更高更妙的高考数学热点透析

追求更高，学习更妙

古人讲“会当凌绝顶，一览众山小”，在高中数学学习中也是一样，只有真正登上学习的高峰才能看到大好的风景。

从2009年编写本数学高妙《更高更妙的高中数学思想与方法》以来，这十一年间，共出版发行了七本新高妙，有针对初高中衔接的，有适合轮复习的，有考前30天每日一讲的，也有关于一题多解与一题多变的，我们想从不同角度，不同层面帮助高中生在数学学习上“追求更高”，从而实现“学习更妙，高考数学成绩更好”的目标。

2018年暑假后，湖州德清的数学特级教师江战明带了一份书稿来看我，这是他从教近二十年来多次担任高三毕业班数学教学的“内功心法”，也是他与他的得意弟子们在备考中反复切磋的“一招一式”，我看了非常喜欢，于是鼓励他按要求修订后纳入我的“高妙”系列，2019年高考结束后，根据高考研究成果，他再次对原书稿进行了提升与完善，现在全书结构精致、选题精要，剖析精准，全书32讲几乎涵盖了高中数学中的热点与难点，是一本难得的数学学习案头书，也是对“高妙”系列的有益补充。书中各讲相辅相成，每讲又各有侧重，是“解题教学论文”，是“高考备考专题”。

我相信，这本新高妙也会很快受到“妙”粉们的追捧！让我们追求更高，学习更妙！

浙江省杭州高级中学  蔡小雄

编者

江战明，浙江省特级教师，曾获浙江省教坛新秀，南太湖特支计划教育领军人才，湖州市教学明星，德清县首届名师，浙江省优质课(说课)一等奖，所授“一师一优课”被评为省级优课。兼任浙江省基础教育课程改革专业指导委员会成员，浙江省教育学会中学分会理事，浙江省教育厅官网“江战明名师工作室”负责人，湖州市高层次人才联谊会理事。

从2000年至2015年连续15年担任班主任，其中15届所带班级全班学生均上重点(中国科学院大学和中科大各1人，浙大7人)，18届任教班级有21位同学被复旦大学、上海交大、浙江大学、中科大、南开大学等985名校录取。指导学生在全国联赛及浙江省联赛中50余人获奖，其中多人获奖项和省一等奖。

    在《数学通报》、《数学教学》、《数学通讯》等省级以上刊物发表论文50余篇，指导教师、学生发表论文10多篇；主持课题4项，其中两项分别获湖州市一、二等奖；编著《更高更妙的考前30天备考手册》、《玩好题—巧法妙解》等教学用书6册。曾多次参加省、市命题工作，多次参与浙江省学考、选考命题工作，是浙江省高考、选考、学考命题专家库成员。

  目 录

篇  函数

微专题01  函数定义  关注对应

微专题02  函数奇偶  对称周期

微专题03  函数值  活用定义

微专题04  函数零点  形数结合

微专题05  函数拆分  以值代参

微专题06  逼近  切比雪夫

微专题07  函数不等  回归单调

微专题08  函数凹凸  妙用切线

微专题09  主元转换  紧扣核心

微专题10  必要开路  各显神通

微专题11  虚设零点  破解隐零

第二篇   向量与三角

微专题12  线性运算  几何对应

微专题13  向量系数  等和等差

微专题14  向量垂直  投影先行

微专题15  中线对边  极化恒等

微专题16  正余并进  化解三角

第三篇   数列

微专题17  数列通项  分类击破

微专题18  求和公式  另眼相看

微专题19  数列放缩  重在相消

微专题20  等比放缩  巧用上限

微专题21  整数问题  数学归纳

第四篇  立体几何

微专题22  空间比角  线面转化

微专题23  置入模型  增强直观

微专题24  旋转翻折  圆锥情结

第五篇   解析几何

微专题25  离心率题  形数入手

微专题26  设而不求  妙在灵活

微专题27  距离比值  活用阿圆

微专题28  线段比例  定比点差

微专题29  仿射变换  椭圆变圆

第六篇   不等式与期望方差

微专题30  三角不等  大显身手

微专题31  不等式链  联合柯西 

微专题32  独立重复  二项分布

编者

江战明，浙江省特级教师，曾获浙江省教坛新秀，南太湖特支计划教育领军人才，湖州市教学明星，德清县首届名师，浙江省优质课(说课)一等奖，所授“一师一优课”被评为省级优课。兼任浙江省基础教育课程改革专业指导委员会成员，浙江省教育学会中学分会理事，浙江省教育厅官网“江战明名师工作室”负责人，湖州市高层次人才联谊会理事。

从2000年至2015年连续15年担任班主任，其中15届所带班级全班学生均上重点(中国科学院大学和中科大各1人，浙大7人)，18届任教班级有21位同学被复旦大学、上海交大、浙江大学、中科大、南开大学等985名校录取。指导学生在全国联赛及浙江省联赛中50余人获奖，其中多人获奖项和省一等奖。

