数论概论（原书第4版）

前言世纪年代美国数学界掀起了微积分教学改革的浪潮，其目的是教会学生自己思考与解决实质性问题，而不仅仅是背诵公式与进行机械的代数操作．本书有类似的但更大的目标，意在引导你进行数学思考与体验独立知识发现的惊喜．我们选择的话题——数论，尤其适合我们的意图．自然数，，，…具有多种漂亮的模式与关系，其中许多可谓一目了然，但其余的是如此难以捉摸以致人们诧异它们是否被真正引起注意．数学实验仅需要纸与笔，但基于少量例子做出的猜想可能是错误的．一个人终确信他的数值例子反映了一般真理需要严格的论证．本书将引导你通过潜伏鲜艳数论花朵的丛林，同时鼓励你去调查、分析、猜测与终证明你自己的美妙数论结果．本书初稿用作布朗大学教授在世纪年代早期建立的课程的教材．课程用于吸引那些对标准微积分系列课程兴趣不大的非理科专业学生，同时说服他们去学习一些大学数学目的在于创建一个类似于“莫扎特（的音乐”或“伊丽莎白女王时代的戏剧”课程，引导听众通过对某一特殊方面的系统学习而对整体上的主题与方法有所了解．课程取得了极大的成功，既吸引了它拟定的读者群，也吸引了想听点不同于传统的大讲座或压缩饼干式课程的理科大学生．阅读本书需要的预备知识很少．熟悉高中代数是必要的，而会编写计算机程序的读者将会从产生大量的数据和实现各种算法中获得乐趣，但实际上读者仅需一个简单的计算器．微积分的一些概念有时被提到，但基本上不怎么用它．尽管如此，我们仍要提醒读者，要想真正欣赏数论，必须有渴求知识和探索问题的愿望，不怕做试验，不怕犯错误并从错误中吸取教训，有面对挫折的勇气以及坚持到后胜利的恒心与毅力．具备这些素质的读者将在学习数论以及享受生活方面获得较大的回报．第版中致谢我要感谢许多人的帮助，包括在课程方面有过先驱性工作的、与允许我使用他一些卡通画的，便于进行数论计算的的发明者，对初稿提出许多有益建议的、、、、、、、、再次、、、、、、、、、、、、、、、与，以及在出版过程中给出建议与指导的出版社的与。后也是重要的，我要感谢我的妻子与孩子们、和在我写作本书时表现出的耐心与理解．第版中致谢我要感谢那些花费时间向我提出修正或其他建议的人们，这对准备第版是极有帮助的．他们包括：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、与第版中致谢我要感谢把本书很好地翻译成日文．我也要感谢那些花时间给我提出修改建议的人们，这对准备第版是极为有益的．他们包括：、、、、、、ü、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、与第版中致谢我要感谢下述给我评论与建议或阅读第版初稿的人们：、、、、、、、、、、、、叶扬波以及一些匿名的评论者第版中的变化第版的主要变化如下：新增关于数学归纳法的第章关于反证法的一些内容移到第章．证明次多项式模至多有个根时就要用到反证法，在第章中推导欧拉二次剩余公式时我们不用原根而改用这个事实．（先前版本中对欧拉二次剩余公式的证明使用了原根．）关于原根的第～章移到关于二次互反律与平方和的第～章之后．做此变化是因为作者发现对学生来说原根定理是本书中难的内容之一．新的顺序可让教师先教二次互反律，如果愿意的话也可略去所有关于原根的内容．第章现在包含了关于雅可比符号的二次互反律的部分证明，余下的证明留作习题．二次互反律现在有完整的证明．涉及与的证明仍像以前那样放在第章，新增的第章给出了艾森斯坦关于的证明．第章比之前的章节困难得多，略去它不影响阅读后面的章节．作为原根的应用，我们在第章中讨论了阵列的构造．斐波那契数列模的小正周期在模余或时整除，第章中包含了对此的证明．新增了许多新的习题．数论是个范围广阔又不断成长的学科，数年来本书增添了许多新的章节．为使本版保持合理的厚度，我们在印刷版中略去了第～章（第章“连分数的混乱世界”，第章“连分数的佩尔方程”，第章“生成函数”，第章“幂和”）．这些略去的章节可通过访问网址免费下载．电子邮件与电子资源前面所列的各位帮助我改正了一些错误并提出了有益的建议，但没有哪本书会毫无错误或没有改进的余地．我很乐意收到来自读者的不论是肯定的还是批评的评论或更正．你可发邮件到我的信箱另外一些资料（包括额外几章、更正表、一些数论网站的链接以及涉及计算机的许多练习），都可从本书主页处获得．各章关联性流程图

本书讲述了有关数论大量有趣的知识，以及数论的一般方法和应用，循序渐进地启发读者用数学方法思考问题，此外还介绍了目前数论研究的某些前沿课题。本书采用轻松的写作风格，引领读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的习题来培养读者的探索精神与创新能力。

目录译者序中文版序前言各章关联性流程图引言第章什么是数论第章勾股数组第章勾股数组与单位圆第章高次幂之和与费马大定理第章整除性与公因数第章线性方程与公因数第章因数分解与算术基本定理第章同余式第章同余式、幂与费马小定理第章同余式、幂与欧拉公式第章欧拉函数与中国剩余定理第章素数第章素数的计数第章梅森素数第章梅森素数与完全数第章幂模与逐次平方法第章计算模的次根第章幂、根与不可破密码第章素性测试与卡米歇尔数第章模平方剩余第章是模平方剩余吗？呢第章二次互反律第章二次互反律的证明第章哪些素数可表成两个平方数之和第章哪些数能表成两个平方数之和第章像一样简单第章欧拉函数与因数和第章幂模与原根第章原根与指标第章方程第章再论三角平方数第章佩尔方程第章丢番图逼近第章丢番图逼近与佩尔方程第章数论与虚数第章高斯整数与因子分解第章无理数与超越数第章二项式系数与帕斯卡三角形第章斐波那契兔子问题与线性递归序列第章，多美的一个函数第章三次曲线与椭圆曲线第章有少量有理点的椭圆曲线第章椭圆曲线模上的点第章模的挠点系与不好的素数第章亏量界与模性模式第章椭圆曲线与费马大定理附录小合数的分解附录以下的素数表进一步阅读的文献索引

本书讲述了有关数论大量有趣的知识，以及数论的一般方法和应用，循序渐进地启发读者用数学方法思考问题，此外还介绍了目前数论研究的某些前沿课题。本书采用轻松的写作风格，引领读者进入美妙的数论世界，不断激发读者的好奇心，并通过一些精心设计的习题来培养读者的探索精神与创新能力。