倒不是难事儿，关键我还是不明白它的作用是什么。”

“稍等。表格中只包括了辅音字母。假如把这些辅音字母与元音字母联系在一起——要知道元音字母是不能代表数字的——就可以得到用来表示数字的单词了。”

“例如？”

“例如‘窗户’这个词就代表数字‘30’，由于字母K代表数字3，而H则代表的是0[8]。”

“每个数字都能用一个单词代表吗？”

“当然了。”

“哦，那么‘桌子’代表一个什么数字呢？”

“736：C对应7，T对应2，л对应6[9]。 所有的数字都能搭配一个单词，自然这并不都是件容易的事情。你多大了？”

“12岁了。”

“哦，这能用单词‘年代’代表：г对应1，д对应2[10]。”

“假如我是13岁呢？”

“那就用‘甲虫’来代表：ж代表1，K代表3[11]。”

“若是453呢？我毫不犹豫地脱口而出。”

“长烟斗杆。”[12]

“真有意思！这自然就有助于你记数字了。但是你演出的时候是背诵单词，而并不是数字，这是为什么呢？”

舅舅将1至100的数词按顺序都配上了单词。例如1到10对应的单词分别是：

1——刺猬；2——毒药；3——奥卡河；4——白菜汤；5——墙纸[13]；6——脖子；7——胡子；8——柳树；9——鸡蛋；10——火焰[14]。

“我一点儿也不明白！什么是‘顺序数词’？这又有什么含义呢？”

“哦，你可真不精通推测！‘刺猬’能够代表1，由于ж代表的是数字1；‘毒药’对应2；‘奥卡河’对应3；‘白菜汤’对应‘4’……”

“这回清楚了！‘墙纸’对应5，因为ъ替代的是5……”

“哦，正是这样。你都见到了，想记住这些单词并不是一件多么困难的事儿。把这10个单词都记住了以后，无论别人给你读出10个什么样的单词，你都可以把它们联系到一块儿。”

“如何联系到一块儿？我不清楚。”

“你随意写出10个单词，我给你讲讲。”

“我”写的10个单词分别是：雪、水桶、笑声、城市、图画、靴子、汽车、绳子、金子、死亡。

在别人把这10个单词读给“我”听时，“我”在脑海里就会把其中的一个单词与一个对应的顺序数词联系到一块儿了，获得的结果便是：

1.一只刺猬循着雪地奔驰。

2.毒药放在水桶里。

3.一阵笑声从奥卡河上传来。

4.在城市里有人喝白菜汤。

5.一幅图画被挂在墙纸上。

6.脖子上挂着一双靴子。

7.汽车里有卡住的胡子。

“汽车里怎么有卡住的胡子呢？这听起来太荒谬了。”

“荒谬就荒谬吧。荒谬的东西却恰恰有助于记忆。为什么‘刺猬循着雪地奔驰’‘脖子上挂着一双靴子’？这也很荒唐，反而很容易便能记住。”

“哦，你接着说。如何把‘柳树’与‘绳子’联系到一块儿呢？”

“柳树长得如绳子那样高。”

“那么‘鸡蛋’与‘金子’呢？两者没有相同的地方吧？”

“鸡蛋黄的颜色如同金子一般。”

“那么‘火焰’能造成‘死亡’？”

“暂时先这样认为吧。把这些单词组合完了以后，我目前只要按顺序牢记每个单词对应的顺序数字所代表的单词，就可以把整个单词表记住了。”

“一只刺猬循着雪地奔驰；毒药放在水桶里；一阵笑声从奥卡河上传来；在城市里有人喝白菜汤。”

“等一等，其余的我来试试：一幅图画被挂在墙纸上；脖子上挂着一双靴子；汽车里有卡住的胡子……”

“你也清楚了吧，有时荒谬的句子能帮上我们很大的忙。那第8个单词代表什么呢？”

“8.柳树长得如绳子那样高；9.鸡蛋黄的颜色如同金子一般；10.火焰能造成死亡。”

“现在你来说一下第5个单词代表什么。”菲利克斯建议说。

“5——图画——墙纸。”

“现在你再来试一下把这10个单词按顺序倒背出来。”

起初我对自己很没信心，可使我惊讶的是，我居然丝毫不差地背出了全部单词。

“乌拉！”我按捺不住开心欢叫道，“现在我也是魔术师了！”

“要知道，你可是立过誓的……”

“我明白，你别害怕，我随口一说罢了。要清楚你记的不是10个单词，而是100个呢！你是如何做到的？”

“方法一样。只需牢记100个数字所对应的单词就行了。”

“那你跟我讲讲11到20都代表什么单词吧。”

