做一个讲道理的数学教师

序一 做一个真正“明理”的数学老师

很喜欢这样一个题目：“做一个讲道理的数学教师”，因为它促使我认真地去思考这样一些问题：数学教学为什么要“讲道理”？数学教学需要哪些“道理”？我们在教学中又应如何去“讲道理”？

尽管十分希望广大读者特别是一线教师也能对上述问题作出自己的思考，但我相信我们又都可以由这一著作获得这方面的直接启示。当然，与其说这本书已经建构起了这方面的系统理论，毋宁说它为这方面的进一步工作提供了很好的基础。笔者通过仔细阅读这一著作获得的直接体会是，其中确有很多真知灼见。而罗鸣亮老师能够做到这一点，主要在于他勤于思考，善于思考。例如，即使在获奖以后，他也能“让自己在短的时间内静下心来，读书、思考……每次上完课，不再去关注别人的感受，而是追问自己的心：我上出真实的自己了吗？我真情演绎自己了吗？跟孩子们真实交流对话了吗？还能有更大的突破吗？”

立足实际教学活动，从教学出发进行思考，并致力于改进教学，是这一著作的又一亮点，这不仅体现于书中给出的众多课例，也可由相关的总结或反思清楚地看出，特别是，罗鸣亮老师避免了仅“从纯理论的高度出发……让你心悦诚服的同时却仍不知所措”，或者仅止于“神来之笔式的灵感……让你拍案叫绝之余却无从借鉴”。罗老师的做法是带领着年轻教师们“共同经历了为了什么、该怎么办、为什么这么办，有没有更优方案，再加上他亲自的尝试、示范”，努力让老师们“听得明白、说得清楚、上得流畅”。

当然，我们又不应沉浸于书中给出的各个课例与相关论述，恰恰相反，在掩卷之时也应认真地去思考：我们从这一著作中究竟学到了什么？进而，尽管以下的思考似乎离题较远，但事实上也应说与前一问题密切相关：通过阅读你对罗鸣亮老师又有了怎样的了解或认识？

显然，对于后一个问题我们不能停留于这样一个解答：这是一个好老师！笔者的看法是：他确实是一个勤于思考、善于思考的数学老师，特别是，他总是在思考自己的教学如何才能很好地体现相关内容的数学本质；他还是一个十分有趣的老师，这并不只是个性的自然流露，恰恰体现了他这样一种思考——我们怎么才能让学生轻松、快乐地去学，并能真正做到“乐在其中，悟在心中”？

愿我们大家都能以罗鸣亮老师为师、为友，勤于思考，善于思考，做一个真正“明理”，同时又能在课堂上讲清道理，更能引导学生积极地进行思考、弄清道理的数学教师！

南京大学哲学系教授、博士生导师 郑毓信

2016年6月于南京

序二 呼唤“明师”

课改走过十多年了，在当下的小学数学课堂上，教知识仍然是教师的要务，会解题依然是学习的重点，教学的定式、题型的标志、套用的方法、按部就班的模仿，使我们的学生不断地进行机械的数字操练。与过去不同的是，有时课堂也泛起一些改革的涟漪。但总体说来，知其然而不知其所以然的现象依然盛行。以逻辑性著称的数学学科，“不知所以然”的教学，“把原本讲道理的数学搞成了‘不讲理的学问’，使原本容易学的学科变成了令人惧怕、生厌的学科！”（章建跃语）

要改变，让数学成为“讲道理”的数学。从教师开始，才能让数学课堂成为讲道理的课堂。学生的需要是教师存在的理由，学生的发展是教师价值的体现。

讲道理，首先得教师懂“道理”，然后各方尽可能给教师提供“讲道理”的诸多条件，后激励教师“讲道理”，这样才可能有“讲道理”的教学。从这个角度来说，我们需要“明师”。“明师”才可能明道理，教明书，育明人。“以其昏昏使人昭昭”，是不可能的。当下，培养“明师”是深化课堂教学改革的必然。

“明师”，简单地说，就是“想得明白、说得清楚、指导到位”。明什么？从数学学科、教学方法和教学实践三个角度，可以归纳为三句话，就是：“明数理，知教理，行道理”。

“明数理”，简单地说，就是懂得数学。了解数学的发展史、数学的作用与地位、数学文化、数学的思想方法和精神实质，以及与数学教学相关的教育学理论、心理学理论等；理解并整体把握小学数学，弄懂小学数学中的数量关系、图形关系、随机关系，包括数学概念、定义、公式、定理、法则、规律等等；掌握每一节课教学内容“是什么”“什么样”，它在版块中的位置、意义、作用，与其他内容的纵横关联，进而，能够对内容明晰细化，并依照知识的逻辑性、系统性、连贯性的顺序即知识序，实现教学内容的新旧联系、从低到高、螺旋上升，以知识序确定教学序并确定教学目标、教学事件、形式方法、轻重详略，等等。