    在《数学通报》、《数学教学》、《数学通讯》等省级以上刊物发表论文50余篇，指导教师、学生发表论文10多篇；主持课题4项，其中两项分别获湖州市一、二等奖；编著《更高更妙的考前30天备考手册》、《玩好题—巧法妙解》等教学用书6册。曾多次参加省、市命题工作，多次参与浙江省学考、选考命题工作，是浙江省高考、选考、学考命题专家库成员。

序1

从事数学教学工作近二十年，我发现一个值得思考的现象，那些刷题量的学生往往成绩并不是理想的，而那些能够在一定的刷题量的基础上进行思考和归纳整理的学生，成绩往往比较优异，因为盲目地刷题不仅效率低下，甚至还会起到反效果！基于以上原因，我一直在思考，如何才能让学生学的更高效，同时坚持不断地做典型试题归类更新工作，并把这两项工作统一起来付诸实践。我开始有意识地在高三复习的课程中使用微专题形式，即将各种题目按照题型和解法进行分类整理，在课堂上以方法为线索进行讲解，引导学生对问题的本质加以分析和思考，深化对解题方法的理解，然后再进行针对性的巩固训练——也就是高妙热点问题透析的雏形。在教学实践中，这种教学方式取得了不错的效果，学生掌握的速度比平时快了许多，并且印象更加深刻，对同类型的题反应更加迅速。因为受课堂时间所限，部分微专题由学生自学完成，同样受到学生的一致好评，不少学生期待有更多这样的微专题，特别是可以针对他(她)薄弱环节的，所以我也一直在扩充微专题.因为市面上的教辅资料，多是以知识点的顺序作为线索编写，这样的微专题形式的辅导资料还比较少，因此，我产生了编写一本以经典方法为线索的辅导书的想法，希望能把这些年高三教学中积累的经验和一些对题型和方法的整理总结下来，分享给各位同行与莘莘学子。

2018年6月，高考结束后，我开始将这一想法付诸实践。我邀请了一位当年的一位得意毕业生与我一起整理近年来总结的资料，经过反复的讨论与修改，后选择了其中的32讲较为热点的方法整理成微专题，又在2019年高三教学过程中不断地进行优化——去掉了原先一些较为陈旧的题型，加上了新的模拟题和高考真题，力求增强模拟感、同时也更贴近新的高考形势。为了能将方法的本质说明白，在部分较难理解的专题前，我们又加上了一些自编的简单导入题，希望以此降低阅读的难度。

这本书既可以作为教案，也可以作为学案，相信只要在阅读的过程中多加思考，定能有所收获。希望这本书能给各位带来一点小小的帮助，但由于编写时间较为仓促和受水平所限，书中必然还有一些错误和不足之处，欢迎各位读者批评指正。

浙江省德清县高级中学   江战明

序2

在我高中三年的学习生活中，江老师有一句话一直令我印象深刻，他说会做几道题没什么了不起的，能给题目做分类整理才是真正的高手。因此，这三年里我一直很注重对题型和解法的归纳整理，这也对我的数学学习产生了很大的帮助，但囿于时间和能力，整理的深度和广度还比较有限。适逢高考之后应恩师之邀参与编写此书，以方法为线索将这三年的笔记重新整理，我也籍此对数学有了更深的体会。在大学就读的这一年里，每当我有所感悟，也加以整理写入此书，几经修订，历时一年终于与恩师完成初稿。出版前的后一次修订是在今年的高考前后，看到今年的高考卷时，我又喜又恼，喜的是今年的后一题完全可以用书中所整理的方法解决，恼的是此书没能赶在今年高考前出版，没能给这一届学弟学妹提供帮助。但无论如何，这确实体现了归纳整理对数学学习的重大帮助。

当然，归纳整理固然重要，但要是没有做题的积累，再多的归纳整理也不过是空中楼阁。苏步青前辈谈起他的学习经历时曾言他做过一万道微积分题，他在数学上的深厚功底和卓越成就与这样的刻苦训练是分不开的。对此我也深有体会，在我的数学学习中，对各种概念和方法从陌生到熟悉，往往是要通过训练来完成的，只有在这个过程中才能加深自己的理解。事实上，每做一题就有一题的感悟，做一百题和做一千题的体会是完全不一样的，只有通过系统而严格的训练，才能真正有所长进。假如对每种类型的题都只是蜻蜓点水般的做上几道，又怎么能掌握方法的本质，更不要奢求能熟练运用了。

我们力求能通过书中的例题将求解问题的思路和操作说明白，尽量便于读者模仿，但限于篇幅，每一章节后给出的习题数量还是十分有限的，仅仅通过书上的习题还远远不能达到熟练掌握的目的。因此，希望各位读者不要局限于书中的练习，而要将其中的思想方法运用到平时的作业和考试中去，充分利用这些机会检验自己的掌握情况，加深自己的理解。相信有了训练量的积累，再加上充分的思考和归纳整理，各位一定能学有所成。

希望此书能给各位读者带来启发，为日后的数学学习带来一点小小的帮助。

                     复旦大学数学科学学院    程蕴韬(学生)