菲利克斯写出了以下组合：

11——绒鸭；12——坏蛋；13——甲虫；14——渣滓；15——嘴唇；16——针；17——鹅；18——龙舌兰；19——山；20——房子。

“也可以是其他的单词，”菲利克斯阐释说，“你自己可以尝试找些单词出来。例如，之前我们是用‘鱼竿’而不是用‘毒药’来代表‘2’的。因为把‘2’和‘鱼竿’结合起来不太便利，所以我就让舅舅把‘鱼竿’换掉，因此舅舅就想出了‘毒药’。之前我们用‘晩饭’来代表‘10’，而我自己用‘火焰’来替代。‘龙舌兰’就不是一个很完美的单词，只是舅舅目前还没有想出更好的来。”

“但需牢记的是100句话啊！这难道不困难吗？”

“假如时常演练的话就不是难题了。近那次演出的时候观众给出的100个单词我至今历历在目。”

“你还记得我写的那几个单词吗？”

“它们的序号是多少？”

“68、69、70。”

“铅笔刀、雨、火灾。”

“不错！你是如何记住的呢？”

“是这样的：‘68’对应的是‘锡’；‘69’对应的是‘椴树’；‘70’对应的是‘睡眠’。用锡是制不出铅笔刀的；一个人到椴树下面躲雨；睡梦中见到了火灾。”

“要记住这些单词需要很长时间吧？”

“在上一次表演之前，大概……舅舅，舅舅回来了！”透过窗户看到舅舅走进院子，菲利克斯吓得慌张起来，“你赶快走。”

在魔术师还没有走进楼梯的时候，我便顺利地溜回了自己的屋里。

心灵感应术的秘密

我欣喜若狂，因为我早已知道了一半的秘密……在全部的观众里仅有一个人清楚这个魔术的秘密，我就是那个的人！

到了第二天，我明白了秘密的另一半，为此也付出了巨大的代价：我的集邮册，我用了两年之久收集的全部邮票都属于菲利克斯了。然而应该承认的是，近几个月我一直沉迷于电子实验与设备，已经大大减弱了对那些邮票的热情，因此放弃这些邮票我并没有觉得有太多的遗憾。

我又一次立誓并保证绝不泄露秘密以后，菲利克斯跟我讲，他跟舅舅之间有提前准备好的暗语，他们利用这套暗语能光明正大地在有观众在场的情况下进行交谈，这一点是任何一位在场观众都想不到的。

下一页展现了这套暗语的秘密词典的一部分。

我并没有马上就明白这个表格的含义。菲利克斯给我举例说明他跟舅舅是怎样用这套暗语进行交流的。假如有一位女观众把自己的钱包给舅舅，接下来舅舅便会依照以下方式大声地向坐在台上被蒙着眼睛的菲利克斯提问：

“你知道刚刚是谁交给我一件东西吗？”

“知道”在表中表示的正是“妇女”。菲利克斯便会回答道：“一位妇女。”

“聪明！”舅舅高声说，“现在请你回答我，这件东西是什么？”

依据表格，“聪明”与“现在”代表的是“钱包”。在听到菲利克斯精确的回答以后，舅舅继续问道：

“聪明！你能否回答我，我现在从钱包里取出了什么？”

“是一封信。”菲利克斯回答道，因为他清楚“聪明”与“你能”组合在一块儿暗指什么。

“聪明！那你猜猜看，现在我手里拿的东西是什么？”

“是一枚铜币。”菲利克斯回应道，因为依照他们所用的暗语，“聪明”与“猜猜”的含义指的就是铜币。

“不错！那你猜猜看这枚铜币的面值是多少？”

“是3戈比。”

“聪明！请问现在我取到了什么东西呢？”

“是铅笔。”

“正确！请告诉我它是谁给我的？”

“一个水兵。”

“聪明。推断一下他现在给我的又是什么？”

“是一枚银币。”

运用这套暗语，舅舅可以随便提问。“聪明”“正确”“好样的”等呐喊声，以及“你能”“知道”“是的”“猜猜”这类单词均是多见的难被别人发现漏洞的词汇了，所以不会引起观众的怀疑。

另外，还有一个提前商定好的暗语表。表格中所列出的词汇几乎就能包括观众口袋里的全部物品，所以没有一样东西能让魔术师猝不及防。

然而这并不是所有的秘密。为了能赴约到观众家里进行演出，舅舅与外甥运用了其他的词汇来代表下页图中的物品。

只要把这个表格牢牢记熟，舅舅和外甥就能够开展优秀的演出了：菲利克斯闭着眼睛便能猜出观众的一举一动。基本上他们之间的对话都是这样进行的：

“现在是哪个客人站起来了？”

“是大学生。”（“现在”在图中代表“大学生”。）

“他正向着什么东西走去？”

“食品柜。”

“是的。现在他走到了什么东西附近？”

“炉子。”

“正确！现在他朝哪里走去？”

“客厅。”