“知教理”，就是在数学教学理论的引导下，更新教学理念，掌握和运用教学方法。要突破数学学习在模仿和复制中的轮回，关键是吸收现代数学教学理论的精髓，让数学教学在传承中创新。要倡导和尝试“活动的数学”，让学生在做数学中学数学，让学生在教师指导下 “再创造”，让学生在反思中形成数学思维、创新思维。这是大的“教理”。而教学方法是教师在教学过程中，以有效方式让学生建构学习内容、达到教学目标的一系列操作方法、程序和实施途径。任何一种教学方法都不是的，每一种教学方法都有其适用范围和局限性。重要的是，要用数学知识所承载的数学思维方法研究问题、发现问题，遵循规律进行教学。

“行道理”，就是在教师“明数理、知教理”的基础上，带领学生学习数学。课堂教学是知行合一的途径，行道理就是知行合一的过程。行道理的路线图是“教学设计—教学实践—教学反思”。教学设计是课堂教学的基础，教学实践是课堂教学的展开，教学反思是课堂教学的提升。行道理的核心是针对学生进行设计，让学生在“做、想、说……”中展开教学。一要遵循从已知到未知、从感知到理解、从巩固到运用、从具体到抽象、从易到难、由简到繁、由近及远的认知序开展教学；二要分析学生，分层教学，以点带面，限度地实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展；三要在学生反思的基础上，把老师自己研究知识、研究问题的体会讲出来，让学生感受老师是如何提出问题、理解问题、研究问题的，引导学生去理解问题、思考问题，终让学生“做得来、想明白、说清楚”。

我们期待，构建小学数学“明师”平台，或者说“明师之道”。“明师之道”，指让小学数学教师经历“明数理、知教理、行道理”的过程，掌握小学数学教学规律，促进小学数学教师成为“明师”。“明师”，既可以是动词，也可以是名词，是教师专业成长从过程到结果的经历，从使之“明”到其“明”。从更高的层次认识，“明师之道”，既是教师成长的道路，也是教师成长的规律。

本书的作者罗鸣亮老师，经历了小学数学教师、小学校长职务的过程，来到了省级小学数学教研员的岗位。我觉得，如同他过去的同事说的，“像树一样向上，如水一般向前”，在“明师之道”上前行。本书是他的经历的结晶、经验的升华，从书中还能领略他闪着灵光的小创意，许许多多基层教师喜欢的、可模仿的教学案例。更难能可贵的是，他正在从显性的、表层的课堂教学的技法走向深层的、思维层面的思考和实践。换句话说，他正行走在从“术”探“道”的路上。我相信，本书能够让更多的教师在自己的心中播下自我成长的种子，踏上“明师之道”。因为“明师之道”，是平等成长之道。每一个教师都是具有自主意识、自主行为能力的主体。只要方向正确、方法得当，大家都可以在自己原有的基础上，通过自身的努力学习、积极实践，增强自身的能力，成为名副其实的“明师”。

福建省教研室 彭晓玫
2016年10月

问题——我们的教学讲道理吗？
探求——数学需要什么样的课堂？
思索——数学教学需要哪些道理？
策略——课堂该如何讲道理？
作者努力倡导“做一名讲道理的数学教师”，并追寻简约而灵动的课堂。本书系作者实践智慧的结晶，从“数学需要什么样的课堂”切入，到反思“我们的数学讲道理吗”，再转入“为什么要讲道理”“什么是数学道理”“怎么讲道理”，zui后提供大量“讲道理”的课堂实践智慧供读者参考。

序一 做一个真正“明理”的数学老师 1

序二 呼唤“明师” 3

上篇 探寻讲道理的课堂

讲 问题——我们的教学讲道理吗？ 3

第二讲 探求——数学需要什么样的课堂？ 10

第三讲 思索——数学教学需要哪些道理？ 19

第四讲 策略——课堂该如何讲道理？ 37

下篇 我的讲道理课堂

讲 凸显数学精神，培养数学素养

——以《你知道吗？——判断2、3、5倍数特征的道理》为例 77

第二讲 追本溯源，于深处明理

——《小数的意义》教学思考 96

第三讲 “理”清本质，深化内涵

——以《长方形的面积》为例 111

第四讲 出其不意，智慧交融

——以《平行四边形和梯形》为例 126

第五讲 数形结合，直面规定

——以 《近似数》为例 139

第六讲 悬起趣扬，顺畅喜悦

——以《认识整万数》为例 149

第七讲 朴实灵动，预约精彩

——以《认识含有万级和个级的数》为例 158

第八讲 博思简显，以约至博

——以《三角形的分类》为例 170

第九讲 由表及里，明晰道理

——《混合运算》教学思考 183

附录一

追寻教育梦想的旅程 189

附录二:他人眼中的我

像树一样向上 如水一般向前 195

罗鸣亮：用爱心探索课堂教学的真谛 197

后 记 201

问题——我们的教学讲道理吗？

探求——数学需要什么样的课堂？

思索——数学教学需要哪些道理？

策略——课堂该如何讲道理？

作者努力倡导“做一名讲道理的数学教师”，并追寻简约而灵动的课堂。本书系作者实践智慧的结晶，从“数学需要什么样的课堂”切入，到反思“我们的数学讲道理吗”，再转入“为什么要讲道理”“什么是数学道理”“怎么讲道理”，zui后提供大量“讲道理”的课堂实践智慧供读者参考。