举一反三。

终，又有一套为猜测手指头和扑克牌的专门暗语：大王、2、3、5、10的表达方式和1戈比、2戈比、3戈比、5戈比、10戈比一样；4和15戈比的表达方式一样，6和20戈比的表达方式一样……如此。

总而言之，全部都是事先想好的，而且连细节都沟通好了。只要熟悉了这套暗语，就足以用与众不同、五花八门的神奇的心灵感应术来让观众感到惊讶了。

现在，不管心灵感应术对我来说是多么容易，当我在揭开这个秘密的时候，都必须为这一计谋所包含的敏捷的才智感到震撼。诚然，我是始终也猜不出其中的奥妙的，所以尽管花了全部的邮票来获得这一秘密，我也毫不惋惜。

但还有一个谜底没有解开：菲利克斯匪夷所思地浮在空中的秘密——把一只胳膊靠在木棍上，菲利克斯长时间水平地躺在空气中是怎么做到的呢？人们都说这是催眠术。可这到底是什么呢？为了回答这个问题，菲利克斯把抽屉打开了，从中拿出一件怪异的物品：一根有着几个圈状物和几根皮带的铁条。

“就是这个东西把我依托住的。”菲利克斯轻声地说。

“你就是躺在这个东西上？”我百思不解地问道。

“我是把它穿在身上的，穿在衣服里面。你看好了，”他轻快地把一只手和一只脚伸进圈状物中，将皮带系在胸脯与腰部，“假如现在把铁条的这端插到木棍里，我就能够浮在空气中了。观众是看不出来我是躺在什么东西上的。舅舅不知不觉地就把我装置好了。我这样躺着特别舒服，一点儿也不会觉得累。假如你想睡的话，尽兴睡就好了。”

“莫非那天演出的时候你没有睡着？”

“是在舞台上吗？干吗一定要睡着呢？我只是闭目养神罢了，舅舅让我这么做的。”

我记起坐在我身旁的观众们的争论，禁不住捧腹大笑：原来是这样！

我用了庄重的语言向菲利克斯再三保证，我不会跟任何人吐露有关这个秘密的一点一滴。之后我便走出了菲利克斯的屋子。

第二天，我在窗边站着，看到了菲利克斯和他的舅舅坐着马车奔向了车站。《世纪奇迹》的表演也离开了我的城市。

我没料到的是，这竟是我后一次见到菲利克斯，之后我们再也没有见过面。后来我也没有听说过与《世纪奇迹》在另外的城市表演的有关信息。

然而我仍旧遵守承诺，多年以来都没有跟任何人提过有关“惊人的记忆力”和“心灵感应术”的秘密。

别赫捷列夫教授的文章

我现在理应来讲一下，我认为可以不用再保守菲利克斯告诉我的这个秘密的原因了。道理很简单：因为我得知这个秘密已经被揭穿而且在某些杂志上也发表过了。如今，我也没有任何意义再继续隐瞒下去了。菲利克斯已经不是仅有的“世纪奇迹”了，也不是仅有他舅舅这样的魔术师能表演这类魔术了。

有一天，我无意中看到一本畅销的德语杂志，其中就精确地讲述了关于一次性记忆大量单词的方法，这一方法为那些周游四方的魔术师们所使用。又过了一段时间，我从一本俄语医学杂志上看到一篇文章，此篇文章是俄国闻名的别赫捷列夫教授所写，他揭示了神奇的心灵感应术的奥妙。这篇文章非常有教育意义，所以我把它摘录下来——尽管现在的读者可能再也不会觉得里面有多少让人惊讶的东西了：

1916年的春天，一家露天剧场宣布通告：一位女演员会过来表演，她有先见之明，离得很远便能看穿别人的心思。整场演出便是在那样的气氛中进行的：一个11岁左右的女孩登上舞台，工作人员将一把椅子挪到女孩面前，小女孩站到椅子的背后，一只手轻轻扶着椅背。接着小女孩的眼睛被一块大手帕严严实实地捂了起来。一切就绪之后，小女孩的父亲就开始在观众席间来回穿梭。庞大的剧场大厅高朋满座。女孩的父亲一边窥察观众手里的物品或衣服上佩戴的徽章，或者是用手触碰观众口袋里的东西，一边以发问的形式让站在舞台上的小女孩解答出这些物品的称号。小女孩听到问题就能马上大声且丝毫不差地说出东西的名称，她回答的大部分问题极其迅速。

她的父亲走近我们包厢，用手指向我对女孩说：“这位又是谁？”

从女孩的方位迅速传来嘹亮的回答：“是位教授。”

“他的名字是什么？”

舞台上又一次传来丝毫不差的作答。

我从衣服口袋里拿出一本叫作《医学日历》的杂志，请小女孩说出这本杂志叫什么名字。伴随着父亲的发问舞台上传来准确的答案：“是日历。”