第二讲 探求——数学需要什么样的课堂？
一、数学需要讲道理的课堂
数学本身就是一个讲道理的学科，其本身具有严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，数学的推理和它的结论是无可争辩、毋庸置疑的。数学证明的精确性、确定性也是其道理体现的一个主要方面。郑毓信教授认为：“优秀教师的特色不应局限于教学方法或模式，也应体现其对教学内容的深刻理解，反映他对学习和教学活动本质的深入思考。”数学课堂要立足以人为本，构建生本课堂，从提高教师自身的专业素养入手，确立“以学生为中心”“以学生为主体”的观念，以学生的发展为价值追求，把课堂的时间、空间留给学生，满足不同学生的个性需求，实现人人发展的教育目标。
数学知识的本质呼唤讲道理的课堂
英国学者P•欧内斯特（P. Ernest）说过：“数学教学的问题并不在于寻找好的教学方式，而在于明白数学是什么……如果不正视数学知识的本质问题，便解决不了教学上的争议。”数学知识本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。像其他知识一样，数学知识是人类创造的产物，是人类不断创造和发明的广阔领域，是不会终结的产物。这样动态的数学观对数学教育举足轻重，这就要求数学课堂要让学生明确知识之理，通过展示数学知识的美感，体现数学的价值，揭示数学知识的本质。
t1.eps例如，教学人教版四年级下册《角的度量》一课，角的度量其知识本质就是度量，度量是将事物的属性量化，赋予事物一个“数”，从而可以在同一纬度上比较事物。“角”作为新的度量对象，虽然与长度、面积等有着明显的不同，但都是指被度量的物体里含有多少个基本度量单位。教学中要沟通学生已有关于度量长度、面积的方法与角的度量之间的联系，让学生在联系中讲道理。
课伊始，教师可以出示如下三种图形：
让学生说说，怎么度量线段的长度和长方形的面积。然后提供1分米的线段和1平方分米的正方形，让学生通过操作明晰：度量线段的长度就是看这条线段有几个1分米，度量长方形的面积就是看这个长方形有几个1平方分米。接着教师提问：如何度量角呢？学生立足已有度量的经验，提出要看这个角有几个角的单位，以此提出先要有角的度量单位才能进行度量。
1°角是度量角的基本单位，在认识1°后，教师提供5°、10°、30°角，让学生进行估角，并说明是怎么估的，从而明白“估角”就是看这个角里含有几个1°角或者几个10°角，这是利用度量的本源去思考如何量角，是量角方法的雏形。同时也让学生在量角之前就对这个角的度数范围有一个比较合理的预测，建立角的大小的空间观念，为后续量角作好铺垫。
学生发展的需要呼唤讲道理的课堂
新课程标准更加重视学生能力的培养和素养的提高，它指出“义务教育的数学教育必须面向所有的学生，为每一个学生的终身发展奠定基础”。学生学习数学，不仅仅是为了记住一些枯燥的数字和公式，而是为了运用公式去解决实际问题，从而提升学生的数学素养，促进学生全面和谐地发展。课堂上让学生讲道理，就是让学生参与数学知识的形成过程，关注数学知识的背景性知识，将问题的来龙去脉或困惑恰当地呈现在数学课堂上，从而培养学生言之有理、落笔有据地讲理和推理的思维习惯，培养学生紧扣问题本质解决问题的思维方式，提高学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
例如，教学人教版四年级下册《四边形的分类》一课，课伊始，教师出示一个信封，让学生自由猜测信封里的四边形可能是什么图形。当学生猜可能是正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形时，老师露出信封中图形的一个角（如下图）：
aa.eps
让学生观察，并再次猜测信封里可能装的是什么图形。学生从盲目地猜测，到认为要给提示才能猜中，思维已经开始走向缜密。当一些孩子提出要知道“有几组对边互相平行”这一条件时，让其阐述道理，说明为什么需要这个提示。可以看出，学生已经初步感知等腰梯形和平行四边形之间既有共同之处，又有本质区别。看似简单的猜测，背后却隐藏着丰富的思考。
当学生根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”猜测信封中是平行四边形时，教师拿出的却是长方形。此时，学生又陷入了思维冲突中。教师适时抛出一个问题串：“它是平行四边形吗？”“为什么说它是特殊的平行四边形？特殊在哪？”在这一系列问题的引导下，学生通过讲理，明晰了为什么长方形是特殊的平行四边形这一道理。
继续猜图游戏时，教师提供的信息是“两组对边分别平行且四条边都相等”，当学生信心十足且激动地抢答是正方形时，教师拿出的却是菱形，学生都笑了。
我们可以将自己置身其中想想：假设自己作为学生，遇到这样的情境，有问题串作为思考的导向，将会收获什么呢？毫无疑问，在拥有了思考探索的空间后，充分经历了探究、思考、再探究、再思考……一浪接着一浪的思维冲击！通过这样的生“疑”追“理”巧妙地认识了菱形、正方形、长方形、平行四边形之间的关系。学生通过对教师、对他人、对自己、对教材的质疑，冷静地观照、审视数学知识，进而使得自己的思维走向深刻。
数学课程的教育观呼唤讲道理的课堂
数学课程标准提到数学教育就是要达到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。长期以来，我们习惯以应试教育来左右数学教学，在数学课堂中经常出现不求数学本质的理解，不问知识的来龙去脉，采用精讲多练、变式训练来掌握解题技能，缺乏对数学本质及思想真正的感悟的现象。讲道理的课堂摒弃教师“独白”式的教学方式，提倡尊重、平等交流的“对话”式教育，留给学生更多的课堂时间和思维的空间，限度地开启每一个学生的智慧潜能，为每个学生提供多样性的弹性发展空间，让学生从逐步“学会”到自己“会学”，真正成为数学学习的主人。
二、构建讲道理的课堂教师该怎么做？
数学是一门讲道理的学科，其本身就存在着严谨的推理论证。数学教师必须明理，并通过有效的引导让学生明晰道理，把道理清晰地表达出来，也就是“明数理、知教理、行道理”，才能让数学课堂更具生命力。
明数理
“明数理”，简单地说，就是懂得数学。数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从狭义来说，是蕴含在数学中的因果、逻辑，如小学数学中的数量关系、图形关系、随机关系，包括数学概念、定义、公式、定理、法则、规律等等；从广义来说，包括数学文化、数学素养、科学方法、理性精神等。具体地说，理解并整体把握小学数学，包括了解数学史、数学课程设计、数学的主线、数学的基本思想等，知道本课教学内容“是什么”“什么样”，在内容领域和板块中的位置、意义、作用，与其他内容的从属和横向关系（纵横关系），对内容进行细化并明晰依照知识的逻辑性、系统性、连贯性的知识序，实现教学内容的新旧联系、从低到高、螺旋上升，以知识序确定教学序并确定教学目标、教学事件、形式方法、轻重详略，等等。
对数学教师来说，在教学中，不但要向学生展示既定的数学知识，还必须能够解释其中的道理：为什么要认识它？它是怎么产生的？也就是我们所说的数学知识之理，它涉及教师对数学专业知识的深入理解。在数学教育中，有许多话题反映教师数学专业知识对教好数学的重要性，如“教师必须具有所教学科的专业知识”“教师不可能教他所不知道的知识”。
的确，数学知识是教师有效教学所需要的各种技能的依托，小学数学教师对于自己所教数学知识内容的掌握在很大程度上决定了他的教学效果，同样的数学内容，学生学到什么样的数学，取决于教师带进课堂中的对数学的理解。也就是说，数学教学的效果与小学数学教师的数学知识素养有着密切的关系，教师数学知识素养的缺失将会严重影响其教学质量。
为此，数学教师应该更深入准确地把握小学数学教学内容，以便高屋建瓴地指导小学数学教学。对概念、公式、定理等不能满足于形式上的理解，而要明白其来龙去脉、知识串联，既要重视其内涵，也要把握其外延；对数量之间或形体之间的逻辑关系要建立整体的认识，联通各知识之间的关系，正确把握数学知识之间的因果关系。
在一次关于教师专业知识的情况调查中，我们考察教师对加、减、乘、除、分数、周长与面积这几个概念的理解。可以看到多数教师虽然能得到“求几个连续加数的和的简便运算就是乘法”“物体或平面图形一周的长度就是周长”等“正确的答案”，但是，很少能够对规则所含的