小女孩的作答赢得的掌声可谓震耳欲聋。

为了寻个结果，教授向小女孩的父亲提议再来一场表演，然而地点不是在舞台上，而是在一个仅有几个观众的地方。

他谦恭地答应了。教授继续写道：

我跟同坐在一个包厢的几个观众一起到了剧院办公室。

到办公室里，我开始对小女孩提出了几个不能问的问题，我觉察到了她脸上忐忑不安的表情。当我问起她是否能和我进行猜物品的尝试时，小女孩稍微思考之后回答，她很有必要有一个适应的过程。接着我向女孩的父亲问道：“她需要适应多久才可以和我进行猜物品的尝试？”父亲的答案是：“一个月左右。”

然后，我尝试着和小女孩进行的有关猜物品的游戏都宣告失败了。因此，我们决定让小姑娘跟她父亲进行演练。我示意小女孩站在办公室角落里靠墙的一张椅子后面，而我则坐到椅子上去。小姑娘的父亲站在离墙几尺远的对面，依据另外几位观众展现给他的东西向小女孩发问。父亲的话音刚刚落下，就传出了小女孩准确的作答。我们可以确信的是，这位父亲没有向小女孩做任何暗示，每次提问之后他便紧闭双唇。

演出结束以后，喜好追根究底的教授不想和这样一个可以研究罕见现象的良机擦肩而过，因此便提议父女俩到自己家中进行表演。小女孩的父亲稍加思考之后就应邀了。商定好确切日期，这位擅长猜度的小女孩便随父亲去教授家里演出，这样不但能确保有个安静的环境，而且还可以保证没有过多的观众在场。到了商定的日期，这两位稀客却没有如期而来。计划破灭，教授当晚立即赶赴演出现场，他的这两位没有露面的客人将在那儿举行“心灵感应术”的表演。

这个故事的结局让人惊讶。以下便是这位教授所陈述的：

刚走到剧院的门口我便被一位先生拦住了，这位我素不相识的男士自称是一位还未营业的医生，他不但对这家剧院很了解，而且还和小女孩的父亲交情甚深。他对我讲，小姑娘的父亲没能如期赴约是因为他需要在剧院表演。此时他正在和观众进行沟通，这些观众对此次表演一直兴趣十足，因为他们觉得这是一种神奇的现象。但我身为一位科学界人士，他不可能骗得了我。上一次在剧院办公室表演的时候，假如仅有我和小姑娘的父亲在场，那么他肯定会把秘密告诉我，只是因为有其他观众在场，所以他没法这么做。他的秘密就是，小女孩的父亲对不同的日常用品采用了特别的方式进行提问，而字母跟数字都有相对应的特殊提示语。因为小姑娘熟悉地驾驭着这套特殊的提示语，所以能够依据父亲的提问迅速地给出答案。所有常见的东西，例如烟盒、火柴盒、皮带、勋章、书籍、车票等，以及常见的人名：尼古拉、亚历山大、弗拉基米尔、米哈伊尔等，均有指定的提示语。另外，常见的东西则有一套字母和数字暗语。换言之，问题中包括了代表特定的字母和数字的词汇。

比如，倘若37是需要猜测的数字，那么“请你确切地告诉我”就是约定的暗语了。原因是“告诉我”代表的数字是“3”，而“确切地”代表的数字是“7”。所以，在父亲问小姑娘军官的皮带上写有什么数字的时候，就会说“请你确切地告诉我”，那么小姑娘自然而然就会回答是“37”了。假如某个观众的记事本上写着377，那暗语就是“请你确切地告诉我，确切地……”而倘若这个数字是“337”，那么父亲问她的时候就会说“请你确切地告诉我，告诉我……”

这种猜测由于一些日常物品事先约定好暗语而变得更加容易，例如，“手表”用“什么”表示；“钱包”用“什么样的”表示；“梳子”用“这是什么”表示。显然，假如问题是“衣袋里是什么？”那正确的回答便是“手表”；而假如问题是“衣袋里装有什么样的东西？”那答案就是“钱包”；假如问题是“这是什么东西？”那就要回答“梳子”。倘若有必要将暗语设置为数字或字母，自然就得换一套新的约定语言了。例如，小姑娘一听到“你认真考虑考虑”，她就立刻想到应该按照字母表来组织词汇回答这个问题。

名师点评

数学思维，也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。简单来说，就是灵活运用所学的数学知识，或者说从数学的角度看问题，以及有条理地进行理性思维、严密求证、逻辑推理和清晰准确地表达的意识与能力。可以说，数学思维不存在，然而又无处不在。

在开篇的《世纪奇迹》这章中，别莱利曼给我们引导性地讲了几个非常有意思的趣味魔术，这些